Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα 3. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα 3. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Παρασκευή 26 Μαΐου 2023

Ισορροπία ορθής γωνίας σε κύλινδρο


Μια ομοιόμορφη μεταλλική πλάκα έχει μήκος 4R. Η πλάκα κάμπτεται στη μέση σε ορθή γωνία και τοποθετείται σε οριζόντιο κύλινδρο ακτίνας R όπως φαίνεται στο σχήμα. Το πάνω μισό της πλάκας είναι οριζόντιο. Ο κύλινδρος είναι σταθερός.

Ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής μs μεταξύ της πλάκας και του κυλίνδρου που επιτρέπει στην πλάκα να παραμείνει σε ηρεμία;  

Θεωρείστε ότι: 2 1,4.


Η άσκηση σε pdf, με τη λύση της, εδώ

Ολίσθηση λυγισμένης ράβδου

 Μια ευθεία ομογενής και ισοπαχής μεταλλική ράβδος μήκους 3κάμπτεται σε ορθή γωνία με πλευρές 2και , όπως φαίνεται στο σχήμα. Η λυγισμένη ράβδος τοποθετείται σε ένα τραχύ οριζόντιο τραπέζι. Ένα ελαφρύ νήμα είναι προσαρτημένο στην κορυφή Α της ορθής γωνίας. Στη συνέχεια, τραβάμε οριζόντια την ελεύθερη άκρη του νήματος, έτσι ώστε η ράβδος να αρχίσει να γλιστράει πάνω στο τραπέζι. Αν δίνεται ότι η λυγισμένη ράβδος εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση, η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας α, (εφα), ανάμεσα στο νήμα και στην πλευρά 2 είναι:

α. 0,25,      β. -0,25,      γ. -0,5

Να επιλέξετε και να αιτιολογήσετε τη σωστή τιμή της εφα.

Η άσκηση με τη λύση της εδώ

Κυριακή 14 Ιουνίου 2020

Δύο σανίδες κι ένα σχοινί (ένα εύκολο-δύσκολο θέμα)

[Σε ένα σύστημα σωμάτων σε ισορροπία η συνθήκη ΣFεξ = 0 και Στεξ = 0 πρέπει να προηγείται οποιασδήποτε άλλης].
Δύο όμοιες, ορθογώνιες, ομογενείς σανίδες, η καθεμιά μάζας m και μήκους L, συνδέονται με έναν μεντεσέ Ο στα άνω άκρα τους. Η καθεμιά σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Ένα σχοινί αμελητέας μάζας συνδέει το κάτω άκρο της δεξιάς σανίδας με την αριστερή σανίδα και είναι κάθετο σε αυτήν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ολόκληρη η διάταξη  βρίσκεται σε ένα οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβές.
α) Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το δάπεδο στήριξης σε κάθε σανίδα.
β) Πόση είναι η τάση στο νήμα;
γ) Ποια δύναμη ασκεί κάθε σανίδα στην άλλη στο πάνω άκρο της μέσω του μεντεσέ;  
H επιτάχυνση της βαρύτητας g θεωρείται γνωστή. 
[Πηγή: David Morin Introduction to classical mechanics]
                  Απάντηση σε Word: 
                  Απάντηση σε pdf:

Τετάρτη 22 Απριλίου 2020

Μεγάλος κύλινδρος υπερπηδά μικρό κύλινδρο

[Μια παραλλαγή της ασκ. 4.57 του σχολικού]

