Νερό σε δεξαμενή μαζί με αέρα υπό πίεση

Το σχήμα δείχνει μια μεγάλη κλειστή κυλινδρική δεξαμενή που περιέχει νερό. Αρχικά, ο αέρας που παγιδεύεται πάνω από την επιφάνεια του νερού έχει ύψος h_o και πίεση 2p_o, όπου p_o είναι η ατμοσφαιρική πίεση. Ένας μακρύς κατακόρυφος σωλήνας περιέχει νερό σε ύψος h₂ πάνω από το επίπεδο καπάκι της δεξαμενής, που επικοινωνεί με το νερό της δεξαμενής.

α. Να βρείτε το ύψος h₂ του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα  

β. Ανοίγουμε μια τρύπα στα τοιχώματα της δεξαμενής σε βάθος h₁ κάτω από το καπάκι. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από την τρύπα.

γ. Σε ποιο ύψος θα σταθεροποιηθεί η στάθμη του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα, όταν σταματήσει η ροή του από την τρύπα;

 (Τα μεγέθη Ρ_ο , h_o­, h₁, η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυνση βαρύτητας g θεωρούνται γνωστά).

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word

Ένας ψύκτης νερού

Από ένα ψύκτη νερού εκτινάσσεται νερό σε ύψος h = 12 cm πάνω από ένα ακροφύσιο διαμέτρου D₂ =  0,60 cm. Η αντλία που βρίσκεται στη βάση της συσκευής (Η = 1,1 m κάτω από το ακροφύσιο) ωθεί το νερό σε σωλήνα τροφοδοσίας σταθερής διαμέτρου D₁ = 1,2 cm, που καταλήγει στο ακροφύσιο. 
α) Με πόση πίεση εισάγει η αντλία το νερό στο σωλήνα τροφοδοσίας; Δίνονται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s², η ατμοσφαιρική πίεση Ρ = 10⁵N/m² και η πυκνότητα του νερού ρ = 10³ kg/m³.

β) Μπορείτε με τα παραπάνω δεδομένα να υπολογίσετε την ισχύ της αντλίας του ψύκτη;
Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Να μη λάβετε υπόψη το ιξώδες του νερού και τις τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα.

Πηγή: PHYSICS

PRINCIPLES WITH APPLICATIONS

DOUGLAS C. GIANCOLI

              Απάντηση:

Ροή υγρού σε σωλήνα μεταβλητής διατομής και υψομετρική διαφορά

Νερό ρέει από τον οριζόντιο σωλήνα μεγαλύτερης διαμέτρου, ίσης με 20 cm, προς τον στενότερο σωλήνα διαμέτρου από 5 έως 10 cm. Το οριζόντιο τμήμα του στενότερου σωλήνα βρίσκεται 2 μέτρα υψηλότερα από τον φαρδύτερο, όπως στην εικόνα. Εάν το νερό ρέει στον μεγαλύτερο σωλήνα με ταχύτητα 4 m / s,

α) Με ποια ταχύτητα ρέει στον μικρότερο σωλήνα;

α) 2 m/s  

β) 8 m/s  

γ) 14m/s  

δ) 20  m/s

Επιλέξτε την επιτρεπτή τιμή της ζητούμενης ταχύτητας.

β) Αυξάνεται ή μειώνεται κατά την άνοδο του νερού ή στατική πίεση;

Φλέβα υγρού κυλινδρικής διατομής

[ Όπου τα μόρια ενός υγρού οδηγούνται ακτινικά προς ένα κέντρο απορροής– Ένα θέμα Β πρωτότυπο και απλό.]

