Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Δευτέρα 29 Ιανουαρίου 2018

4. Ταχύτητα μετατόπισης στάθμης υγρού σε δεξαμενή κι εκτόπιση αέρα


Στην κυλινδρική δεξαμενή του σχήματος, διαμέτρου D = 2m, εισάγεται νερό μέσω του σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3. Με τη βοήθεια αντλιών το νερό εισχωρεί με σταθερή ταχύτητα υ­­1 = 8 m/s από τον σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3 με σταθερές ταχύτητες υ2 = 3,75 m/s και υ3 = 4 m/s, αντίστοιχα. Ο σωλήνας 4 είναι ανοιχτός και μέσω αυτού επικοινωνεί ελεύθερα ο αέρας που βρίσκεται μέσα στο δοχείο με τον ατμοσφαιρικό. Οι εσωτερικές διάμετροι των σωλήνων είναι d1 = 6 cm, d2 = 4 cm, d3 = 5 cm και d4 = 4 cm. Το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη δεξαμενή είναι πάνω από τον σωλήνα 1 και η ροή του νερού είναι στρωτή.
 Να υπολογίσετε:
α) Την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται η ελεύθερη στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή.

Σάββατο 27 Ιανουαρίου 2018

3. Αιώρηση επίπεδης πλάκας πάνω σε πίδακα νερού



Από κατακόρυφο σωλήνα διατομής Α1 = 2 cm2  βγαίνει φλέβα νερού με ταχύτητα υ1 = 10 m/s.
α) Ποια είναι η ταχύτητα της φλέβας σε α­πόσταση h = 1,8 m από την έξοδο στις δύο περιπτώσεις του σχήματος;
β) Ποιο είναι το εμβαδό της διατομής Α2 της φλέβας σε απόσταση h από το στόμιο του σωλήνα στην κάθε περίπτωση;
γ) Πόσος όγκος νερού διέρχεται από τη διατομή Α2 σε χρόνο ίσο με 1 sec σε κάθε περίπτωση;
δ) Πόση είναι η μάζα της υγρής στήλης ύψους h πάνω από το στόμιο του σωλήνα στην περίπτωση (α);
ε) Ένας ομογενής και ισοπαχής δίσκος μάζας m μπορεί να παραμείνει ακίνητος σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια του πίδακα νερού της περίπτωσης (α), ο οποίος προσπίπτει στην κεντρική περιοχή του δίσκου. Πόση είναι η μάζα m του δίσκου; Το νερό αμέσως μετά την πρόσπτωση στο δίσκο, διαχωρίζεται συμμετρικά προς όλες τις διευθύνσεις και κινείται εφαπτομενικά του δίσκου.
Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s2 και η πυκνότητα ρ = 103 kg/m3 = 1 kg/L του νερού. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα.

12. Υγρά σε ισορροπία. Ένα εύκολο αλλά πονηρό θέμα Β



Στο ανοικτό δοχείο περιέχονται δύο διαφορετικά μη αναμίξιμα υγρά Α και Β. Στη μια πλευρά του έχουν προσαρμοστεί δύο πιεσομετρητές (οι δύο σωλήνες Ι και ΙΙ που επικοινωνούν ο καθένας με το ένα από τα δύο υγρά). Οι αποστάσεις των δύο επιφανειών των υγρών από τη βάση του δοχείου είναι 2 m και 0,3 m Να υπολογίσετε
α) Το ύψος της στάθμης κάθε  υγρού μέσα στον αντίστοιχο σωλήνα.
β) Τη συνολική πίεση στον πυθμένα του δοχείου.
Δίνεται g = 10 m/s2.
(Στο σχήμα οι στάθμες των υγρών στους δύο σωλήνες έχουν σχεδιαστεί εντελώς αυθαίρετα. Ως επίπεδο αναφοράς για τη μέτρηση των υψών θεωρείστε τον πυθμένα του δοχείου).

