physics-waves-exam

Γ΄ Λυκείου · Προσανατολισμού Κύματα · Στάσιμα · Συμβολή · Ταλαντώσεις Διαδραστική έκδοση v4

Τρίωρο Διαγώνισμα στα Κύματα

Για καλά διαβασμένους

Επίλεξε 📖 Μελέτη για βήμα-βήμα λύσεις, προσομοιώσεις και άμεση ανάδραση, ή ⏱ Εξέταση για να το γράψεις με χρονόμετρο και με κρυφές λύσεις. © Τάσος Τζανόπουλος.

• ⏸️ Σταμάτα όποτε θέλεις — 💾 η πρόοδός σου αποθηκεύεται αυτόματα και συνεχίζεις από εκεί που σταμάτησες. Για να ξεκινήσεις από την αρχή πάτησε
• 🌙 Πάτησε για σκοτεινή λειτουργία — ιδανικό για βραδινό διάβασμα
• ⌨️ Πολλαπλής επιλογής: πλήκτρα α, β, γ, δ για την 1η, 2η, 3η, 4η επιλογή
• ⌨️ Σωστό/Λάθος: σε κάθε πρόταση πιέστε το αντίστοιχο πλήκτρο Σ ή Λ
• ⌨️ Αν επιλέξεις Εξέταση, τότε:: Enter ή υποβολή για καταχώρηση και βαθμολόγηση της συνολικής απάντησης σου
• 📄 Εκφώνηση και Λύσεις διαθέσιμες από τα κουμπιά στο τέλος

03:00:00

Α 0/25

Β 0/25

Γ 0/25

Δ 0/25

0/100

Α

ΘΕΜΑ Α — Ερωτήσεις θεωρίας

25 μονάδες

Στα Α1–Α4 μία πρόταση είναι σωστή. Επίλεξέ την.

Α15 μονάδες

Εκφώνηση

Σε ένα γραμμικό εγκάρσιο αρμονικό κύμα σταθερού πλάτους:

Αναλυτική λύση

Ανάλυση κάθε επιλογής:

• α. Λάθος. Στο εγκάρσιο κύμα η ταλάντωση είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης. Παράλληλη είναι μόνο στο διαμήκη κύμα.
• β. Λάθος. Κάθε σημείο έχει τη δική του ταχύτητα ταλάντωσης $υ_{ταλ}=ωAσυν(ωt-2πx/λ)$, που μεταβάλλεται αρμονικά. Η ταχύτητα διάδοσης $υ=λf$ είναι σταθερή για δεδομένο μέσο και δεν ταυτίζεται με την ταχύτητα ταλάντωσης.
• γ. Λάθος. Από $υ=λf$, για σταθερό $f$ το $λ$ είναι ανάλογο του $υ$ — όχι το αντίστροφο. Για δεδομένο μέσο το $υ$ είναι σταθερό, οπότε το $λ$ μεταβάλλεται μόνο αν αλλάξει το $f$.
• δ. Σωστό. Από $υ=λf$ με σταθερό $υ$: $λ=υ/f$ → αντιστρόφως ανάλογο της συχνότητας.

Σωστή: δ

Ή💡για πιο ξεκούραστη ανάγνωση χωρίς περιβάλλοντα στοιχεία, ανοίξτε σε καθαρή προβολή →

Α25 μονάδες

Εκφώνηση

Στο εγκάρσιο κύμα του σχήματος το σημείο Α έχει μικρότερη φάση από το σημείο Β. Άρα οι ταχύτητες ταλάντωσης των δύο σημείων έχουν φορά:

Κίνηση:

Αναλυτική λύση

Βήμα 1 – Κατεύθυνση διάδοσης. Δίνεται $Φ_Α \lt Φ_Β$. Το κύμα διαδίδεται προς τα σημεία μικρότερης φάσης — άρα από το Β (μεγαλύτερη φάση) προς το Α (μικρότερη φάση), δηλαδή προς τα αριστερά.

Βήμα 2 – Κίνηση Α. Το Α βρίσκεται στο δεξί τμήμα μιας κοιλάδας, στο ανερχόμενο τμήμα. Επειδή το κύμα έρχεται από τα δεξιά, το Α «αντιγράφει» την κίνηση των δεξιότερων σημείων, που είναι ψηλότερα → το Α ανεβαίνει ↑.

Βήμα 3 – Κίνηση Β. Το Β βρίσκεται στο δεξί τμήμα μιας κορυφής, στο κατερχόμενο τμήμα. Τα δεξιότερα σημεία είναι χαμηλότερα → το Β κατεβαίνει ↓.