Μια επίπεδη οριζόντια επιφάνεια έχει μια μικρή οπή στο κέντρο της. Μια κυκλική γυάλινη πλάκα ακτίνας R τοποθετείται συμμετρικά πάνω από την οπή με ένα μικρό διάκενο h να παραμένει μεταξύ της πλάκας και της επιφάνειας. Ένα υγρό εισέρχεται στο διάκενο συμμετρικά από όλες τις πλευρές και αφού ταξιδεύει ακτινικά διαμέσου του διακένου τελικά καταλήγει στην οπή απ’ όπου εξέρχεται. Η παροχή όγκου του υγρού που βγαίνει από την οπή είναι Π (σε m³/s).

α) Αν η ταχύτητα ροής ακριβώς κάτω από την περιφέρεια της κυκλικής πλάκας είναι υ₀,  να βρείτε  την ταχύτητα (V_x)  ροής μέσα στο διάκενο σε απόσταση x (βλέπε εικόνα) από το κέντρο της οπής.

β) Ποια σχέση συνδέει τη  V_x με τα μεγέθη Π, h και x;

Να θεωρήσετε τη ροή του υγρού προς την οπή, μόνιμη και στρωτή.

Απάντηση:

Σταθεροποίηση στάθμης και βεληνεκούς με δύο τρόπους. Ένα ακόμη θέμα Β στα ρευστά

Το κυλινδρικό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό, του οποίου η ελεύθερη επιφάνεια φτάνει σε ύψος  Η₀ από τη βάση του.  Ανοίγουμε μια τρύπα εμβαδού α m² σε ύψος h < H₀/2 και το νερό αρχίζει να εκτινάσσεται από αυτήν με αρχική οριζόντια ταχύτητα πέφτοντας τελικά στο έδαφος. Ταυτόχρονα, ανοίγουμε μια βρύση και αρχίζουμε να παρέχουμε νερό στο δοχείο με σταθερή παροχή Π_β = α√2gh  m³/s.
 Ι. Η  στάθμη του νερού στο δοχείο:

α. Παραμένει στο ύψος Η₀.

β. Αρχίζει να πέφτει και κάποια στιγμή σταθεροποιείται σε ύψος 2h.

γ. Αρχίζει να πέφτει και κάποια στιγμή σταθεροποιείται στο ύψος h.

ΙΙ. Το βεληνεκές της φλέβας:

Τρία πρωτότυπα θέματα Β στα ρευστά 1. Η κούπα του Πυθαγόρα

Στο σχήμα (α) έχουμε σχεδιάσει την «κούπα του Πυθαγόρα», όπου μέσω ενός ανοίγματος, το υγρό που προσθέτουμε, εκτός από τον εμφανή χώρο στο εσωτερικό του κυπέλλου, εισχωρεί και στο κατακόρυφο “κρυφό” κανάλι ΔΕ (σχήμα β), το οποίο επικοινωνεί με δεύτερο ανοικτό κατακόρυφο κανάλι ΕΖ σταθερής διατομής. Αυτό διατρέχει τον κορμό του κύπελου και καταλήγει σε ένα άνοιγμα (στο σημείο Ζ) της βάσης του. Έτσι, αν η στάθμη του υγρού είναι χαμηλότερα από το σημείο Ε, δηλαδή ως το ύψος h (σχήματα β, γ), αυτό παραμένει μέσα στο κύπελλο, αν όμως ξεπεράσει το σημείο Ε τότε το υγρό οδηγείται στο κανάλι ΕΖ και από εκεί βγαίνει έξω από το κύπελλο, από το άνοιγμα της βάσης του στο σημείο Ζ.

 
Στο σχήμα (δ), ένα ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ ισορροπεί μέσα σε ένα τέτοιο κύπελλο με τη στάθμη του σε ύψος Η > h, δεν χύνεται όμως γιατί  έχουμε σφηνώσει ένα κομμάτι φελλού στο άνοιγμα της βάσης του κύπελου.  Στη συνέχεια αφαιρούμε το φελλό και το υγρό αρχίζει να ρέει στο κανάλι ΔΕΖ και να εξέρχεται από το Ζ.