Παρασκευή 26 Ιανουαρίου 2018

2. Εκροή από κλειστό δοχείο



Η κλειστή δεξαμενή του σχήματος έχει ύψος Η = 2m και περιέχει νερό μέχρι το ύψος h = 1,4 m και από εκεί και πάνω αέρα. Τα εμβαδά των καθέτων τομών των σωλήνων στα σημεία Α και Ο είναι αντίστοιχα SA = 8 cm2 και So = 2 cm2.
H πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο είναι Ρ = 1,5·10 N/m2 και η πυκνότητα του νερού ρ = 103 kg/m3.
α) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άνοιγμα στο Ο.
β) Να βρεθεί το ύψος h1 του νερού  στον ανοιχτό κατακόρυφο σωλήνα ΑΒ.
(Θεωρείστε αμελητέο το εμβαδό της διατομής στο Ο σε σχέση με το εμβαδό της επιφάνειας του υγρού στο κλειστό δοχείο).
γ)  Σιγά – σιγά η στάθμη του νερού στη δεξαμενή κατέρχεται και μετά πάροδο αρκετού χρόνου σταθεροποιείται σε ένα ύψος h2. Να το υπολογίσετε.

δ) Να βρείτε την τελική τιμή της πίεσης του αέρα μέσα στο δοχείο. 
Δίνεται ότι: Patm = 105Ν/m2 και g = 10 m/s2 και ότι η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή.

ΟΔΗΓΙΑ  Στα ρευστά, ό,που έχω πιέσεις ή και ύψη εφαρμόζω νόμο Bernoulli, ό,που έχω διατομές εφαρμόζω νόμο συνέχειας. Σε σωλήνα με στάσιμο υγρό εφαρμόζω τη σχέση της υδροστατικής.  Αν ένα αέριο εκτονώνεται με σταθερή θερμοκρασία τότε ισχύει PV σταθ.

Πέμπτη 25 Ιανουαρίου 2018

1. Βεντουρίμετρο και παροχή



Μέσα σε οριζόντιο σωλήνα ρέει νερό. Ο σωλήνας αποτελείται από δύο τμήματα με διατομές Α1 = 4 cm2 και Α2 = 1 cm2 αντίστοιχα. Σε κάθε τμήμα τού σωλήνα υπάρχει ένας κατακό­ρυφος λεπτός σωλήνας. Παρατηρούμε ότι στον πρώτο από αυτούς το νερό σχηματίζει στήλη ύψους h1 = 15 cm. Η ταχύτητα του νερού στο δεύτερο τμήμα είναι υ2 = 0,8 m/s. Να βρεθεί:
α) Πόσο είναι το ύψος h2 της στήλης του νερού στον άλλο σωλήνα και
β) Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει ένα αρχικά άδειο δοχείο όγκου V = 8 L, αν όλο το νερό που εξέρχεται ρίχνεται σε αυτό;

Σάββατο 20 Ιανουαρίου 2018

11. Έμβολα και ισορροπία (Απαιτούνται γνώσεις ισορροπίας στερεού)


Το πιστόνι (έμβολο) 1 του σχήματος έχει διάμετρο d = 0,5 cm, ενώ το πιστόνι 2 έχει διάμετρο D = 3 cm και πάνω του στηρίζεται σώμα μάζας m = 36 kg. Οι βάσεις των πιστονιών είναι σε άμεση επαφή με το υγρό και για να βρεθούν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο πρέπει ο μοχλός να διατηρηθεί οριζόντιος, με τη βοήθεια της κατακόρυφης δύναμης F.

Πέμπτη 18 Ιανουαρίου 2018

10ο. Εμβολο-στήριξη 2ο



Το αβαρές έμβολο εμβαδού Α = 10-3 m2 κλείνει ερμητικά το κάτω μέρος ενός αβαρούς δοχείου γεμάτο με νερό μάζας m = 10 kg και πυκνότητας ρ = 103 kg/m2, χωρίς αέρα, και δεν εμφανίζει τριβές με τα τοιχώματα του δοχείου.
Το έμβολο στηρίζεται κατάλληλα σε σταθερό βάθρο. Στην πάνω βάση του δοχείου ασκούμε μια κατακόρυφη προς τα κάτω δύναμη F = 100Ν.

Τετάρτη 17 Ιανουαρίου 2018

9. Εμβολο-στηρίξεις 1ο


Τα δύο αβαρή ισοϋψή δοχεία περιέχουν ίδια ποσότητα νερού πυκνότητας ρ. Δεν περιέχουν αέρα. Κλείνονται ερμητικά από αβαρή έμβολα, με εμβαδά Α1 και Α2  ( Α1> Α2)  που δεν εμφανίζουν τριβές με τα δοχεία.
Τα έμβολα στηρίζονται κατάλληλα σε σταθερό βάθρο.
Θέλουμε να συγκρίνουμε τις πιέσεις στα σημεία Ε και Δ.