Δύο ομογενείς κύλινδροι διαμέτρων R και r, αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διάμετρος του μεγαλύτερου κυλίνδρου είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη από του μικρότερου. Γύρω από τη μέση του μεγαλύτερου κυλίνδρου τυλίγεται ένα λεπτό σχοινί, το ελεύθερο άκρο του οποίου τραβιέται με σταθερή οριζόντια δύναμη F. Υποθέτοντας ότι ο συντελεστής οριακής τριβής μ είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως και ίδιος για όλες τις επιφάνειες επαφής, να βρείτε:
α) Την ελάχιστη τιμή του ώστε ο μεγαλύτερος κύλινδρος να αναρριχηθεί κυλιόμενος, χωρίς ολίσθηση, πάνω στον μικρότερο και να τον προσπεράσει χωρίς ο μικρότερος να μετατοπιστεί ή να περιστραφεί.
Θεωρείστε ότι η δύναμη F είναι επαρκής ώστε να ανεβάσει τον μεγάλο κύλινδρο πάνω στον μικρό.
β) Το ελάχιστο μέτρο της F ώστε ο μεγάλος κύλινδρος να αναρριχηθεί στον μικρότερο.
Δίνεται το βάρος του μεγάλου κυλίνδρου W = 10 Ν .

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word 

Τετάρτη 8 Απριλίου 2020

Δακτύλιος και δύο τροχοί εκτελούν στροφική κίνηση διατηρώντας «στενές επαφές τρίτου τύπου»


[Μια απλή άσκηση συνδυασμού στροφικής κίνησης τριών σωμάτων].

Το σύστημα σωμάτων του σχήματος αποτελείται από δύο όμοιους ομογενείς κατακόρυφους τροχούς Α, Β και έναν ομογενή δακτύλιο Δ. Οι τροχοί Α και Β ακτίνας r = 4 cm μπορούν να περιστρέφονται γύρω από ακλόνητους οριζόντιους άξονες κάθετους στο κέντρο τους. Ο δακτύλιος Δ, με εσωτερική ακτίνα Rεσ = 11 cm και εξωτερική ακτίνα Rεξ = 12 cm, είναι τοποθετημένος ανάμεσα στους δύο τροχούς. Γνωρίζοντας ότι ο τροχός Α περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, με τη βοήθεια ενός κινητήρα κατάλληλα προσαρμοσμένου στον άξονά του, με σταθερή συχνότητα fA = 3 c/s και ότι δεν λαμβάνει χώρα ολίσθηση να βρείτε:
α. Τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β.
β. Την επιτάχυνση των σημείων των τροχών Α και Β τα οποία είναι σε επαφή με τον δακτύλιο.
γ. Tη στροφορμή του δίσκου ως προς το κέντρο του και την κινητική του ενέργεια αν ΙΔ = 0,004 kg·m2.
Θεωρείστε ότι π2 10.

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:


Σάββατο 4 Απριλίου 2020

Αξιοποιώντας δυο "κρυφές" βασικές ιδιότητες της έννοιας «στερεό σώμα»

1. [Η γωνιακή ταχύτητα συνδέεται με τη  γωνία στροφής, δηλαδή με την αλλαγή του προσανατολισμού του στερεού η οποία είναι ίδια, ανεξάρτητη από τον άξονα ή κέντρο περιστροφής].
2. [Στα ελεύθερα κινούμενα μηχανικά στερεά, οι προβολές των ταχυτήτων δύο σημείων τους στην ευθεία που τα ενώνει είναι ίσες]


Κάποια στιγμή t δύο σημεία Α και Β ενός επίπεδου λεπτού δίσκου έχουν ταχύτητες υ1 και υ2, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 60ο και 30ο, αντίστοιχα,  με το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει.
Μια μόνο από τις δυο παραπάνω απεικονίσεις, (Ι) και (ΙΙ), των ταχυτήτων είναι δυνατή. Να την επιλέξετε αιτιολογώντας την επιλογή σας. 
Στην επιλεγμένη απεικόνιση, η κίνηση του δίσκου τη στιγμή t μπορεί να είναι:
α. μεταφορική,   
β. στροφική με κέντρο το Κ, 
γ. μεταφορική με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα υ2 του Β και στροφική με κέντρο το Β και με γωνιακή ταχύτητα ω
Αν ΑΒ = d, η γωνιακή ταχύτητα ω ισούται με:                                                                                                                           α. υ2/d,      β. 1/d,     γ.(υ1√3 – υ2)/d                                                                             Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 
Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:
Παρατηρήσεις