Τι από τα παρακάτω θα συμβεί:

2. Δύο πίδακες που εκτινάσσονται οριζόντια από δύο διαφορετικά βάθη h1 και h2 συναντιούνται σε βάθος h1+h2

Δύο πίδακες που εκτινάσσονται οριζόντια από δύο διαφορετικά βάθη h₁ και h₂ συναντιούνται. Στην άσκηση αυτή θα δούμε τι αντιπροσωπεύουν οι παραστάσεις: 

	_______
h1 + h2  και  2 √	h1h2

Άσκηση:

Το ανοικτό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό. Σε δύο σημεία E και Z της ίδιας κατακορύφου του τοιχώματος του δοχείου και σε βάθη h₁ και h₂, αντίστοιχα, ανοίγουμε δύο οπές πολύ μικρής διατομής από τις οποίες εκτοξεύονται δύο πίδακες νερού.

Ι. Η απόσταση y_Σ, του σημείου συνάντησης Σ των δύο πιδάκων από την επιφάνεια του νερού, είναι ίση με:

	_______
α. 2(h1 - h2),       β.  h1 + h2        γ. 2√	h1h2

Μια αντλία προωθεί Νευτώνειο ρευστό σε οριζόντιο σωλήνα

Στην έξοδο μιας αντλίας νερού συνδέεται ένας οριζόντιος σωλήνας σταθερής διατομής Α = 20 cm². Στην αρχή του σωλήνα αυτού, η αντλία εισάγει το νερό που απορροφά από μια υπόγεια δεξαμενή και το προωθεί υπό πίεση Ρ_εισ = 400 kPa.

Το άλλο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα, όπου επικρατεί πίεση ίση με 100 kPa.

Το νερό συμπεριφέρεται ως Νευτώνειο υγρό, οπότε η αντλία καταναλώνει ισχύ ώστε αυτό να κινείται κατά μήκος του σωλήνα με σταθερή μέση ταχύτητα.

Πυροσβεστικό όχημα – σωλήνας πυρόσβεσης

Οι πυροσβεστικοί εύκαμπτοι σωλήνες, που χρησιμοποιούνται σε πυρκαγιές μεγάλων κατασκευών, έχουν εγκάρσια διατομή A₁ = 32 cm². Ας υποθέσουμε ότι σε ένα τέτοιο σωλήνα το νερό ξεκινά με πίεση P₁ και με παροχή Π = 48 L/s. Ο εύκαμπτος αυτός σωλήνας φτάνει σε ύψος h = 10 m, πάνω σε μια τηλεσκοπική σκάλα ενός οχήματος πυρόσβεσης, και τελειώνει σε ένα ακροφύσιο που έχει εσωτερική διατομή A₂ = 8 cm².

α. Υποθέτοντας αμελητέες τις τριβές κατά την κίνηση του νερού στο σωλήνα, να υπολογίσετε την πίεση Ρ₁ του νερού στην αρχή του  σωλήνα.

Πυροσβεστήρας νερού

(Ένα εύκολο θέμα Β για τη γνωριμία με αυτού του είδους πυροσβεστήρα)

Σε έναν πυροσβεστήρα νερού, ο εγκλωβισμένος, υπό υψηλή πίεση αέρας, εξαναγκάζει το νερό να εκτοξεύεται από το ακροφύσιό του με μεγάλη ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θέτουμε σε λειτουργία έναν τέτοιο πυροσβεστήρα και διαπιστώνουμε ότι το νερό εκτοξεύεται με ταχύτητα v = 30 m/s όταν η στάθμη του νερού στο δοχείο είναι 0,5 m κάτω από το ακροφύσιο.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η πίεση του αέρα μέσα στον πυροσβεστήρα είναι κατά

Σύγκριση των ισχύων δύο αντλιών, ένα Β΄ ΘΕΜΑ

Στο σχήμα διακρίνουμε μια αντλία νερού, στην οποία η διατομή του σωλήνα απορρόφησης νερού είναι Α₁=25 cm², ενώ η διατομή του σωλήνα στον οποίο οδηγείται το νερό είναι Α₂ = 10 cm².