Δοκίμασε το Play για οπτική επιβεβαίωση.

Σωστή: α

Α35 μονάδες

Εκφώνηση

Η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα, όπως την εκτιμά ένας ακίνητος ως προς το έδαφος παρατηρητής, εξαρτάται:

Αναλυτική λύση

Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος καθορίζεται αποκλειστικά από τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης. Για τον αέρα, προσεγγιστικά: $υ \approx 331 + 0{,}6\,θ$ (m/s), όπου $θ$ η θερμοκρασία σε °C.

• α. Λάθος. Η κίνηση της πηγής αλλάζει τη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Doppler), όχι την ταχύτητα διάδοσης.
• β. Λάθος. Η ένταση σχετίζεται με το πλάτος/ενέργεια, όχι με την ταχύτητα.
• γ. Σωστό. Η θερμοκρασία επηρεάζει την ταχύτητα του ήχου στον αέρα.
• δ. Λάθος. Το $λ$ είναι συνέπεια: $λ=υ/f$.

Σωστή: γ

Α45 μονάδες

Εκφώνηση

Σε ένα στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών:

Αναλυτική λύση

Στάσιμο κύμα: $y=2Aσυν(2πx/λ)\,ημωt$. Σε μια άτρακτο (μεταξύ διαδοχικών δεσμών) το $συν(2πx/λ)$ έχει σταθερό πρόσημο.

• α. Σωστό. Όλα τα σημεία της ίδιας ατράκτου έχουν την ίδια φάση $ημωt$, άρα την ίδια στιγμή βρίσκονται στην ίδια πλευρά της Θ.Ι. και δέχονται δυνάμεις επαναφοράς $F=-Dy$ που είναι διαρκώς ομόρροπες.
• β. Λάθος. Το πλάτος $2A|συν(2πx/λ)|$ ποικίλλει: μέγιστο στις κοιλίες, μηδέν στους δεσμούς.
• γ. Λάθος. $υ_{max}=ω\cdot(πλάτος)$, διαφορετικό για κάθε σημείο.
• δ. Λάθος. Όλα τα σημεία έχουν την ίδια συχνότητα (αυτή των τρεχόντων κυμάτων) — η φάση είναι ίδια εντός ατράκτου, αλλά η συχνότητα δεν αλλάζει.

Σωστή: α

Α55 μονάδες (1 έκαστη)

Εκφώνηση

Σημείωσε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ):

α. Σε επιφανειακή συμβολή, στα σημεία των υπερβολών απόσβεσης τα δύο κύματα έχουν διαφορά φάσης περιττό πολλαπλάσιο του π.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Υπερβολές απόσβεσης: $r_1-r_2=(2N+1)λ/2$. Άρα $Δφ = 2π(r_1-r_2)/λ = (2N+1)π$ — περιττό πολλαπλάσιο του π. Σωστό.

β. Όσο μεγαλύτερη η συχνότητα, τόσο μεγαλύτερη η απόσταση δύο σημείων με δεδομένη διαφορά φάσης.

Αναλυτική αιτιολόγηση

$Δx = Δφ\,λ/2π = Δφ\,υ/(2πf)$. Για δεδομένο $Δφ$ και σταθερό $υ$, το $Δx$ είναι αντιστρόφως ανάλογο της $f$. Άρα η πρόταση είναι λάθος.

γ. Σε στάσιμο κύμα όλα τα κινούμενα μόρια διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας.

Αναλυτική αιτιολόγηση

$y=2Aσυν(2πx/λ)ημωt$. Το $ημωt$ μηδενίζεται για όλα τα $x$ τις ίδιες στιγμές ($t=nT/2$). Σωστό.

δ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του μέσου είναι ανάλογη του μήκους κύματος.

Αναλυτική αιτιολόγηση

$υ_{max}=ωA=(2πυ/λ)A$. Για σταθερά $υ, A$, το $υ_{max}$ είναι αντιστρόφως ανάλογο του $λ$. Λάθος.

ε. Στο κενό τα εγκάρσια μηχανικά κύματα έχουν τη μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Τα μηχανικά κύματα δεν διαδίδονται καθόλου στο κενό — χρειάζονται υλικό μέσο. Λάθος.