Πέμπτη 2 Απριλίου 2020

Ένας κυλιόμενος αλλά μη μετατοπιζόμενος κύλινδρος


Ένας ομογενής κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια σανίδα, η οποία ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε ένα πλάγιο επίπεδο. Η επιτάχυνση της σανίδας προκειμένου ο κύλινδρος να μην μετατοπίζεται (να μην ανέρχεται, ούτε να κατέρχεται) πρέπει να έχει μέτρο:
α) gημθ,     β) (1/2)gημθ,     γ) 2gημθ   
Να επιλέξετε, με αιτιολόγηση, την ορθή τιμή.
Δίνεται Ιc = (1/2)MR2 για τον κύλινδρο. 

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Τετάρτη 1 Απριλίου 2020

Σανίδα πάνω σε δυο κυλίνδρους σε πλάγιο επίπεδο

Μια σανίδα βρίσκεται πάνω από 2 ομοιόμορφους κυλίνδρους που βρίσκονται σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης θ = 300 . Η σανίδα έχει μάζα Μ και καθένας από τους κυλίνδρους έχει μάζα Μ/2. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Εάν δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ των επιφανειών επαφής, να βρείτε την επιτάχυνση της σανίδας. 
Δίνονται g =10 m/s2 και Ιc = (1/2)MR2.

Τρίτη 31 Μαρτίου 2020

Tο έργο δύναμης σε σύστημα σωμάτων και οι κινητικές ενέργειες


Ένας συμπαγής ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R είναι τοποθετημένος πάνω σε μια οριζόντια ορθογώνια πλατφόρμα ίσης μάζας Μ και μεγάλου μήκους, που μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Ο δίσκος δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη F = 40 Ν και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην πλατφόρμα. Να βρείτε:
α. Πόσο αυξάνεται η κινητική ενέργεια της πλατφόρμας όταν αυτή μετατοπίζεται κατά D = 1 m.
β. Την αντίστοιχη αύξηση της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω μεταφορικής κίνησης.
γ. Την αύξηση της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω στροφικής κίνησης.
Δίνεται για τον δίσκο Ιc = (1/2)ΜR2 .

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Δευτέρα 30 Μαρτίου 2020

Το έργο της στατικής τριβής

[Είναι μηδέν μόνο αν είναι μηδέν και η ταχύτητα της επιφάνειας πάνω στην οποία κυλίεται ένα σώμα].
Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κύλινδρο μάζας Μ = 2 kg με τη βοήθεια μιας σανίδας μάζας Μ= 2 kg, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δεν παρατηρείται ολίσθηση στα σημεία επαφής του κυλίνδρου με τη σανίδα και το έδαφος. Η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης του ανθρώπου στη σανίδα είναι ίση με F = 11 N.
α. Πόση είναι η επιτάχυνση της σανίδας και του κυλίνδρου ως προς το έδαφος;
β. Πόσο έργο θα παραχθεί από την F για να μετατοπίσει τον κύλινδρο κατά 1 m;
γ. Πόσο είναι το έργο των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στον κύλινδρο κατά την παραπάνω μετατόπιση;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ΙC = (1/2)ΜR2.

Απάντηση σε pdf:  

Απάντηση σε word: 

Παρατήρηση:

Κυριακή 29 Μαρτίου 2020

Ένα καροτσάκι με τροχό και κύλινδρο

[Αλλιώς συμπεριφέρεται ο τροχός που ο άξονάς του είναι σταθερός ως προς το καρότσι και αλλιώς ο κύλινδρος που ο άξονας περιστροφής του είναι ελεύθερος].
Ένα καροτσάκι  Κ υποστηρίζεται από ένα τροχό Α και ένα κύλινδρο Β και οι δύο με ακτίνα 0,05 m. Αν κάποια στιγμή το καρότσι έχει επιτάχυνση 2,8 m/s2 και ταχύτητα 1,6 m/s, με κατεύθυνση προς τα δεξιά, να βρείτε:
α. Τις γωνιακές ταχύτητες και επιταχύνσεις του τροχού Α και του κυλίνδρου Β.
β. Τις επιταχύνσεις των κέντρων του τροχού και του κυλίνδρου.
Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στην πλατφόρμα του καροτσιού και στο οδόστρωμα.
Απάντηση σε pdf
Απάντηση σε word:

