Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Τετάρτη 26 Νοεμβρίου 2014

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ένα σώμα μάζας m = 1 kg είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση υπό την επίδραση μιας δύναμης απόσβεσης της μορφής Fb = - 5υ (S.I.) και μιας δύναμης διέγερσης της μορφής F = 20ημ8t (S.I.). Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι 10 cm και η φάση της απομάκρυνσης υστερεί της φάσης της διεγείρουσας δύναμης κατά γωνία π/3.

Δευτέρα 10 Νοεμβρίου 2014

ΠΕΝΤΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΚΡΟΥΣΗ


1. Όπου θα μας απασχολήσει η μέγιστη ισχύς της δύναμης ελατηρίου.


 Σώμα μάζας M = 1kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα.
  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους  A1 = 3,2 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,21 kgr που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ = 100 m/sec, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς το βλήμα. Να υπολογίσετε:

2. Πλαστική κρούση με αύξηση της ενέργειας ταλάντωσης; Κι όμως γίνεται!


Σώμα μάζας M = 2,5 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο.
  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους 0,5 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,5 kgr που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ = 30 m/sec, συγκρούεται με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στην αρνητική ακραία θέση του, και σφηνώνεται σ’ αυτό. Να προσδιορίσετε:
α)  Την ενέργεια ...

Συνέχεια ...

3. Όπου το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου είναι ζητούμενο


 Σώμα μάζας M1 = 1 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου που έχει σταθερά k = 100 Ν/m και το άλλο του άκρο στερεωμένο ακλόνητα.
 Θέτουμε το σώμα αυτό σε α.α.τ. πλάτους Α1 = 2 m.  Ένα άλλο σώμα μάζας Μ2 = 2 kgr, που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ2 = 20 m/sec, συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο σώμα  στη θέση όπου η κινητική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με το μισό της ενέργειας ταλάντωσης. Το συσσωμάτωμα, που δημιουργείται, ξεκινά μια νέα α.α.τ. με πλάτος Α2. Η απομάκρυνση του Μ1 στη θέση της σύγκρουσης είναι θετική και πριν τη σύγκρουση κινούνταν προς τη θετική ακραία θέση, αντίθετα από το Μ2. Να προσδιορίσετε: 

4. Ρυθμός μεταβολής του μήκους του ελατηρίου και μηδενισμός της ισχύος της δύναμής του

 Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί αρχικά, δεμένο στο ένα άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου, σώμα μάζας M = 2 kgr. Το ελατήριο έχει σταθερά ελαστικότητας k = 200 Ν/m και η άλλη άκρη του είναι στερεωμένη ακλόνητα.
  Θέτουμε το σώμα αυτό σε α.α.τ. πλάτους Α1 = 2 m. Ένα άλλο σώμα μάζας m = 0,25 kgr, που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ2 = 80 m/sec, συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση όπου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με την κινητική του. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται ξεκινά μια νέα α.α.τ με πλάτος Α2. Η απομάκρυνση του Μ στη θέση της σύγκρουσης είναι θετική και πριν τη σύγκρουση κινούνταν προς τη θετική ακραία θέση, αντίθετα από το m.
Α. Να προσδιορίσετε:
Α1. Το ρυθμό μεταβολής του μήκους του ελατηρίου ελάχιστα ... 

Συνέχεια ... 

5. Όπου με κατάλληλη ταχύτητα του ενός σώματος έχουμε τις ελάχιστες δυνατές απώλειες ενέργειας


Σώμα μάζας M = 1 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς  k  = 100 Ν/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα. 
  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους  A1 = 1 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,08 kgr,  που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ1, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση x = -0,6 m, κινούμενο με ταχύτητα υ προς την αρνητική ακραία θέση. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κάνει α.α.τ. με πλάτος Α΄= 1,2 m.

Να υπολογίσετε:  ....

Τρίτη 19 Αυγούστου 2014

ΑΝΤΙΟ ROBIN ...


ΑΝΤΙΟ RΟΒΙΝ ... Εκεί στο 1990 συνεπήρες δάσκαλους και μαθητές, κι ανέδειξες στον κόσμο πως ένας άξιος εκπαιδευτικός μπορεί να εμπνεύσει και να κάνει τους μαθητές του να πιστεύουν στον εαυτό τους και να δουν πίσω από τη φωτισμένη βιτρίνα του ψεύτικου και ευτελούς την αναγκαιότητα της αναζήτησης του αληθινού, που θα δώσει νόημα στη ζωή τους. Κάποιοι ταλαντούχοι άνθρωποι είναι αναντικατάστατοι και το κενό που αφήνουν στη γενιά τους μεγάλο.

Δευτέρα 28 Ιουλίου 2014

Τρία εύκολα, αλλά πονηρά θέματα

1. Αν το κιβώτιο του σχήματος συνδεθεί με το αριστερό ελατήριο σταθεράς k1 και διεγερθεί κατάλληλα θα εκτελέσει  α.α.τ. με συχνότητα f1. Όμοια, αν συνδεθεί με το δεξί ελατήριο σταθεράς k2 θα εκτελέσει α.α.τ με συχνότητα f2.
Δείξτε ότι αν συνδεθεί και με τα δύο ελατήρια όπως στο τρίτο σχήμα, και διεγερθεί κατάλληλα, θα κάνει α.α.τ. με συχνότητα f  για την οποία:
             f2 = f12 + f22
 (Δίνεται ότι όταν το κιβώτιο βρίσκεται στη θέση Ι τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Δίνεται, επίσης, ότι το κιβώτιο κινείται χωρίς τριβές στην οριζόντια επιφάνεια και ότι τα υποστηρίγματα δεξιά και αριστερά στα οποία στερεώνονται τα ελατήρια είναι σταθερά).



2. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Για κάθε λЄR το ελάχιστο χρονικό διάστημα που χρειάζεται το υλικό σημείο για να μεταβεί από τη θέση x = +A/λ με υ > 0 στη θέση x = -A/λ με υ < 0, είναι:
             α. Τ/4,          β. Εξαρτάται από την τιμή του λ,           γ. Τ/2




3. Στη διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια για χρόνο:
                                        α. Τ/2,             β. Τ/3,             γ. Τ/4

Κυριακή 20 Ιουλίου 2014

Α.Α.Τ. ΚΡΟΥΣΗ ΧΩΡΙΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΗΣ

Και όμως είναι δυνατό η ενέργεια μιας α.α.τ. μετά από μια κρούση να είναι ίδια με πριν:
Ένα σώμα Σ με μάζα m = 1 kgr εκτελεί α.α.τ. πλάτους 30 cm πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς  k = 100 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. 
Τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του συγκρούεται πλαστικά με αντίθετα κινούμενο δεύτερο σώμα τριπλάσιας μάζας.
Α. Τι ταχύτητα πρέπει να έχει το δεύτερο σώμα ώστε η ταλάντωση του συσσωματώματος να έχει το ίδιο πλάτος με την αρχική;
Β. Να απαντήσετε στο ίδιο ερώτημα και για την περίπτωση που η κρούση είναι κεντρική ελαστική

Κατεβάστε:

Παρασκευή 18 Ιουλίου 2014

Α.Α.Τ. ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙς ΠΟΥ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΝΤΑΙ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ ΚΙΝΗΤΟΥ


  Ένα σώμα Σ με μάζα m ηρεμεί αρχικά πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου, στη θέση Φ όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα.
  Κάποια στιγμή ενεργεί πάνω του μια οριζόντια δύναμη F, που ο φορέας της ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου και το μέτρο της μεταβάλλεται σε σχέση με την απόσταση d του σώματος από τη θέση Φ (δηλαδή την παραμόρφωση του ελατηρίου) σύμφωνα με την εξίσωση  F = a + bd, όπου a και b σταθερά μεγέθη μετρημένα σε Ν και  N/m, αντίστοιχα.
Α. Να δείξετε ότι αν b < k το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Β. Το πλάτος Α και η σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης αυτής είναι, αντίστοιχα:
  α. Α = α/(k-b),  D = k-b
  β. Α = α/2(k-b),  D = k-b
  γ. Α = α/(k-b),  D = 2(k-b)
i)  Να επιλέξετε το ορθό ζεύγος τιμών.
ii) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Σάββατο 12 Ιουλίου 2014

ΣΤΑΘΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΜΑΖΑ





Το σώμα, μάζας m = 1 kgr, αρχικά ηρεμεί στη θέση Φ όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης των χρόνων (t = 0), αρχίζει να ενεργεί πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=10 Ν, που ο φορέας της ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου. 

A.  Να δείξετε ότι με την επίδραση της F το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.
 Αν τη στιγμή t1 το σώμα σταματάει για πρώτη φορά και η δύναμη, μέσω του έργου της, έχει προσφέρει στο σύστημα ελατήριο-σώμα ενέργεια Ε=2J, να βρείτε:
Β. Το πλάτος, τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης και τη στιγμή t1.
Γ.  Τη στιγμή t1 καταργούμε τη δύναμη F. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t2  που το σώμα θα επανέλθει για πρώτη φορά στην αρχική του θέση Φ.                  
Δ. Να γραφούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης – χρόνου, από την αρχική θέση Φ :
i. Με την F,    
ii. Χωρίς την F.                                                       
Να θεωρήσετε ως θετική φορά τη φορά της F.

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Τρίτη 24 Ιουνίου 2014

Αφιερωμένο στους νέους που από σήμερα δε θα ξαναανταμώσουν με τους φίλους τους το Σεπτέμβρη στο σχολείο


14 Χρόνια Σχολείο κι είναι μόλις 17-18! 
Αφήνουν πίσω τους τα πιο ξένοιαστα χρόνια τους.
ΚΑΛΗ ΤΥΧΗ παιδιά, η καινούργια ζωή έχει κι αυτή τις ομορφιές της,
Καλή σταδιοδρομία.



Ithaca
When you set out on your journey to Ithaca, 
pray that the road is long, 
full of adventure, full of knowledge. 
The Lestrygonians and the Cyclops, 
the angry Poseidon -- do not fear them: 
You will never find such as these on your path, 
if your thoughts remain lofty, if a fine 
emotion touches your spirit and your body. 
The Lestrygonians and the Cyclops, 
the fierce Poseidon you will never encounter, 
if you do not carry them within your soul, 
if your soul does not set them up before you. 

Pray that the road is long. 
That the summer mornings are many, when, 
with such pleasure, with such joy 
you will enter ports seen for the first time; 
stop at Phoenician markets, 
and purchase fine merchandise, 
mother-of-pearl and coral, amber and ebony, 
and sensual perfumes of all kinds, 
as many sensual perfumes as you can; 
visit many Egyptian cities, 
to learn and learn from scholars. 

Always keep Ithaca in your mind. 
To arrive there is your ultimate goal. 
But do not hurry the voyage at all. 
It is better to let it last for many years; 
and to anchor at the island when you are old, 
rich with all you have gained on the way, 
not expecting that Ithaca will offer you riches. 

Ithaca has given you the beautiful voyage. 
Without her you would have never set out on the road. 
She has nothing more to give you. 

And if you find her poor, Ithaca has not deceived you. 
Wise as you have become, with so much experience, 
you must already have understood what Ithacas mean.