Β

ΘΕΜΑ Β — Σωστό/Λάθος με αιτιολόγηση

25 μονάδες

Β16 μονάδες (1,5 έκαστη)

Εκφώνηση

Κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής πολύ μεγάλου μήκους διαδίδεται, χωρίς απώλεια ενέργειας, εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η απομάκρυνση ενός σημείου Ο της χορδής, που το θεωρούμε αρχή των συντεταγμένων ($x=0$), περιγράφεται από την εξίσωση $ψ=0{,}4\,ημωt$. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης $Φ_Μ-Φ_Ν$ δύο σημείων Μ και Ν της χορδής με συντεταγμένες $x_Μ=4$ m και $x_Ν$, συναρτήσει του χρόνου.

Χαρακτήρισε τις προτάσεις:

α. Η ταχύτητα του κύματος είναι 5 m/s.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Η $Φ_Μ$ αρχίζει να αυξάνεται τη στιγμή 0,4 s: τότε το κύμα έφτασε στο Μ (x=4 m). Άρα:

$$υ = \frac{x_M}{t_M} = \frac{4}{0{,}4} = 10\ \text{m/s}$$

Το 5 m/s θα ήταν σωστό μόνο αν η διαδρομή ήταν 2 m. Λάθος.

β. Η συντεταγμένη του Ν είναι $x_Ν = 6$ m.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Η διαφορά φάσης σταθεροποιείται στο π τη στιγμή 0,6 s — τότε το κύμα έφτασε και στο Ν:

$$x_N = υ\cdot t_N = 10\cdot0{,}6 = 6\ \text{m}$$

Το Μ έλαβε το κύμα στα 0,4 s, το Ν στα 0,6 s. Σωστό.

γ. Το μήκος κύματος είναι $λ = 4$ m.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Τη στιγμή 0,6 s η διαφορά φάσης σταθεροποιείται στο π. Άρα:

$$Φ_Μ-Φ_Ν = \frac{2π(x_N-x_M)}{λ} = π \;\Rightarrow\; λ = 2(x_N-x_M) = 2\cdot2 = 4\ \text{m}$$

Σωστό.

δ. Η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης είναι $10π^2$ m/s².

Αναλυτική αιτιολόγηση

Από $υ=λ/T$: $T = λ/υ = 4/10 = 0{,}4$ s, άρα $ω = 2π/T = 5π$ rad/s.

$$a_{max} = ω^2 A = (5π)^2\cdot0{,}4 = 25π^2\cdot0{,}4 = 10π^2\ \text{m/s}^2$$

Σωστό.

Β26 μονάδες (3 + 3)

Εκφώνηση

Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής, που οι θέσεις ισορροπίας των μορίων της βρίσκονται πάνω στον άξονα $x'x$, έχει αποκατασταθεί ένα στάσιμο κύμα. Στο σχήμα έχουμε επιλέξει μια κοιλία ως αρχή αξόνων κι έχουμε σχεδιάσει δεξιά απ' αυτήν δύο στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές $t_1=0$ και $t_2=T/6=1$ s. (Τη στιγμή $t_2$ η μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής είναι $3\sqrt3$ cm).

🔬 Προσομοίωση: στάσιμο κύμα (Β2)

t/T: 0

Οι διακεκομμένες καμπύλες είναι τα δύο στιγμιότυπα της εκφώνησης: t₁=0 (γκρι) και t₂=T/6 (κυανό). Το σημείο Α ($x=4$ m) είναι κοιλία.

i) Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις με Σ ή Λ (1 μονάδα η καθεμιά):

α. Το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο είναι 2 m.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Στο σχήμα φαίνονται δεσμοί στα $x=1$ m και $x=3$ m (σημεία μηδενισμού). Η απόσταση διαδοχικών δεσμών είναι $λ/2$:

$$\frac{λ}{2} = 3-1 = 2\ \text{m} \;\Rightarrow\; λ = 4\ \text{m}$$

Όχι 2 m. Λάθος.

β. Τη στιγμή $t_3=1{,}5$ s το σημείο Α ($x=4$ m) βρίσκεται σε απομάκρυνση 6 cm.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Βήμα 1: $T/6 = 1$ s → $T = 6$ s. Άρα $t_3 = 1{,}5$ s = $T/4$.

Βήμα 2: Το στιγμιότυπο $t_2 = T/6$ έχει μέγιστη τιμή $3\sqrt3$ cm. Αυτή εμφανίζεται σε κοιλία, όπου $|συν(2πx/λ)|=1$:

$$y_{max} = 2A\,|συν(2πx/λ)|\,|ημ(ωt_2)| = 2A\cdot1\cdot ημ(π/3) = 2A\cdot\frac{\sqrt3}{2} = A\sqrt3$$

Άρα $A\sqrt3 = 3\sqrt3 \Rightarrow 2A = 6$ cm (πλάτος κοιλίας).

