9. Μια κεντρική κρούση όπου υ1,τελ ≤ υ1,αρχ/2

Απορία μαθητή

Μου δόθηκε η εξής ερώτηση:

Θεωρείστε δύο λεία σφαιρικά σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες. Το Σ₂ είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Σ₁ κινείται πάνω στο επίπεδο αυτό και πλησιάζει το Σ₂ με ταχύτητα υ. Υποθέστε ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα, οι οποίες είναι συγγραμμικές με την υ και έχουν την ίδια φορά με αυτήν.

Να δείξετε ότι υ₁ ≤ υ/2 .

     Να πώς σκέφτηκα: Αφού όλες οι ταχύτητες είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά, μπορώ να υποθέσω ότι  υ ≥0, υ₁≥0, υ₂≥0.

    Εφαρμόζω Α.Δ.Ο:                    mυ = mυ₁ + mυ₂ 

                                                     →   υ = υ₁ + υ₂              (1)

   Στη συνέχεια όμως μπερδεύομαι και δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα αποδείξω αυτό που μου ζητούν. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η κρούση είναι κεντρική, δεν δίνεται όμως καμιά άλλη πληροφορία. Γνωρίζω ότι η τιμή των τελικών ταχυτήτων  διαμορφώνεται ανάλογα με το είδος της κρούσης. Έτσι, αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ότι υ = 10 m/s και υ₂ = 4 m/s, τότε από την παραπάνω σχέση  της Α.Δ.Ο. προκύπτει ότι υ₁ = 6 m/s, οπότε δεν έχουμε  υ₁ ≤ υ/2.  (Σε αυτήν την περίπτωση, βέβαια, το Σ₁ πρέπει να περάσει μέσα από το Σ₂, αλλά από την εκφώνηση δεν προκύπτει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο).

Κάνω κάπου λάθος; Μου έχουν πει ότι η παραπάνω ερώτηση έχει μια πολύ εύκολη απάντηση.

Θα χαρώ πολύ αν μου δώσετε τα φώτα σας.

Νίκος Τ.

Απάντηση:

Το πρόβλημα εστιάζεται στο ότι δεν αποκλείεις την περίπτωση το Σ₁ να διέρχεται μέσα από το Σ₂. Πράγματι, αν δεχτούμε και αυτήν την περίπτωση, το ερώτημα δεν έχει απάντηση.

Συνηθίζεται στις κρούσεις που το ένα σώμα διαπερνά το άλλο να γίνεται ιδιαίτερη αναφορά σ΄ αυτό, και αυτή απουσιάζει στην παραπάνω ερώτηση.

 Έτσι, αν αποκλείσουμε την παραπάνω περίπτωση το ερώτημα έχει, πράγματι, πολύ εύκολη απάντηση, που στηρίζεται στον περιορισμό:

                                                               υ₁ ≤ υ₂                             (2)

(ότι δηλαδή το Σ₁ δεν διέρχεται μέσα από το Σ₂).

Η ανισότητα (2) λόγω της σχέσης (1) από την Α.Δ.Ο. γίνεται:

                                                              υ₁ ≤ υ – υ₁

                                                           →  2υ₁ ≤ υ 

                                                           →  υ₁ ≤ υ/2

Από τις ίδιες σχέσεις, με παρόμοιο τρόπο αλλά με αντικατάσταση του υ₁, προκύπτει:

                                                                  υ₂ ≥ υ/2

     Μπορείς να δεις το θέμα και ως εξής:

Αν η κρούση ήταν τέλεια ελαστική τότε: υ₁ = 0 και υ₂ = υ. Αν ήταν πλαστική τότε: υ₁ = υ₂ = υ/2 Προφανώς, για οποιοδήποτε είδος κρούσης με τους παραπάνω περιορισμούς, δηλαδή αρχικά υ_Σ1 = υ, υ_Σ2 =0 και τελικά οι υ₁ και υ₂ συγγραμμικές και ομόρροπες με την υ, πρέπει: 

                                                         0 ≤ υ₁ ≤ υ/2 και υ/2 ≤ υ₂ ≤ υ

Παρατήρηση:

Η διατύπωση των  ερωτημάτων πρέπει να είναι απλή και σαφής. Αν η ερώτηση συνοδευόταν και από ένα σχήμα όπως το παρακάτω: 

θα περνούσε από το νου του μαθητή η σκέψη ότι είναι δυνατόν το Σ₁ να περάσει μέσα από το Σ₂;

 Γενικεύοντας:

Αν στην παραπάνω ερώτηση οι μάζες είχαν σχέση m₂:m₁ = λ, (n=1,2,3,4,…), τότε:

                                                           υ₁,_τελ  ≤ υ_1,αρχ/(λ+1)

 … και η απόδειξη είναι, όντως, απλή.