Σάββατο 28 Μαρτίου 2020

Κύλινδρος σε ταλαντευόμενη πλατφόρμα


Ένας συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R είναι τοποθετημένος πάνω σε μια οριζόντια ορθογώνια πλατφόρμα μεγάλου μήκους. Αρχικά τα δυο σώματα είναι ακίνητα ως προς το έδαφος. Τη στιγμή  t = 0 η πλατφόρμα ξεκινά να εκτελεί ταλάντωση κατά τη διεύθυνση του άξονα xx΄ με εξίσωση x = x0συνωt, όπου x η απομάκρυνση ενός σημείου της, έστω του Κ, από τη θέση ισορροπίας του (Ι). Ο κύλινδρος, με τον άξονά του ελεύθερο, σταθερά προσανατολισμένο κατά τη διεύθυνση του άξονα yy΄, κάθετη στη διεύθυνση της ταλάντωσης, αρχίζει να κυλίεται πάνω στην πλατφόρμα χωρίς να γλιστράει.  
Η μέγιστη ροπή που επενεργεί στον κύλινδρο κατά τη διάρκεια της κίνησης είναι:
α. Μx0ω2R
     3
β. Μx0ω2R
     2
γ. 2Μx0ω2R
     3
Να αποδείξετε την επιλογή σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιc = mR2 / 2.

[Η άσκηση είναι παραλλαγή της άσκησης 40 σελ.387 σε μια προεπισκόπηση του βιβλίου ΙΤΤ Physics – 1]
Συμβουλή:  Η επιτάχυνση των σημείων της ακμής του κυλίνδρου που εφάπτεται της πλατφόρμας είναι ίση με την επιτάχυνση της πλατφόρμας. Μπορεί να μην έχουμε ολίσθηση, αλλά αν προσέξετε θα δείτε ότι εδώ δεν ισχύει η σχέση αc = αγR.

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Δευτέρα 23 Μαρτίου 2020

Κύλινδρος σε σανίδα που επιταχύνεται

Μια επίπεδη σανίδα μάζας m = 1 kg ολισθαίνει πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F= 50 N. Πάνω της είναι τοποθετημένος ένας κύλινδρος μάζας  M = 2 kg και ακτίνας R = 1 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ο κύλινδρος δεν γλιστράει πάνω στην επιφάνεια της σανίδας, να βρείτε:
α.  Τη γραμμική και τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου
β. Την επιτάχυνση της σανίδας και την τριβή της με τον κύλινδρο.
Δίνεται για τον κύλινδρο Ιc = (1/2)ΜR2
Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[Μετά από την παραπάνω θα σας φανούν πολύ απλές οι δύο παρακάτω παραλλαγές]:


1. Ένας ομογενής συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R βρίσκεται πάνω σε μια οριζόντια πλατφόρμα που κινείται με σταθερή επιτάχυνση απ = 3 m/s2. Αν ο κύλινδρος κυλά χωρίς να γλιστράει πάνω στην πλατφόρμα με τον άξονά του κάθετο στη διεύθυνση κίνησης της πλατφόρμας,
α. Προσδιορίστε το μέγεθος της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.
β. Αν ο μέγιστος συντελεστής στατικής τριβής είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως μολ = 0,4, να βρείτε τη μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να έχει η πλατφόρμα χωρίς ολίσθηση μεταξύ του κυλίνδρου και πλατφόρμας.
Απάντηση 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.
Ένα κέρμα μάζας m και ακτίνας R στέκεται κάθετα στο δεξιό άκρο μιας οριζόντιας σανίδας μάζας Μ και μήκους L = 1 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα αρχικά ηρεμεί ως προς το έδαφος. Στη συνέχεια, τη χρονική στιγμή t = 0, η σανίδα τραβιέται προς τα δεξιά με μια σταθερή δύναμη και αρχίζει να κινείται με σταθερή επιτάχυνση ασ = 3 m/s2. Αν το νόμισμα δεν γλιστρά σε σχέση με τη σανίδα,