Βήμα 3: Στο $t_3 = T/4$: $ημ(2π\cdot1/4) = 1$ → το Α βρίσκεται στην ακραία θέση $+2A = +6$ cm. Σωστό.

γ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του Α είναι $2π$ cm/s.

Αναλυτική αιτιολόγηση

$ω = 2π/T = 2π/6 = π/3$ rad/s. Το Α είναι κοιλία με πλάτος $2A=6$ cm.

$$υ_{max} = ω\cdot2A = \frac{π}{3}\cdot6 = 2π\ \text{cm/s}$$

Σωστό.

ii) Να δικαιολογήσετε τους χαρακτηρισμούς των προτάσεων β και γ (3 μονάδες).

Έγραψα πλήρη αιτιολόγηση:

Υπόδειγμα αιτιολόγησης

Για το β: Από $t_2 - t_1 = T/6 = 1$ s βρίσκουμε $T=6$ s, άρα $t_3 = 1{,}5$ s $= T/4$. Στο στιγμιότυπο $t_2$ η μέγιστη απομάκρυνση (σε κοιλία) είναι $3\sqrt3$ cm, οπότε $2A\,ημ(π/3) = 3\sqrt3 \Rightarrow 2A=6$ cm. Στο $t_3=T/4$ όλες οι κοιλίες βρίσκονται στην ακραία θέση τους, άρα $y_A = +6$ cm.

Για το γ: Η γωνιακή συχνότητα είναι $ω=2π/T=π/3$ rad/s. Για κοιλία πλάτους $2A=6$ cm, $υ_{max}=ω\cdot2A=(π/3)\cdot6=2π$ cm/s.

Β36 μονάδες (2 έκαστη)

Εκφώνηση

Στο σχήμα απεικονίζονται, την ίδια στιγμή $t$, τα στιγμιότυπα δύο κυμάτων με ίδια χαρακτηριστικά που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με αντίθετες ταχύτητες.

Συνισταμένη

α. Το Κ είναι κοιλία και το Λ δεσμός του στάσιμου κύματος.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Στο σχήμα: στο Κ οι δύο καμπύλες έχουν αντίθετες απομακρύνσεις → δεσμός. Στο Λ οι δύο καμπύλες έχουν ίδια φορά ταχύτητας (και οι δύο προς τα πάνω) → κοιλία.

Ενεργοποίησε τη «Συνισταμένη» στην προσομοίωση για οπτική επιβεβαίωση.

Λάθος (ανεστραμμένη η περιγραφή).

β. Τα σημεία Μ και Ν έχουν διαφορά φάσης π.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Τα Μ και Ν βρίσκονται στην ίδια άτρακτο (μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών), άρα ταλαντώνονται σε φάση: $Δφ=0$.

Λάθος.

γ. Τη στιγμή $t$ το Λ έχει ταχύτητα προς τα κάτω.

Αναλυτική αιτιολόγηση

Στο Λ (κοιλία) και τα δύο κύματα δίνουν ταχύτητα $-Aω$. Η συνισταμένη ταχύτητα είναι $-2Aω$, δηλαδή προς τα κάτω. Σωστό.

Β47 μονάδες (2 + 5)

Εκφώνηση

Τρεις σύγχρονες πηγές $Ο_1, Ο_2, Ο_3$ κυμάτων δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα $υ=1$ m/s. Οι σημειακές πηγές βρίσκονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου με πλευρά $α=\sqrt3$ m. Τη στιγμή $t=0$ οι πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται κατακόρυφα με εξισώσεις $ψ_1=ψ_2=ψ_3=0{,}1\,ημ2πt$ (S.I.). Τη στιγμή $t_1=3$ s σταματά η $Ο_3$, τη $t_2=4$ s η $Ο_2$ και τη $t_3=5$ s η $Ο_1$.