8ο. Έμβολο + δύναμη + τρύπα στο δοχείο



Όπως πριν. Όμως τώρα έχουμε αφαιρέσει το πάνω έμβολο. Αν Patm = 105 N/m2, h = 2 m, εμβαδό επιφάνειας εμβόλου Α = 10-4 m2, πυκνότητα υγρού ρ = 103 kg/m3 και g = 10 m/s2 τότε:
Ι) το μέτρο της F για να μην μετακινείται το έμβολο πρέπει να είναι:
α) 2 Ν,   β) 12 Ν,   γ) 10 Ν
ΙΙ) Η πίεση στο Ν είναι:
α) 1,2ˑ105 N/m2,   β) 2,2ˑ105 N/m2, γ) 2,1ˑ105 N/m2

Τρίτη 16 Ιανουαρίου 2018

7ο. Δύο έμβολα + δύο δυνάμεις



Δύο αβαρή έμβολα ίδιας κυκλικής διατομής, εμβαδού Α, κλείνουν ερμητικά τα δύο στόμια του δοχείου του σχήματος, που είναι γεμάτο με νερό. Η διάμετρός τους είναι ασήμαντη σε σχέση με τις διαστάσεις του δοχείου, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πίεση στα σημεία της εσωτερικής επιφάνειας του εμβόλου Ε2 είναι ίση με την πίεση στο κέντρο του. Το δοχείο στηρίζεται ακλόνητα πάνω σε σταθερά υποστηρίγματα.
Ι. Αν Patm = 105N/m2,  Α = 10-4 m2, h = 2m, ρ = 103 kg/m3, g10 m/s2 και F110 N, τότε για να ισορροπεί το σύστημα (δηλαδή να μην μετακινούνται τα έμβολα) πρέπει η F2 να έχει μέτρο:
α) 11 Ν, β)  10 Ν,   γ) 12 Ν
ΙΙ)  Η πίεση στο Ν είναι:

6ο. Έμβολο + δύναμη


Αν F = 2N, Patm = 105N/m2, h = 2m, εμβαδό επιφάνειας εμβόλου Α = 10-4m2, πυκνότητα υγρού ρ = 103 kg/m3 και g = 10 m/s2 τότε:
Ι) Η πίεση στο Ν θα είναι:
α) 105 N/m2,   β) 1,2ˑ105N/m2,  γ) 1,4ˑ105N/m2
ΙΙ) Η πίεση στο Ε θα είναι:
α) 105 N/m2,   β) 1,2ˑ105N/m2,  γ) 1,4ˑ105N/m2
ΙΙΙ) Η πίεση στο Ζ θα είναι:
α) 105 N/m2,   β) 1,2ˑ105N/m2,  γ) 1,4ˑ105N/m2

Δευτέρα 15 Ιανουαρίου 2018

5ο. Έμβολο + δύναμη, διάφοροι προσανατολισμοί.


Ίδια με την προηγούμενη, εδώ όμως το έμβολο έχει βάρος wε και στην εξωτερική του πλευρά ενεργεί δύναμη F κάθετα πάνω του.
4ο. Ένα έμβολο, διάφοροι προσανατολισμοί.
Στο στόμιο ενός μπουκαλιού γεμάτο με νερό εισάγουμε ένα αβαρές έμβολο εμβαδού Α, το οποίο μπορεί να γλιστράει χωρίς τριβές με τα τοιχώματά του. Με τη βοήθεια κατάλληλης βαλβίδας αφαιρούμε τον αέρα που τυχόν έχει εγκλωβιστεί, οπότε το έμβολο έρχεται σε επαφή με την ελεύθερη επιφάνεια του νερού (σχήμα α). Στα σχήματα (β), (γ) και (δ) το ίδιο δοχείο το συγκρατούμε σε πλάγια, οριζόντια και αντεστραμμένη, αντίστοιχα, θέση.
Ι) Πόση είναι η πίεση στα σημεία Α και Β σε κάθε περίπτωση;
ΙΙ)  Η δύναμη που ασκεί το νερό στο έμβολο στο σχήμα (δ) είναι:
i. Ίση με το βάρος w του νερού.
ii. Ίση με  W + PatmA
iii. Ίση με  PatmA

