Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Τρίτη 28 Απριλίου 2020

Ισορροπία και θεώρημα Torricelli


    
Μια ομογενής σφαίρα ακτίνας R περιέχει νερό μέχρις ύψους R/2 πάνω από την οριζόντια διάμετρό της, σε μια θέση της οποίας υπάρχει ένα κλειστό βρυσάκι. Η συνολική μάζα σφαίρας – νερού είναι Μ = 10 kg. Η σφαίρα υποστηρίζεται από δύο αμελητέου βάρους κατακορύφους ράβδους μήκους L = 4R που στερεώνονται στο δάπεδο με αρθρώσεις, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Οι δύο ράβδοι βρίσκονται σε απόσταση d = R3 και συνδέονται με σχοινί σε ύψος h = d. Δεν υπάρχει τριβή μεταξύ της σφαίρας και των ράβδων και το σύστημα ισορροπεί.
α. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ενεργούν πάνω στη σφαίρα και βρείτε το μέγεθος της δύναμης που κάθε ράβδος ασκεί στη σφαίρα.
β. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ενεργούν στη μια από τις δύο ράβδους και υπολογίστε την τάση Τ του σχοινιού.
γ. Να βρείτε την οριζόντια και την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται κάθε ράβδος από την άρθρωσή της στη βάση.
 δ. Αφαιρούμε το κάλυμμα από το πάνω μέρος της σφαίρας και ανοίγουμε το βρυσάκι, οπότε το νερό εκτινάσσεται με μορφή πίδακος. Σε απόσταση s = 1,5R πάνω στο έδαφος υπάρχει ένα μικρό δοχείο. Κάποια στιγμή το νερό του πίδακα αρχίζει να εισχωρεί μέσα στο δοχείο. Να βρείτε τότε το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη σφαίρα.
Δίνεται : g = 10 m/s2, συν30ο = 0,87 

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word


Κυριακή 26 Απριλίου 2020

Δύο δίσκοι χόκεϊ επί πάγου


Δύο δίσκοι χόκεϋ επί πάγου ακτίνων R και μάζας m κινούνται ο ένας προς τον άλλο σε μια οριζόντια επιφάνεια, χωρίς τριβή, με ίσες και αντίθετες ταχύτητες σε μια πορεία μετωπικής σύγκρουσης. Και οι δύο περιστρέφονται αριστερόστροφα γύρω από το αντίστοιχο κέντρο μάζας τους με γωνιακή ταχύτητα ω, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
α. Υπολογίστε τη συνολική ορμή και στροφορμή του συστήματος των δύο δίσκων πριν την κρούση.
β. Είναι η συνολική στροφορμή του συστήματος των δίσκων μετά την κρούση ίδια με αυτήν πριν την κρούση;
γ. Αν η κρούση είναι πλαστική και οι δύο δίσκοι συγκολλώνται σε ένα διπλό δίσκο, ποια είναι η ροπή αδράνειας του διπλού δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του; (Δίνεται η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς το δικό του κέντρο μάζας του ίση με ½ mR2).
δ. Θα περιστρέφεται ο διπλός δίσκος γύρω από το κέντρο μάζας του; Αν ναι να υπολογίσετε το τη γωνιακή του ταχύτητα, αν όχι να εξηγείστε γιατί. 

Απάντηση σε pdf:  
 Απάντηση σε word:


Σάββατο 25 Απριλίου 2020

Μετρώντας την πυκνότητα ενός υγρού με ανεστραμμένο σωλήνα σχήματος U


Τα ανοικτά σκέλη ενός σωλήνα σχήματος U είναι γυρισμένα προς τα κάτω και βυθισμένα σε δύο δοχεία Α και Β. Το Α περιέχει νερό και το Β κάποιο άγνωστο υγρό. Η πυκνότητα του νερού είναι 1g /cm3. Αντλούμε μια ποσότητα αέρα από το άνοιγμα Γ και κατόπιν το κλείνουμε με τη βοήθεια της βαλβίδας β. Ως αποτέλεσμα αυτού, στον σωλήνα Α εισχωρεί νερό σε ύψος 10 cm πάνω από την ελεύθερη στάθμη του και στον σωλήνα Β υγρό σε ύψος 12 cm πάνω από την ελεύθερη στάθμη του.
Να εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων:
α. Η πυκνότητα του υγρού στο δοχείο Β είναι 0,83 g / cm3.
β. Εάν επαναλάβουμε το πείραμα με τη στάθμη του υγρού στο ένα δοχείο σε διαφορετικό ύψος από το ύψος της στάθμης του άλλου και αφαιρέσουμε ποσότητα αέρα, ο λόγος των υψών των υγρών στα δύο σκέλη του σωλήνα θα παραμείνει 5:6.
γ. Το υγρό στο δοχείο Β έχει πυκνότητα 1,2 g / cm3

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:

Τετάρτη 22 Απριλίου 2020

Μεγάλος κύλινδρος υπερπηδά μικρό κύλινδρο

[Μια παραλλαγή της ασκ. 4.57 του σχολικού]

Δύο ομογενείς κύλινδροι διαμέτρων R και r, αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διάμετρος του μεγαλύτερου κυλίνδρου είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη από του μικρότερου. Γύρω από τη μέση του μεγαλύτερου κυλίνδρου τυλίγεται ένα λεπτό σχοινί, το ελεύθερο άκρο του οποίου τραβιέται με σταθερή οριζόντια δύναμη F. Υποθέτοντας ότι ο συντελεστής οριακής τριβής μ είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως και ίδιος για όλες τις επιφάνειες επαφής, να βρείτε:
α) Την ελάχιστη τιμή του ώστε ο μεγαλύτερος κύλινδρος να αναρριχηθεί κυλιόμενος, χωρίς ολίσθηση, πάνω στον μικρότερο και να τον προσπεράσει χωρίς ο μικρότερος να μετατοπιστεί ή να περιστραφεί.
Θεωρείστε ότι η δύναμη F είναι επαρκής ώστε να ανεβάσει τον μεγάλο κύλινδρο πάνω στον μικρό.
β) Το ελάχιστο μέτρο της F ώστε ο μεγάλος κύλινδρος να αναρριχηθεί στον μικρότερο.
Δίνεται το βάρος του μεγάλου κυλίνδρου W = 10 Ν .

Τρίτη 21 Απριλίου 2020

Αγώγιμος τριγωνικός αγωγός σε ΟΜΠ


Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, πλευράς α, από ένα ομογενές σταθερής κυλινδρικής διατομής αγώγιμο σύρμα. Στη συνέχεια συνδέουμε τις κορυφές του Α και Β με τους πόλους ηλεκτρικής πηγής. Με τη βοήθεια ενός αμπερομέτρου διαπιστώνουμε ότι η πλευρά ΑΒ διαρρέεται από ρεύμα i, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τοποθετούμε το τρίγωνο σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδό του.
Το μέτρο της μαγνητικής δύναμης στο τρίγωνο είναι:
                              α. 2Βiα,             β. (3/2)Βiα,            γ. μηδέν
Να επιλέξτε με αιτιολόγηση το σωστό. 

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:

Σάββατο 18 Απριλίου 2020

Ισορροπία συστήματος σωμάτων σε μαγνητικό πεδίο

Σε ένα μη αγώγιμο ομογενή δακτύλιο, ακτίνας r, στερεώνεται κατά μήκος μιας διαμέτρου του μια αβαρής αγώγιμη ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 2r και αντίστασης 2R. Το σύστημα των δύο σωμάτων μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στο κέντρο του Ο. Στα άκρα ενός αβαρούς, μη εκτατού, νήματος  που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του δακτυλίου αναρτώνται δύο σώματα με μάζες m και 2m, αντίστοιχα.. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κυκλικής διατομής ακτίνας r/2, κάθετο στο επίπεδο του δακτυλίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δημιουργούμε ένα κύκλωμα με τρία καλώδια που τα συνδέουμε στα άκρα Α και Β και στο κέντρο Ο της ράβδου. Στο κεντρικό καλώδιο παρεμβάλουμε ηλεκτρική πηγή αμελητέας αντίστασης και αφήνουμε το σύστημα δακτυλίου - ράβδου - σωμάτων ελεύθερο να κινηθεί. Παρατηρούμε ότι το σύστημα παραμένει ακίνητο (τα καλώδια σύνδεσης της ράβδου με την πηγή είναι λεπτά και χαλαρά και δεν ασκούν δυνάμεις στο σύστημα). Η τάση V στους πόλους  της πηγής είναι: 
α. 3mgR
  Br
β. mgR
2Br
γ. 4mgR
 Br

Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε την επιλογή σας. 
Απάντηση σε pdf:  
Απάντηση σε word:

Δευτέρα 13 Απριλίου 2020

Νερό σε δεξαμενή μαζί με αέρα υπό πίεση


Το σχήμα δείχνει μια μεγάλη κλειστή κυλινδρική δεξαμενή που περιέχει νερό. Αρχικά, ο αέρας που παγιδεύεται πάνω από την επιφάνεια του νερού έχει ύψος ho και πίεση 2po, όπου po είναι η ατμοσφαιρική πίεση. Ένας μακρύς κατακόρυφος σωλήνας περιέχει νερό σε ύψος h2 πάνω από το επίπεδο καπάκι της δεξαμενής, που επικοινωνεί με το νερό της δεξαμενής.
α. Να βρείτε το ύψος h2 του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα  
β. Ανοίγουμε μια τρύπα στα τοιχώματα της δεξαμενής σε βάθος h1 κάτω από το καπάκι. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από την τρύπα.
γ. Σε ποιο ύψος θα σταθεροποιηθεί η στάθμη του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα, όταν σταματήσει η ροή του από την τρύπα;
 (Τα μεγέθη Ρο , ho­, h1, η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυνση βαρύτητας g θεωρούνται γνωστά).

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word


Σάββατο 11 Απριλίου 2020

Οριζόντια ράβδος στερεωμένη σε δύο ανόμοια ελατήρια


Μια ομοιόμορφη (ομογενής και ισοπαχής) ράβδος AB βάρους w και μήκους L = 20 cm αναρτάται από δύο κατακόρυφα ελατήρια Χ και Υ προσαρτημένα στα άκρα της Α και Β. Τα άνω άκρα των ελατηρίων είναι στερεωμένα σε οριζόντιο ακλόνητο στήριγμα. Όταν τα ελατήρια δεν είναι εκτεταμένα έχουν το ίδιο μήκος. Η σταθερά του ελατηρίου Χ είναι ίση με 3k και του Υ ίση με k.
α. Σε ποια απόσταση από το Α πρέπει να τοποθετήσουμε πάνω στη ράβδο ένα σώμα Σ βάρους 5W ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια;
β. Αντικαθιστούμε το ελατήριο Χ με ένα άλλο παρόμοιο με το ελατήριο Υ και τοποθετούμε το σώμα Σ στο μέσον της ράβδου. Μετατοπίζουμε προς τα κάτω τη ράβδο, παράλληλα προς τη θέση ισορροπίας της, με το σώμα στην παραπάνω θέση, και αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα ράβδος – σώμα Σ να εκτελέσει ταλάντωση. Αν w = 2 Ν και k = 150 N/m, να βρείτε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος της ταλάντωσης ώστε να μη χαθεί η επαφή του σώματος Σ με τη ράβδο.
γ. Να προσδιορίσετε στη θέση όπου χάνεται η επαφή της ράβδου με το σώμα τη συνολική ροπή των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στη ράβδο, ως προς το άκρο της Α.

Τετάρτη 8 Απριλίου 2020

Δακτύλιος και δύο τροχοί εκτελούν στροφική κίνηση διατηρώντας «στενές επαφές τρίτου τύπου»


[Μια απλή άσκηση συνδυασμού στροφικής κίνησης τριών σωμάτων].

Το σύστημα σωμάτων του σχήματος αποτελείται από δύο όμοιους ομογενείς κατακόρυφους τροχούς Α, Β και έναν ομογενή δακτύλιο Δ. Οι τροχοί Α και Β ακτίνας r = 4 cm μπορούν να περιστρέφονται γύρω από ακλόνητους οριζόντιους άξονες κάθετους στο κέντρο τους. Ο δακτύλιος Δ, με εσωτερική ακτίνα Rεσ = 11 cm και εξωτερική ακτίνα Rεξ = 12 cm, είναι τοποθετημένος ανάμεσα στους δύο τροχούς. Γνωρίζοντας ότι ο τροχός Α περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, με τη βοήθεια ενός κινητήρα κατάλληλα προσαρμοσμένου στον άξονά του, με σταθερή συχνότητα fA = 3 c/s και ότι δεν λαμβάνει χώρα ολίσθηση να βρείτε:
α. Τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β.
β. Την επιτάχυνση των σημείων των τροχών Α και Β τα οποία είναι σε επαφή με τον δακτύλιο.
γ. Tη στροφορμή του δίσκου ως προς το κέντρο του και την κινητική του ενέργεια αν ΙΔ = 0,004 kg·m2.
Θεωρείστε ότι π2 10.



Δευτέρα 6 Απριλίου 2020

Ελεύθερη κίνηση οριζόντιου δίσκου σε λείο οριζόντιο επίπεδο


Κάποια στιγμή t1 δύο σημεία Α και Β ενός ελεύθερα σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούμενου λεπτού ομογενούς δίσκου μάζας m = 1 kg και ακτίνας R = 0,4 m, έχουν ταχύτητες υ1 και υ2, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 30ο και 60ο, αντίστοιχα,  με το ευθύγραμμο τμήμα AB που τα συνδέει. Η ταχύτητα υcm του κέντρου μάζας του δίσκου έχει διεύθυνση κάθετη στο ΑΒ.
Α. Η κίνηση του δίσκου μπορεί να είναι:
α. μεταφορική,   
β. στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του, 
γ. μεταφορική και στροφική γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του.                                     Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Β. Αν ΑΒ = CA = CB = d = 0,3 m και υ1 = 0,6 m/s, να υπολογίσετε :
2α. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας και τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου.
2β. Την ταχύτητα υ2 του σημείου Β τη στιγμή t1.
Γ. Την κινητική ενέργεια του δίσκου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του:

Ιcm =   ½  mR2

Σάββατο 4 Απριλίου 2020

Αξιοποιώντας δυο "κρυφές" βασικές ιδιότητες της έννοιας «στερεό σώμα»

1. [Η γωνιακή ταχύτητα συνδέεται με τη  γωνία στροφής, δηλαδή με την αλλαγή του προσανατολισμού του στερεού η οποία είναι ίδια, ανεξάρτητη από τον άξονα ή κέντρο περιστροφής].
2. [Στα ελεύθερα κινούμενα μηχανικά στερεά, οι προβολές των ταχυτήτων δύο σημείων τους στην ευθεία που τα ενώνει είναι ίσες]


Κάποια στιγμή t δύο σημεία Α και Β ενός επίπεδου λεπτού δίσκου έχουν ταχύτητες υ1 και υ2, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 60ο και 30ο, αντίστοιχα,  με το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει.
Μια μόνο από τις δυο παραπάνω απεικονίσεις, (Ι) και (ΙΙ), των ταχυτήτων είναι δυνατή. Να την επιλέξετε αιτιολογώντας την επιλογή σας. 
Στην επιλεγμένη απεικόνιση, η κίνηση του δίσκου τη στιγμή t μπορεί να είναι:
α. μεταφορική,   
β. στροφική με κέντρο το Κ, 
γ. μεταφορική με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα υ2 του Β και στροφική με κέντρο το Β και με γωνιακή ταχύτητα ω
Αν ΑΒ = d, η γωνιακή ταχύτητα ω ισούται με:                                                                                                                           α. υ2/d,      β. 1/d,     γ.(υ1√3 – υ2)/d                                                                             Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 
Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:
Παρατηρήσεις

Πέμπτη 2 Απριλίου 2020

Ένας κυλιόμενος αλλά μη μετατοπιζόμενος κύλινδρος


Ένας ομογενής κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια σανίδα, η οποία ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε ένα πλάγιο επίπεδο. Η επιτάχυνση της σανίδας προκειμένου ο κύλινδρος να μην μετατοπίζεται (να μην ανέρχεται, ούτε να κατέρχεται) πρέπει να έχει μέτρο:
α) gημθ,     β) (1/2)gημθ,     γ) 2gημθ   
Να επιλέξετε, με αιτιολόγηση, την ορθή τιμή.
Δίνεται Ιc = (1/2)MR2 για τον κύλινδρο. 

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Τετάρτη 1 Απριλίου 2020

Σανίδα πάνω σε δυο κυλίνδρους σε πλάγιο επίπεδο

Μια σανίδα βρίσκεται πάνω από 2 ομοιόμορφους κυλίνδρους που βρίσκονται σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης θ = 300 . Η σανίδα έχει μάζα Μ και καθένας από τους κυλίνδρους έχει μάζα Μ/2. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Εάν δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ των επιφανειών επαφής, να βρείτε την επιτάχυνση της σανίδας. 
Δίνονται g =10 m/s2 και Ιc = (1/2)MR2.