🔬 Προσομοίωση: τρεις πηγές & το κέντρο Κ

t =0,00 s

Ι. Ποια εξίσωση περιγράφει την ταλάντωση του κέντρου του τριγώνου για $1\,\text{s} \le t \le 3\,\text{s}$; (2 μονάδες)

ΙΙ. Αντιστοίχισε κάθε εξίσωση με το χρονικό διάστημα ισχύος της (1 μονάδα η καθεμιά):

1. $ψ_{ολ}=0$ (πριν φτάσει το κύμα)—αβγδε 2. $ψ_{ολ}=0$ (μετά την παύση)—αβγδε 3. $ψ_{ολ}=0{,}3\,ημ2π(t-1)$—αβγδε 4. $ψ_{ολ}=0{,}2\,ημ2π(t-1)$—αβγδε 5. $ψ_{ολ}=0{,}1\,ημ2π(t-1)$—αβγδε

α. $0\le t\lt1$ s   β. $1\le t\lt4$ s   γ. $4\le t\lt5$ s   δ. $5\le t\lt6$ s   ε. $t\ge6$ s

Αναλυτική λύση

Βήμα 1 – Απόσταση κέντρου–κορυφής. Για ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $α$: η απόσταση κέντρου (βαρύκεντρο=περίκεντρο) από κάθε κορυφή ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:

$$ρ = \frac{α}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt3}{\sqrt3} = 1\ \text{m}$$

Βήμα 2 – Χρόνος άφιξης. $t = ρ/υ = 1/1 = 1$ s.

Βήμα 3 – Πλάτος για $1\le t \lt 4$ s. Και τα 3 κύματα φτάνουν ταυτόχρονα (συμμετρία) και συμβάλλουν σε φάση:

$$ψ_K = 3\cdot0{,}1\,ημ2π(t-1) = 0{,}3\,ημ2π(t-1)$$

Βήμα 4 – Παύσεις. Κάθε παύση φτάνει στο Κ 1 s μετά τη στιγμή παύσης:

• $t=3$ s → παύση $Ο_3$ φτάνει στο Κ στα $t=4$ s: 2 πηγές → $0{,}2\,ημ2π(t-1)$
• $t=4$ s → παύση $Ο_2$ φτάνει στο Κ στα $t=5$ s: 1 πηγή → $0{,}1\,ημ2π(t-1)$
• $t=5$ s → παύση $Ο_1$ φτάνει στο Κ στα $t=6$ s: καμία πηγή → $ψ=0$

Ι → α · ΙΙ: 1→α, 2→ε, 3→β, 4→γ, 5→δ

Γ

ΘΕΜΑ Γ — Στάσιμο κύμα σε χορδή

25 μονάδες

Εκφώνησηκοινή για Γ1–Γ4

Σε μια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους έχει διαμορφωθεί στάσιμο κύμα της μορφής $y=2A\,συν(2πx/λ)\,ημωt$ με $A=0{,}2$ m. Στο σχήμα φαίνονται τρία στιγμιότυπα α, β, γ κατά τη σειρά που εμφανίζονται στην περιοχή ΟΑ, από $x=0$ μέχρι $x_A=0{,}54$ m. Κατά την απ' ευθείας μετάβαση από το στιγμιότυπο α στο β είναι $t_β-t_α=4$ ms, ενώ στη συνέχεια, για την απ' ευθείας μετάβαση από το β στο γ, είναι $t_γ-t_β=T/3$. Το σημείο Σ αντιστοιχεί στην πρώτη κοιλία μετά από αυτήν της αρχής αξόνων Ο.

🔬 Προσομοίωση: στάσιμο κύμα (Θέμα Γ)

t/T:0,25

Το βέλος στο Σ δείχνει την ταχύτητά του. Το κόκκινο στιγμιότυπο α και το μπλε γ είναι ακραίες θέσεις.

Γ17 μονάδες

Ζητούμενο

Να υπολογίσεις την ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων από τα οποία προέκυψε το στάσιμο.

Από το σχήμα, το $x_A = 0{,}54$ m αντιστοιχεί σε:

Ξεκινάμε από κοιλία στο Ο (αφού το στιγμιότυπο α έχει μέγιστο στο $x=0$). Στο Α το στιγμιότυπο έχει επίσης κοιλία (μέγιστο). Ενδιάμεσα υπάρχει ένας δεσμός (μηδενισμός). Απόσταση Ο–Α:

$$x_A = \frac{3λ}{4} = 0{,}54\ \text{m} \;\Rightarrow\; λ = \frac{4\cdot0{,}54}{3} = 0{,}72\ \text{m}$$

Τα στιγμιότυπα α και γ είναι ακραίες θέσεις. Αν $y_O=0$ για $t=0$, τότε $t_α, t_γ$ =