3ο. Δύο ομοαξονικά έμβολα

  
 Το δοχείο του σχήματος είναι γεμάτο με ιδανικό υγρό και κλείνεται ερμητικά με δύο κυλινδρικά έμβολα Ε1 και Ε2 που τα εμβαδά τους Α1 και Α2, αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση Α1 = 4Α2. Οι άξονες των δύο εμβόλων βρίσκονται πάνω στην ίδια οριζόντια γραμμή, τη διακεκομμένη γραμμή του σχήματος σε απόσταση h από την οροφή. Κάθετα στην επιφάνεια του εμβόλου Ε1 ασκούμε δύναμη μέτρου F1, της οποίας ο φορέας ταυτίζεται με τον άξονα του εμβόλου.
Ι) Για να παραμείνουν τα έμβολα ακίνητα στις αρχικές τους θέσεις, πρέπει ταυτόχρονα στο έμβολο  Ε2 να ασκήσουμε κάθετη δύναμη στο κέντρο του, που έχει μέτρο F2 για το οποίο ισχύει:
                                             α. F2 = 4F1,     β.  F2 = F1,        γ.   F2 = F1/4
ΙΙ)  Η πίεση ΡΜ σε ένα σημείο Μ της οριζόντιας γραμμής των αξόνων των δύο εμβόλων είναι:
            α. ΡΜ = F1/A1   ή    ΡΜ = F2/A2,       β.     ΡΜ = F1/A1   +  F2/A2,     γ  ΡΜ = F1/A1   + Ρatm
ΙΙΙ) Αν στα σημεία της οροφής επικρατεί πίεση ίση με Patm τότε:
                    α. F1 = (Patmρgh)Α1,      β.  F1 = ρghΑ1,      γ. F1 =  (Patm + ρgh)Α

Κι άλλα έμβολα σε δοχεία με υγρά - Αρχή του Pascal.

2ο.  Δύο έμβολα, δύο δυνάμεις στο κενό χωρίς βαρύτητα.

Το δοχείο του πλαϊνού σχήματος βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας και εκτός ατμόσφαιρας. Είναι γεμάτο με νερό το οποίο συμπιέζεται από τις δυνάμεις F, που ενεργούν κάθετα στα δύο αντικριστά στεγανά έμβολα ίδιας διατομής Α, τα οποία ισορροπούν. Η πίεση στο σημείο Μ που βρίσκεται στην ευθεία των κοινών αξόνων των δύο εμβόλων και ισαπέχει από αυτά είναι:
                                  α) μηδέν,       β) F/A,      γ2F/A
Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε.

Τρίτη 9 Ιανουαρίου 2018

1ο. Υγρό σε συγκοινωνούντα δοχεία - έμβολα

       1ο.   Υγρό σε συγκοινωνούντα δοχεία - έμβολα


Στο σύστημα των τριών συγκοινωνούντων δοχείων του σχήματος περιέχεται νερό μέχρι ορισμένου ύψους. Αποτελείται από τρείς κατακόρυφους κυλινδρικούς σωλήνες με εμβαδόν διατομής Αa = 12ˑ10-3 m2 ο αριστερός, Αb = 6ˑ10 –3 m2 ο κεντρικός, και Αc =  24 ˑ10 –3 m2 ο δεξιός. Η ελεύθερη επιφάνεια κάθε υδάτινης στήλης σε κάθε σωλήνα φράσσεται ερμητικά από ένα αβαρές  έμβολο, το οποίο δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα. Τρία βάρη με μάζες ma, mb και mc, που τοποθετούνται πάνω στα έμβολα, καθορίζουν το ύψος κάθε υδάτινης στήλης, όπως φαίνεται στο σχήμα.
αΑν είναι γνωστό ότι οι μάζες των τριών βαριδιών έχουν τιμές 2 kg,  6 kgr και 8 kgr, να βrείτε ποια από αυτές αντιστοιχεί στην ma, ποια στην mb και ποια στην mc.
.......