Τα δύο μανόμετρα δείχνουν διαφορά πίεσης Ρ₂ – Ρ_1­ = 280 kPa, όταν η αντλία αντλεί το νερό με ρυθμό Π = 36m³/h. 

Να επιλέξετε, σε καθεμιά από τις τρεις προτάσεις που ακολουθούν, το σωστό και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ι. Αν υ₁, υ₂ είναι οι ταχύτητες ροής του νερού  στους σωλήνες απορρόφησης και εκροής, αντίστοιχα, τότε για την ισχύ Ρ_αντλ της αντλίας ισχύει:

α) Ρ_αντλ = (Ρ₂– Ρ₁)Π + ½ρΠ(υ₂²– υ₁²),   β) Ρ_αντλ = (Ρ₂– Ρ₁)Π,    γ)  Ρ_αντλ = ½ρΠ(υ₂²– υ₁²)

Όπου μια αντλία συνδέεται με σωλήνες διαφορετικής διατομής, (ή με πόσους τρόπους, τελικά, μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ μιας αντλίας;)

(Βελτιωμένη παρουσίαση)

Με τη βοήθεια μιας αντλίας επιφανείας πρόκειται να αντλήσουμε νερό με έναν αναρροφητικό σωλήνα, σταθερής εγκάρσιας διατομής Α₁ = 4 cm², από μια μεγάλη δεξαμενή της οποίας η ελεύθερη στάθμη βρίσκεται χαμηλότερα από την αντλία, σε βάθος Η=3,2 m. Κατά τη λειτουργία της αντλίας, ένα μανόμετρο δείχνει ότι η πίεση σε ένα σημείο Λ, στο εσωτερικό του σωλήνα και κοντά στην είσοδο της αντλίας, είναι ίση με 50 kpa. Το νερό μετά την αντλία εισέρχεται σε έναν οριζόντιο σωλήνα μικρότερης διατομής Α₂ = 2 cm², και από εκεί εξέρχεται στον αέρα.

Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

α) Πόσα κυβικά μέτρα νερού θα αφαιρέσει η αντλία από τη δεξαμενή σε μια ώρα;

3. Ένα αντεστραμμένο κυλινδρικό δοχείο, ένα έμβολο, δύο φλέβες υγρού και μια δύναμη.

Το ορθό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος έχει ύψος Η = 1 m, είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο και είναι γεμάτο με νερό. Η βάση του είναι ένα αβαρές έμβολο με εμβαδόν Α = 100 cm², το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές με τα τοιχώματα. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε ύψος h₁ = 0,8 m από τη βάση του υπάρχει μια μικρή τρύπα την οποία την έχουμε κλείσει σφικτά με ένα πώμα.

Αφαιρούμε το πώμα και ταυτόχρονα ασκούμε στο κέντρο του εμβόλου μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη F, της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση του εμβόλου, με τέτοιο τρόπο, ώστε το νερό να τρέχει από την τρύπα με σταθερή ταχύτητα υ₁ = 2m/s. (Μέχρις ότου το έμβολο φτάσει στο ύψος της τρύπας).

α) Να υπολογίσετε την πίεση σε ένα σημείο Ζ της πάνω βάσης του δοχείου.

β) Να υπολογίσετε το βεληνεκές της φλέβας του υγρού που εξέρχεται από την τρύπα.

γ) Αμέσως μετά την έναρξη της κίνησης του εμβόλου ανοίγουμε, στην ίδια κατακόρυφο με την πρώτη τρύπα, και δεύτερη τρύπα ίδιας διατομής με την πρώτη, και παρατηρούμε

2. Άδειασμα δοχείου με μετατόπιση εμβόλου

Το ανοικτό κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο του σχήματος έχει ύψος h και είναι γεμάτο με νερό. Η βάση του είναι ένα αβαρές έμβολο με εμβαδόν 20 cm², που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Αρχικά, το έμβολο ισορροπεί με τη βοήθεια κατακόρυφης δύναμης F = 8 N. Αρχίζουμε να μετατοπίζουμε το έμβολο με σταθερή ταχύτητα, διαμορφώνοντας κατάλληλα το μέτρο της F.