Στις ακραίες θέσεις τα $|ημωt|=1$, δηλαδή $ωt=(2n+1)π/2$. Δύο διαδοχικές: $t_α=T/4$ και $t_γ=3T/4$. Άρα:

$$t_β = t_γ - \frac{T}{3} = \frac{3T}{4} - \frac{T}{3} = \frac{9T-4T}{12} = \frac{5T}{12}$$

Από $t_β - t_α = 4$ ms προκύπτει:

$$\frac{5T}{12} - \frac{T}{4} = \frac{5T-3T}{12} = \frac{T}{6} = 4\cdot10^{-3}\ \text{s} \;\Rightarrow\; T = 24\cdot10^{-3}\ \text{s}$$

$$υ = \frac{λ}{T} = \frac{0{,}72}{0{,}024} = 30\ \text{m/s}$$

υ =

Γ26 μονάδες

Ζητούμενο

Να υπολογίσεις την ταχύτητα του υλικού σημείου Σ τη χρονική στιγμή $t_β$.

Η θέση της πρώτης κοιλίας μετά την Ο (που είναι επίσης κοιλία) βρίσκεται σε απόσταση:

Οι κοιλίες απέχουν μεταξύ τους $λ/2$. Άρα $x_Σ = λ/2 = 0{,}36$ m.

Η εξίσωση κίνησης του Σ είναι:

Αντικαθιστώντας $x_Σ = λ/2$: $συν(2π\cdot\tfrac{λ/2}{λ}) = συν(π) = -1$. Άρα:

$$y_Σ = -2A\,ημωt \;\Rightarrow\; υ_Σ = \frac{dy_Σ}{dt} = -2Aω\,συνωt$$

Με $ω=2π/T=2π/0{,}024=250π/3$ rad/s και $ωt_β = ω\cdot5T/12 = 5π/6$:

Ακριβής υπολογισμός:

$$υ_Σ = -2Aω\,συν\frac{5π}{6} = -2Aω\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) = \sqrt3\,ωA$$

$$υ_Σ = \sqrt3\cdot\frac{250π}{3}\cdot0{,}2 = \frac{50π\sqrt3}{3} \approx 90{,}69\ \text{m/s}$$

υ_Σ =

Γ36 μονάδες

Ζητούμενο

Σε πόσο χρόνο μετά την $t_β$ η ταχύτητα του Σ μηδενίζεται στιγμιαία για δεύτερη φορά;

Τη στιγμή $t_β$ ($ωt_β = 5π/6$) το Σ βρίσκεται στη θέση:

$y_Σ = -2A\,ημ(5π/6) = -2A\cdot\frac{1}{2} = -A$. Και $υ_Σ = -2Aω\,συν(5π/6) = -2Aω(-\frac{\sqrt3}{2}) = +\sqrt3 Aω \gt 0$. Κινείται προς τα πάνω.

Πρώτος μηδενισμός ταχύτητας (πάνω ακραία θέση $y=+2A$):

Το Σ ξεκινά από $-A$ με $υ \gt 0$ και πηγαίνει στο $+2A$. Σε γωνία: από $ωt_β = 5π/6$ μέχρι $ωt = 3π/2$ (όπου $ημ=1$, $y=+2A$):

$$Δ(ωt) = \frac{3π}{2} - \frac{5π}{6} = \frac{9π-5π}{6} = \frac{4π}{6} = \frac{2π}{3}$$

$$t_1 = \frac{2π/3}{2π/T} = \frac{T}{3} = \frac{24}{3} = 8\ \text{ms}$$

Δεύτερος μηδενισμός (κάτω ακραία θέση $y=-2A$):

Από την πάνω στην κάτω ακραία θέση: μισή περίοδος.

$$t_2 = \frac{T}{2} = 12\ \text{ms}$$

$$Δt = t_1+t_2 = 8+12 = 20\ \text{ms} = 0{,}020\ \text{s}$$

Δt =

Γ46 μονάδες (3 + 3)

Ζητούμενο

Να σχεδιάσεις το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος στην ίδια περιοχή, τη χρονική στιγμή που το Σ περνά από τη Θ.Ι. για δεύτερη φορά μετά την $t_β$. Στο στιγμιότυπο να δείξεις και τη φορά της ταχύτητας του σημείου Ο.

🎯 Βρες τη στιγμή: σύρε τον ολισθητή της προσομοίωσης Γ ώσπου το Σ να περνά από τη Θ.Ι. για δεύτερη φορά μετά το β και πάτησε «Αυτό είναι».

Τη στιγμή αυτή η ταχύτητα του σημείου Ο έχει φορά:

Αναλυτική λύση

Ποια είναι η ζητούμενη στιγμή; Το Σ περνά από τη Θ.Ι. όταν $ημωt = 0$, δηλαδή $ωt = nπ$. Μετά το $t_β$ ($ωt_β = 5π/6$):

• 1η φορά: $ωt = π$ → $t = T/2$
• 2η φορά: $ωt = 2π$ → $t = T$ (μία πλήρης περίοδος μετά την $t=0$)

Μορφή στιγμιοτύπου: Για $t = T$: $ημ(2π) = 0$ → όλη η χορδή είναι ευθεία πάνω στον άξονα $x'x$ (η χορδή περνά ταυτόχρονα από τη Θ.Ι.).

Φορά ταχύτητας Ο: $υ_Ο = \frac{dy_O}{dt} = 2Aω\,συνωt = 2Aω\,συν(2π) = +2Aω \gt 0$. Άρα το Ο κινείται προς τα πάνω.

Στιγμιότυπο: ευθεία χορδή · Ο ↑ · Σ ↓

Δ

ΘΕΜΑ Δ — Κύμα σε χορδή, ηχητική πηγή & Ταλάντωση

25 μονάδες

Εκφώνησηκοινή για Δ1–Δ6

Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή πολύ μεγάλου μήκους, προσανατολισμένη στη διεύθυνση του άξονα $x'x$, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος $λ=10$ m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση $x=0$ και ξεκινάει τη στιγμή $t=0$ να ταλαντώνεται με εξίσωση $ψ=2\,ημ(0{,}5πt)$ (S.I.). Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση $x=100$ m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος. Η οποία μπορεί να εκπέμπει ήχο συχνότητας $f_s=3393$ Hz. Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με $-2{,}5$ m/s² (και από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).

Ένας δέκτης Α βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσής του:

Δίνονται: $π^2 \approx 10$ και $\frac{\sqrt3}{2}π \approx 2{,}7$.

🔬 Προσομοίωση: χρονογραμμή του Θέματος Δ

t =0,0 s

Δ14 μονάδες

Ζητούμενο

Ποια είναι η εξίσωση του κύματος που παράγεται πάνω στη χορδή;

Αναλυτική λύση

Δεδομένα: $ψ = 2\,ημ(0{,}5πt)$ → $A = 2$ m, $ω = 0{,}5π$ rad/s. $λ = 10$ m. Διάδοση προς $+x$.

Περίοδος:

$$T = \frac{2π}{ω} = \frac{2π}{0{,}5π} = 4\ \text{s}$$

Ταχύτητα διάδοσης: $υ = λ/T = 10/4 = 2{,}5$ m/s.

Γενική μορφή κύματος προς $+x$: $ψ = A\,ημ2π(t/T - x/λ) = 2\,ημ2π(t/4 - x/10)$.

$ψ = 2\,ημ2π(t/4 - x/10)$ (S.I.)

Δ24 μονάδες

Ζητούμενο

Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει το κύμα στη μικροσυσκευή;

Η ταχύτητα διάδοσης είναι:

Από $υ = λ/T = 10/4 = 2{,}5$ m/s. Ο χρόνος για να διανύσει 100 m:

$$t_1 = \frac{x}{υ} = \frac{100}{2{,}5} = 40\ \text{s}$$

$t_1$ =

Δ35 μονάδες

Ζητούμενο

Ποια στιγμή αρχίζει να εκπέμπει η μικροσυσκευή;

Μετά την $t_1=40$ s η S ταλαντώνεται με επιτάχυνση $a = -ω^2ψ$. Άρα $a = -2{,}5$ m/s² όταν:

$ω^2 = (0{,}5π)^2 = 0{,}25π^2 \approx 0{,}25\cdot10 = 2{,}5$ s⁻². Οπότε:

$$a = -ω^2 ψ \;\Rightarrow\; -2{,}5 = -2{,}5\,ψ \;\Rightarrow\; ψ = +1\ \text{m}$$

Η S ξεκινά από τη Θ.Ι. προς τα πάνω. Φτάνει πρώτη φορά στο $ψ = +1 = A/2$ μετά από:

$ψ = 2\,ημ(ωt_S) = 1 \Rightarrow ημ(ωt_S) = 1/2 \Rightarrow ωt_S = π/6$ (πρώτη λύση, αφού ξεκινά από Θ.Ι. προς τα πάνω). Άρα:

$$t_S = \frac{π/6}{0{,}5π} = \frac{1}{3}\ \text{s}$$

$$t_2 = t_1 + t_S = 40 + \frac{1}{3} = \frac{121}{3}\ \text{s} \approx 40{,}33\ \text{s}$$

$t_2$ =

Δ44 μονάδες

Ζητούμενο

Από ποια στιγμή και έπειτα ο δέκτης αρχίζει να καταγράφει ηχητικό σήμα;

Τη στιγμή ενεργοποίησης η S είναι στο $ψ = +1$ m. Η απόσταση από τον Α είναι:

Ο δέκτης Α είναι 229 m πάνω από την αρχική θέση (Θ.Ι.). Η S έχει μετατοπιστεί προς τα πάνω κατά 1 m, άρα η απόσταση είναι $229-1 = 228$ m.

Ο χρόνος που κάνει ο ήχος να φτάσει στον Α:

$$Δt_{ήχου} = \frac{d}{υ_{ηχ}} = \frac{228}{342} = \frac{2}{3}\ \text{s}$$

$$t_3 = t_2 + Δt_{ήχου} = \frac{121}{3} + \frac{2}{3} = \frac{123}{3} = 41\ \text{s}$$

$t_3$ =

Δ54 μονάδες

Ζητούμενο

Η συχνότητα $f_s = 3393$ Hz της πηγής, λόγω της ταχύτητάς της $υ$ ως προς τον αέρα, μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: $f_A \approx 3393 + 10\cdot υ$ Hz. Ποια είναι η αρχική συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο δέκτης;

Η ταχύτητα της S τη στιγμή ενεργοποίησης ($ωt_S=π/6$) είναι:

$υ_S = \frac{dy}{dt} = Aω\,συν(ωt)$. Με $A=2$ m, $ω=0{,}5π$ rad/s, $ωt_S=π/6$:

$$υ_S = 2\cdot0{,}5π\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2}π \approx 2{,}7\ \text{m/s}$$

Η S κινείται προς τα πάνω, δηλαδή προς τον δέκτη Α (που είναι πάνω).

Εφαρμόζουμε τη δοσμένη σχέση $f_A = 3393 + 10·υ$:

$$f_A = 3393 + 10\cdot2{,}7 = 3393 + 27 = 3420\ \text{Hz}$$

Προαιρετική Επαλήθευση με τη σχέση Doppler: $\dfrac{342}{342-2{,}7}\cdot3393 = \dfrac{3420}{3393}\cdot3393 = 3420$ Hz. Σωστό.

$f_A$ =

Δ64 μονάδες

Ζητούμενο

Πόσο είναι το ελάχιστο πλάτος του κύματος, με την ίδια συχνότητα, που μπορεί να ενεργοποιήσει τη μικροσυσκευή;

Απαιτείται η μέγιστη επιτάχυνση να φτάνει τουλάχιστον τα 2,5 m/s². Δηλαδή:

Η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης είναι $|a|_{max} = ω^2 A$. Για να ενεργοποιηθεί η S, χρειάζεται κάποια στιγμή $|a| = 2{,}5$ m/s². Άρα:

$$ω^2 A_{min} = 2{,}5 \;\Rightarrow\; A_{min} = \frac{2{,}5}{2{,}5} = 1\ \text{m}$$

$A_{min}$ =

Τελικό σκορ

0 / 100

Ανάλυση ανά ερώτηση

Πίνακας απαντήσεων

Ερ.	Απάντηση
Α1–Α4	δ, α, γ, α
Α5	Σ, Λ, Σ, Λ, Λ
Β1	Λ, Σ, Σ, Σ ($υ=10$ m/s, $x_N=6$ m, $λ=4$ m, $a_{max}=10π^2$)
Β2	Λ, Σ, Σ ($λ=4$ m, $2A=6$ cm, $υ_{max}=2π$ cm/s)
Β3	Λ, Λ, Σ
Β4	Ι→α · 1→α, 2→ε, 3→β, 4→γ, 5→δ
Γ1	$υ = 30$ m/s
Γ2	$υ_Σ = \sqrt3\,ωA \approx 90{,}7$ m/s
Γ3	$Δt = 0{,}020$ s
Γ4	ευθεία χορδή, Ο ↑ · Σ ↓
Δ1	$ψ=2ημ2π(t/4-x/10)$
Δ2–Δ4	40 s · 121/3 s ≈ 40,33 s · 41 s
Δ5	3420 Hz
Δ6	$A_{min}=1$ m

📄 Εκφώνηση (blog) 📝 Λύσεις (PDF)