Δεδομένα
- Σωματίδιο Α: μάζα $m$, αρχική κινητική ενέργεια $K_0$.
- Σωματίδιο Β: μάζα $2m$, αρχικά ακίνητο ($K_B = 0$).
- Μετά τη σκέδαση, το Α κινείται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση.
Α. Διεύθυνση κίνησης του Β
Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής:
$$\vec{p}_0 = \vec{p}_A + \vec{p}_B$$
Επειδή $\vec{p}_0 \perp \vec{p}_A$, το τρίγωνο ορμών είναι ορθογώνιο. Έτσι, η ορμή του Β σχηματίζει γωνία $\theta$ με την αρχική διεύθυνση, όπου:
$$\tan\theta = \frac{p_A}{p_0} \quad \text{και} \quad p_B = \sqrt{p_0^2 + p_A^2}$$
Από την επίλυση των εξισώσεων (βλ. παρακάτω) προκύπτει:
$$\theta = 30^\circ$$
Συμπέρασμα: Το σωματίδιο Β κινείται υπό γωνία $30^\circ$ ως προς την αρχική διεύθυνση του Α.
Β. Κινητικές ενέργειες μετά την κρούση
Έστω $p_0$ η αρχική ορμή του Α, $p_A$ η ορμή του Α μετά και $p_B'$ η ορμή του Β μετά.
- $p_0 = \sqrt{2mK_0}$
- $p_A' = \sqrt{2mK_A}$
- $p_B' = \sqrt{2(2m)K_B} = \sqrt{4mK_B}$
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ορμών:
$$p_B^2 = p_0^2 + p_A^2 \implies 4mK_B = 2mK_0 + 2mK_A \implies 2K_B = K_0 + K_A$$
Από τη διατήρηση της ενέργειας (ελαστική κρούση):
$$K_0 = K_A + K_B \implies K_B = K_0 - K_A$$
Αντικαθιστώντας:
$$2(K_0 - K_A) = K_0 + K_A \implies 2K_0 - 2K_A = K_0 + K_A \implies K_0 = 3K_A$$
$$K_A = \frac{K_0}{3}, \qquad K_B = \frac{2K_0}{3}$$
Επαλήθευση της γωνίας:
$$p_0 = \sqrt{2mK_0}, \quad p_B = \sqrt{4mK_B} = \sqrt{4m \cdot \frac{2K_0}{3}} = \sqrt{\frac{8mK_0}{3}}$$
$$\cos\theta = \frac{p_0}{p_B} = \frac{\sqrt{2mK_0}}{\sqrt{\frac{8mK_0}{3}}} = \sqrt{\frac{2mK_0 \cdot 3}{8mK_0}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ$$
💡 Σχόλιο
Η σκέδαση υπό γωνία $90^\circ$ οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο ορμών. Η σχέση των μαζών $m$ και $2m$ καθορίζει την κατανομή της κινητικής ενέργειας:
Αυτό σημαίνει ότι το βαρύτερο σωματίδιο (Β) αποκτά τα 2/3 της αρχικής ενέργειας, ενώ το ελαφρύτερο (Α) διατηρεί το 1/3.
💡Η άσκηση αποτελεί κλασικό παράδειγμα σκέδασης στον μικρόκοσμο και είναι θεμελιώδης για την επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων σκέδασης, όπως το φαινόμενο Compton .