Έμβολα και έργα

1. Εκτόξευση υγρού διαλύματος από σύριγγα

Μια υποδερμική σύριγγα είναι γεμάτη με ένα φαρμακευτικό διάλυμα το οποίο έχει πυκνότητα, πρακτικά, ίση με του νερού. Ο κύλινδρος της σύριγγας έχει μήκος L = 8 cm και εγκάρσια διατομή A₁ = 2,5·10^-4 m²_, ενώ η βελόνα Α₂ = 0,1·10^-4 m². Αν δεν ασκούμε δύναμη στο έμβολο, η πίεση παντού είναι ίση με Ρ_atm. Εφαρμόζουμε μια δύναμη F = 3,12 Ν κάθετα στο έμβολο με αποτέλεσμα το υγρό να εξέρχεται με ταχύτητα υ₂ από τη βελόνα. Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα υ₂ με την οποία εξέρχεται το διάλυμα από τη βελόνα.

Το ροόμετρο Venturi με μανόμετρο υδραργύρου και το απλό ροόμετρο Venturi

Στο ροόμετρο Venturi του σχήματος, που διααρρέεται από νερό, έχουμε προσαρμόσει ένα μανόμετρο υδραργύρου. Κάνοντας χρήση των δεδομένων που βλέπετε στο σχήμα, καθώς και ότι Δh = 8 cm, να υπολογίσετε:
α) Το W που προσφέρεται από το περιβάλλον ρευστό σε κάθε m³ νερού, για να μεταβεί από την περιοχή διατομής  Α₁, στη στενή περιοχή διατομής Α₂.

β) Την κινητική ενέργεια κάθε m³ νερού που διέρχεται από τη διατομή Α₁.

γ) Την κινητική ενέργεια κάθε m³ νερού που διέρχεται από τη διατομή Α2 του σωλήνα.

δ) Την παροχή του νερού στο σωλήνα.

Δίνεται ότι το νερό ειναι ασυμπίεστο και ότι η ροή του στο σωλήνα είναι στρωτή και χωρίς απώλειες ενέργειας λόγω φαινομένων τριβής.

4. Ταχύτητα μετατόπισης στάθμης υγρού σε δεξαμενή κι εκτόπιση αέρα

Στην κυλινδρική δεξαμενή του σχήματος, διαμέτρου D = 2m, εισάγεται νερό μέσω του σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3. Με τη βοήθεια αντλιών το νερό εισχωρεί με σταθερή ταχύτητα υ­­₁ = 8 m/s από τον σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3 με σταθερές ταχύτητες υ₂ = 3,75 m/s και υ₃ = 4 m/s, αντίστοιχα. Ο σωλήνας 4 είναι ανοιχτός και μέσω αυτού επικοινωνεί ελεύθερα ο αέρας που βρίσκεται μέσα στο δοχείο με τον ατμοσφαιρικό. Οι εσωτερικές διάμετροι των σωλήνων είναι d₁ = 6 cm, d₂ = 4 cm, d₃ = 5 cm και d₄ = 4 cm. Το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη δεξαμενή είναι πάνω από τον σωλήνα 1 και η ροή του νερού είναι στρωτή.

 Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται η ελεύθερη στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή.

3. Αιώρηση επίπεδης πλάκας πάνω σε πίδακα νερού

Από κατακόρυφο σωλήνα διατομής Α₁ = 2 cm²  βγαίνει φλέβα νερού με ταχύτητα υ₁ = 10 m/s.

α) Ποια είναι η ταχύτητα της φλέβας σε α­πόσταση h = 1,8 m από την έξοδο στις δύο περιπτώσεις του σχήματος;

β) Ποιο είναι το εμβαδό της διατομής Α₂ της φλέβας σε απόσταση h από το στόμιο του σωλήνα στην κάθε περίπτωση;

γ) Πόσος όγκος νερού διέρχεται από τη διατομή Α₂ σε χρόνο ίσο με 1 sec σε κάθε περίπτωση;

δ) Πόση είναι η μάζα της υγρής στήλης ύψους h πάνω από το στόμιο του σωλήνα στην περίπτωση (α);

ε) Ένας ομογενής και ισοπαχής δίσκος μάζας m μπορεί να παραμείνει ακίνητος σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια του πίδακα νερού της περίπτωσης (α), ο οποίος προσπίπτει στην κεντρική περιοχή του δίσκου. Πόση είναι η μάζα m του δίσκου; Το νερό αμέσως μετά την πρόσπτωση στο δίσκο, διαχωρίζεται συμμετρικά προς όλες τις διευθύνσεις και κινείται εφαπτομενικά του δίσκου.

Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s² και η πυκνότητα ρ = 10³ kg/m³ = 1 kg/L του νερού. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα.

2. Εκροή από κλειστό δοχείο

Η κλειστή δεξαμενή του σχήματος έχει ύψος Η = 2m και περιέχει νερό μέχρι το ύψος h = 1,4 m και από εκεί και πάνω αέρα. Τα εμβαδά των καθέτων τομών των σωλήνων στα σημεία Α και Ο είναι αντίστοιχα S_A = 8 cm² και S_o = 2 cm².

H πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο είναι Ρ = 1,5·10 N/m² και η πυκνότητα του νερού ρ = 10³ kg/m³.

α) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άνοιγμα στο Ο.

β) Να βρεθεί το ύψος h₁ του νερού  στον ανοιχτό κατακόρυφο σωλήνα ΑΒ.

(Θεωρείστε αμελητέο το εμβαδό της διατομής στο Ο σε σχέση με το εμβαδό της επιφάνειας του υγρού στο κλειστό δοχείο).

γ)  Σιγά – σιγά η στάθμη του νερού στη δεξαμενή κατέρχεται και μετά πάροδο αρκετού χρόνου σταθεροποιείται σε ένα ύψος h₂. Να το υπολογίσετε.

δ) Να βρείτε την τελική τιμή της πίεσης του αέρα μέσα στο δοχείο. 

Δίνεται ότι: P_atm = 10⁵Ν/m² και g = 10 m/s² και ότι η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή.

ΟΔΗΓΙΑ  Στα ρευστά, ό,που έχω πιέσεις ή και ύψη εφαρμόζω νόμο Bernoulli, ό,που έχω διατομές εφαρμόζω νόμο συνέχειας. Σε σωλήνα με στάσιμο υγρό εφαρμόζω τη σχέση της υδροστατικής.  Αν ένα αέριο εκτονώνεται με σταθερή θερμοκρασία τότε ισχύει PV σταθ.

1. Βεντουρίμετρο και παροχή

Μέσα σε οριζόντιο σωλήνα ρέει νερό. Ο σωλήνας αποτελείται από δύο τμήματα με διατομές Α₁ = 4 cm² και Α₂ = 1 cm² αντίστοιχα. Σε κάθε τμήμα τού σωλήνα υπάρχει ένας κατακό­ρυφος λεπτός σωλήνας. Παρατηρούμε ότι στον πρώτο από αυτούς το νερό σχηματίζει στήλη ύψους h₁ = 15 cm. Η ταχύτητα του νερού στο δεύτερο τμήμα είναι υ₂ = 0,8 m/s. Να βρεθεί:

α) Πόσο είναι το ύψος h₂ της στήλης του νερού στον άλλο σωλήνα και

β) Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει ένα αρχικά άδειο δοχείο όγκου V = 8 L, αν όλο το νερό που εξέρχεται ρίχνεται σε αυτό;