 α) Με πόση επιτάχυνση θα κινηθεί το κέρμα;
β) Πόσο μακριά προς τα δεξιά το κέρμα κινείται μέχρι να φτάσει το αριστερό άκρο της σανίδας;
β) Ποια χρονική στιγμή το νόμισμα θα φτάσει στο άλλο άκρο της σανίδας;
Δίνεται η ροπή αδράνειας Ιc = MR2/2, για το κέρμα.

Κυριακή 22 Μαρτίου 2020

Ομαλή κύλιση κυλίνδρου σε κινούμενη με σταθερή ταχύτητα σανίδα


Το πλαίσιο αναφοράς των ταχυτήτων είναι το έδαφος. Αν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στη σανίδα, η ταχύτητα του ανώτερου σημείου Α του τροχού είναι:
 α) 2VΚ
β) 2VΚ + Vσ
γ) 2VΚVσ
δ) (VΚ-Vσ
Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:

Κύλιση κυλίνδρου με σταθερή ταχύτητα σε σανίδα που στηρίζεται σε λείο δάπεδο


Ένας κύλινδρος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση με σταθερή ταχύτητα v πάνω σε μια σανίδα, της οποίας η πάνω επιφάνεια είναι αρκετά τραχιά, αλλά η κάτω επιφάνεια είναι λεία. Αν κόψουμε το σχοινί που συγκρατεί τη σανίδα, τότε:
α) Η σανίδα θα κατευθυνθεί προς τα δεξιά.
β) Η σανίδα θα κατευθυνθεί προς τα αριστερά.
γ) Η σανίδα θα παραμείνει ακίνητη.
δ) Η κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί η σανίδα εξαρτάται από το αν η μάζα της είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από τη μάζα του κυλίνδρου. 
Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:


Κυριακή 15 Μαρτίου 2020

Κύλιση τροχού με σταθερή επιτάχυνση σε παράλληλες σιδηροτροχιές

Ένα αβαρές, μη εκτατό σχοινί, είναι περασμένο στο αυλάκι μιας αβαρούς τροχαλίας Π, που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα και στη συνέχεια είναι τυλιγμένο πολλές φορές στην περιφέρεια ενός ομογενούς τροχού T ακτίνας R, που μπορεί να περιστρέφεται μαζί με τον άξονά του, ο οποίος είναι ένας αβαρής κύλινδρος ακτίνας R/2 σταθερά συνδεμένος με αυτόν. Ο κυλινδρικός άξονας του τροχού, μπορεί να κυλήσει χωρίς ολίσθηση κατά μήκος δύο οριζόντιων παράλληλων σιδηροτροχιών P, (επειδή στο σχήμα α φαίνεται μόνο η σιδηρογραμμή στην μπροστινή όψη του τροχού, στο σχήμα β παρατίθεται σχετική κάτοψη). Η μάζα του τροχού είναι Μ και  η ροπή αδράνειάς του ως προς τον νοητό άξονα που είναι κάθετος στο κέντρο C του τροχού είναι (1/2)ΜR2. Αν το άκρο Λ του σχοινιού τραβιέται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση g/2 και το σχοινί δεν ολισθαίνει καθώς ξετυλίγεται, να βρείτε:
α) Την κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί το κέντρο C του τροχού.
β) Την επιτάχυνση του κέντρου C.
γ) Την κατεύθυνση και το μέτρο της τριβής μεταξύ της επιφάνειας του κυλινδρικού άξονα και των σιδηροτροχιών.
δ) Την τάση του σχοινιού.

Απάντηση σε pdf:  
Απάντηση σε word: