Απώλεια ενέργειας ταλάντωσης σε μια ιδιαίτερη πλαστική κρούση. Ποσοτική και ποιοτική μελέτη

Δίνεται ο απλός αρμονικός ταλαντωτής του σχήματος: ένα σώμα Σ μάζας m, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, και ένα ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/m, που η μια του άκρη είναι δεμένη στο σώμα και η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη ακλόνητα.

Το σώμα Σ κινείται μεταξύ των θέσεων Α και Β με πλάτος Α.

Από ύψος h αφήνουμε να πέσει ένα κομμάτι πλαστελίνης μάζας m, το οποίο προσκολλάται στο σώμα που ταλαντώνεται.

I. Σε ποια από τις παρακάτω θέσεις πρέπει να γίνει η κρούση ώστε η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να είναι η μέγιστη δυνατή;

α. Σε μια ακραία θέση,    

β. Στη θέση ισορροπίας Ο,      

γ. Σε καμιά· η απώλεια μηχανικής ενέργειας είναι ίδια σε οποιαδήποτε θέση γίνει η κρούση.

ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Η χρονική διάρκεια της κρούσης να θεωρηθεί αμελητέα. 

Απάντηση: 

2. Με προβλημάτισε η λύση της παρακάτω άσκησης:

 «Ένας σκιέρ μάζας Μ, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε μια παγωμένη οριζόντια επιφάνεια κρατώντας μια μπάλα μάζας m. Κάποια στιγμή πετά οριζόντια τη μπάλα με ταχύτητα υ προς ένα κατακόρυφο τοίχο. Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο, αναπηδά και επιστρέφει στην αγκαλιά του σκιέρ. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του σκιέρ, αν αγνοήσουμε το πεδίο βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα;»

Η απάντηση στο βιβλίο είναι η εξής:

Εφαρμόζοντας δύο φορές την Α.Δ.Ο θα βρούμε την ταχύτητα του σκιέρ αμέσως μετά το πιάσιμο της μπάλας. Όταν πετάει την μπάλα προς τον τοίχο,

                                                               Μυ₁ = mυ                      (1)

Και όταν πιάνει την μπάλα κατά την επιστροφή  της,

                                             ( Μ + m)V₁ = Mυ₁ + mυ = 2mυ     (2)

                                                        V₁ = ^2mυ⁄_{m+M                    (3)}

Έχω την εξής απορία που αφορά στη σχέση (2). Γνωρίζω ότι η σύγκρουση της μπάλας με τον άνθρωπο είναι ανελαστική και για αυτό τα δύο σώματα θα αποκτήσουν την ίδια ταχύτητα. Δεν καταλαβαίνω όμως γιατί οι συγγραφείς  έχουν εξισώσει το ( Μ + m)V₁ με το 2mυ. Πώς προέκυψε το 2mυ!

Απάντηση:

3. Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Για εργασία στο σπίτι ο καθηγητής μας, μας έδωσε την εξής άσκηση:

Έστω ότι ένα υποθετικό τρένο μάζας m = 2 kg, φορτωμένο με ένα βαρύ σώμα μάζας Μ = 48 kg, κινείται ελεύθερα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ = 1m/s πάνω σε μια ευθύγραμμη σιδηρογραμμή. Ξαφνικά το σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς την πορεία του τρένου με ταχύτητα 0,5 m/s. Η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή και το άδειο τρένο συνεχίζει το ταξίδι του.

Ποια είναι η τελική ταχύτητα του τρένου μετά την εκτόξευση του σώματος;

Η λύση μου έχει ως εξής. Επειδή δεν ασκείται κάποια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης του τρένου, η ορμή του συστήματος (τρένο – φορτίο) κατά τη διεύθυνση αυτή διατηρείται,

                                                            (Μ+m)υ = mυ΄         (1)

                                                               υ΄ = (Μ+m)υ⁄_m

                                                                    υ΄ =  (48kg + 2kg)(1m/s)⁄2kg = 25 m/s

Επειδή η λύση μου φάνηκε αρκετά απλή είπα να βρω και κάτι άλλο. Σκέφτηκα να δω τι συμβαίνει με τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος. Γνωρίζω ότι εδώ η συνολική κινητική ενέργεια δεν διατηρείται (έχουμε κάτι σαν σχάση όπου η ενέργεια αυτή αυξάνεται). Πράγματι,  η ενέργεια αυτή πριν την αποβολή του σώματος ήταν 25 J, ((1/2)50·1²) ενώ μετά παίρνει την τιμή 631 J ( (1/2)2·25²+ (1/2)48·0,5²).

Όμως ένας συμμαθητής μου, πολύ καλός στη φυσική, σε επικοινωνία που είχα μαζί του, μου είπε ότι αυτός έχει βρει άλλη τιμή για την ταχύτητα του τρένου, που δε θέλησε να μου την πει. Αντί γι' αυτό μου είπε ότι,τελικά, το σύστημα έχει κινητική ενέργεια 600 J μικρότερη από αυτήν που έχω βρει.

Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Απάντηση:

4. Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ορμής στο παρακάτω παράδειγμα;

 Θεωρείστε μέσα σε ένα ακίνητο βαγόνι τρένου δύο ελαστικές μπάλες Α και Β, που κινούνται οριζόντια με αντίθετες ορμές Ρ και -Ρ, αντίστοιχα. Κάποια στιγμή, η μπάλα Β που έχει ορμή -Ρ συγκρούεται  ελαστικά με το κατακόρυφο  τοίχωμα του βαγονιού και επιστρέφει με ορμή Ρ.  Πριν την κρούση η συνολική ορμή ήταν Ρ + (-Ρ) = 0, μετά είναι Ρ + Ρ = 2Ρ.

Δεν παραβιάζει αυτό την Αρχή διατήρησης της ορμής;

Απάντηση:

7. Ξεκίνησα με το θεώρημα έργου – ενέργειας και βρέθηκα σε αδιέξοδο.

Δοκίμασα να λύσω την παρακάτω άσκηση ελαστικής κρούσης:

Η μπάλα πετιέται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ­₀ από το σημείο Α του αριστερού τοιχώματος ενός φρεατίου και συγκρούεται ελαστικά με το απέναντι δεξί τοίχωμα. Τελικά πέφτει στη βάση του φρεατίου στο σημείο Β, που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α. Τριβές δεν υπάρχουν. ­ 

Η ερώτηση είναι, 

ποια από τις παρακάτω παραστάσεις 

       α. L√g/h   ,  β. L√2g/h   ,  γ. 2L√g/h   ,   δ. 2L√2g/h   

αντιστοιχεί στην αρχική ταχύτητα υ₀.

Ξεκίνησα με το θεώρημα έργου – ενέργειας και κατέληξα στη σχέση:

                                                          υ_Β² = υ₀² + 2gh

Εδώ σταμάτησα, δεν μπορώ να προχωρήσω άλλο. Δεν ξέρω πώς να χρησιμοποιήσω το L για να απαλλαγώ από την τελική ταχύτητα υ_Β.

Απάντηση:  

2η 

Ένα μικρό σφαιρικό σώμα, αμελητέων διαστάσεων, προσπίπτει με ταχύτητα v πάνω σε μια αρχικά ακίνητη σφαίρα ακτίνας R. Τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες. Το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται σε απόσταση b (b<R) από την ευθεία πάνω στην οποία κινείται αρχικά η μικρή σφαίρα.

Αν η κρούση είναι ελαστική, τότε η ταχύτητα της μικρής σφαίρας μετά την κρούση θα είναι: 

	_______
α.  v√	1- (b/R)2 ,       β. vb⁄R ,       γ.  vb⁄2R

Απάντηση:

8. Ελαστική κρούση τριών σωμάτων. Ολική μεταφορά.

Είναι γνωστό ότι στην περίπτωση της ελαστικής κρούσης του διπλανού σχήματος, η κινητική ενέργεια του σώματος Α θα μεταφερθεί, τελικά, μέσω του Β, στο Γ. Υπάρχει άλλη περίπτωση ελαστικής κρούσης τριών σωμάτων, όπου τελικά έχουμε ολική μεταφοράς της κινητικής ενέργειας σε ένα μόνο από αυτά;

Η απάντηση είναι, ΝΑΙ, και όχι μόνο μια, αλλά άπειρες. Αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα μάζες και ταχύτητες. Δείτε για παράδειγμα την παρακάτω απλή εφαρμογή.

Τρεις τέλεια λείες ελαστικές σφαίρες Α, Β και Γ, με μάζες m_A = 2 kg, m_B = 4kg και m_Γ = 8 kg, κινούνται κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα τους και προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες μέτρων 4 m/s, 1m/s και 0,75 m/s, αντίστοιχα, όπως δείχνει το σχήμα. Αν πρώτα συγκρουστεί η σφαίρα Α με τη Β, και στη συνέχεια η Β με τη Γ, τότε:

Ελαστική κρούση και ανατροπή

Ένα σώμα Β  σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, μάζας 4m, είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα οριζόντιο σταθερό τραπέζι. Πάνω του τοποθετούμε ένα όμοιων διαστάσεων σώμα Α μάζας 2m, όπως στο σχήμα.

Μεταξύ της βάσης του σώματος Β και του τραπεζιού υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής ολισθήσεως μ. Δεν υπάρχει τριβή μεταξύ των δύο σωμάτων Α και Β.

Μια μικρή ελαστική σφαίρα μάζας m κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα v κατά μήκος μιας νοητής ευθείας, που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος Β και είναι κάθετη στην κατακόρυφη πλευρά του, συγκρούεται ελαστικά με το σώμα Β, σε ύψος d πάνω από την επιφάνεια του τραπεζιού.

Α. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας v (ας την συμβολίσουμε με υ₀)  για να ανατραπεί το σώμα Α είναι:

                                    α. 5√ 6μgd   ,     β.   ⁵⁄₂ √ 6μgd   ,    γ. 5√ 3μgd  

9. Μια κεντρική κρούση όπου υ1,τελ ≤ υ1,αρχ/2

Απορία μαθητή

Μου δόθηκε η εξής ερώτηση:

Θεωρείστε δύο λεία σφαιρικά σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες. Το Σ₂ είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Σ₁ κινείται πάνω στο επίπεδο αυτό και πλησιάζει το Σ₂ με ταχύτητα υ. Υποθέστε ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα, οι οποίες είναι συγγραμμικές με την υ και έχουν την ίδια φορά με αυτήν.

Να δείξετε ότι υ₁ ≤ υ/2 .

     Να πώς σκέφτηκα: Αφού όλες οι ταχύτητες είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά, μπορώ να υποθέσω ότι  υ ≥0, υ₁≥0, υ₂≥0.

    Εφαρμόζω Α.Δ.Ο:                    mυ = mυ₁ + mυ₂ 

                                                     →   υ = υ₁ + υ₂              (1)

   Στη συνέχεια όμως μπερδεύομαι και δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα αποδείξω αυτό που μου ζητούν. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η κρούση είναι κεντρική, δεν δίνεται όμως καμιά άλλη πληροφορία. Γνωρίζω ότι η τιμή των τελικών ταχυτήτων  διαμορφώνεται ανάλογα με το είδος της κρούσης. Έτσι, αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ότι υ = 10 m/s και υ₂ = 4 m/s, τότε από την παραπάνω σχέση  της Α.Δ.Ο. προκύπτει ότι υ₁ = 6 m/s, οπότε δεν έχουμε  υ₁ ≤ υ/2.  (Σε αυτήν την περίπτωση, βέβαια, το Σ₁ πρέπει να περάσει μέσα από το Σ₂, αλλά από την εκφώνηση δεν προκύπτει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο).

Κάνω κάπου λάθος; Μου έχουν πει ότι η παραπάνω ερώτηση έχει μια πολύ εύκολη απάντηση.

Θα χαρώ πολύ αν μου δώσετε τα φώτα σας.

Νίκος Τ.

Απάντηση:

Δύο ελαστικές σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι – πότε θα ξανασυγκρουστούν.

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες ηρεμούν, αρχικά, μέσα σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι, σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, και μετά από χρόνο t₀ συγκρούεται κεντρικά με τη σφαίρα Β.

 Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες θα ξανασυγκρουστούν έπειτα από χρόνο:

α. t₀, αν m_A > m_B, και 2t₀, αν m_A < m_B

“ Όταν οι πάγοι λιώνουν”

Ένα ανοικτό μικρό βαγόνι κινείται με ταχύτητα υ, χωρίς τριβές και χωρίς αντίσταση από τον αέρα, πάνω στις ράγες μιας ευθύγραμμης σιδηροδρομικής γραμμής. Κάποια στιγμή, καθώς διέρχεται κάτω από μια γέφυρα, αφήνονται από αυτήν να πέσουν κατακόρυφα πάνω στο βαγόνι ένας αριθμός από παγοκολόνες (ίσως ένας έξυπνος τρόπος να φορτώσουμε γρήγορα και με λιγότερο κόπο το βαγόνι). Η κρούση είναι πλαστική.

Ι. Θεωρείστε το σύστημα «βαγόνι - παγοκολόνες». Τι συμβαίνει στις παρακάτω ποσότητες αυτού του συστήματος, καθώς οι παγοκολόνες “φορτώνονται” στο βαγόνι;

α. Στην οριζόντια ορμή του,

β. στην ταχύτητά του,

γ. στην κινητική του ενέργεια.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ταυτόχρονη πλάγια κρούση τριών σωμάτων

                                (με αναλυτική λύση, σχόλια και παρατηρήσεις)

Τρία σώματα Α,Β και Γ, με ίσες μάζες, κινούνται με ταχύτητες ίσων μέτρων κατά μήκος των διχοτόμων ενός ισόπλευρου τριγώνου, όπως στο σχήμα, και συγκρούονται ταυτόχρονα στο κέντρο C. Μετά την κρούση, το Α ακινητοποιείται, το Β αντιστρέφει την πορεία του κινούμενο με ταχύτητα ίδιου μέτρο υ, ενώ η ταχύτητα του Γ έχει μέτρο:

ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΘΕΜΑ B “ΕΞΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ”

1.  Στην αριστερή στήλη του σχήματος φαίνονται δύο σφαίρες Α και Β αμέσως πριν συγκρουστούν, ενώ στη δεξιά έχουν σχεδιαστεί τρείς περιπτώσεις (1), (2) και (3) για την κατάστασή τους αμέσως μετά την κρούση.

Ποια από αυτές τις περιπτώσεις αντιστοιχεί σε:

i) αδύνατη κατάσταση,

ii) ελαστική κρούση,

iii) ανελαστική κρούση.

Αιτιολογείστε την επιλογή σας.

Η κρούση θεωρείται κεντρική και οι σφαίρες ολισθαίνουν χωρίς να κυλίονται.

Οι υπόλοιπες ερωτήσεις και οι απαντήσεις εδώ.