The Myth of the Stationary Electron and the Magic of Compton

Όταν το Φως Συναντά την Ύλη

Το «ακίνητο» ηλεκτρόνιο και η σκέδαση Compton

Μερικές φορές, για να καταλάβουμε καλύτερα ένα φυσικό φαινόμενο, χρειάζεται πρώτα να αμφισβητήσουμε κάτι που θεωρούμε αυτονόητο.

Ας φανταστούμε μια συνάντηση. Ένα υψηλής ενέργειας φωτόνιο \(E=120\,\mathrm{keV}\) (ακτίνες X) διασχίζει την ύλη και συναντά ένα ηλεκτρόνιο.

Τι θα συμβεί; Το φωτόνιο θα συνεχίσει την πορεία του όπως πριν; Θα απορροφηθεί ολικά από το άτομο; Ή μήπως θα εξοστρακιστεί σαν κβαντική μπίλια μπιλιάρδου, αλλάζοντας κατεύθυνση και εκχωρώντας μέρος της ενέργειάς του;

Η απάντηση βρίσκεται στη σκέδαση Compton — μια θεμελιώδη αλληλεπίδραση που επισφραγίζει με τον πιο εντυπωσιακό τρόπο τη σωματιδιακή φύση του φωτός.

Στη σκέδαση Compton το φωτόνιο αλληλεπιδρά με το ηλεκτρόνιο και μεταφέρει σε αυτό μέρος της ενέργειας και της ορμής του.

Α. Ποιον «συναντά» το φωτόνιο;

Το ηλεκτρόνιο που υποδέχεται το προσπίπτον φωτόνιο δεν βρίσκεται απομονωμένο στο κενό. Είναι δεσμευμένο σε κάπιο άτομο εξαιτίας της ηλεκτρικής έλξης Coulomb από τον θετικά φορτισμένο πυρήνα.

Όμως, είναι λάθος να το φανταζόμαστε σαν μια κλασική σφαίρα τοποθετημένη σε μια σταθερή τροχιά. Στον μικρόκοσμο της Κβαντομηχανικής, το ηλεκτρόνιο περιγράφεται από μια κβαντική κατάσταση, η οποία «απλώνεται» σε μια χωρική περιοχή γύρω από τον πυρήνα.

Αυτό συνεπάγεται μια θεμελιώδη φυσική αλήθεια: ένα δεσμευμένο ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα απόλυτα καθορισμένη θέση και μηδενική ορμή. Η Αρχή της Αβεβαιότητας του Heisenberg εκφράζει ακριβώς αυτόν τον κβαντικό περιορισμό:

\[ \boxed{ \Delta x\,\Delta p \geq \frac{\hbar}{2} } \]

Όσο πιο περιορισμένο χωρικά είναι το ηλεκτρόνιο μέσα στο άτομο, τόσο πιο έντονη είναι η εγγενής κβαντική του κινητικότητα.

💡 Πού βρίσκεται λοιπόν η ουσία της απλοποίησης;

Το πραγματικό ηλεκτρόνιο διαθέτει πάντοτε μια αρχική, κβαντική ορμή. Όταν όμως μελετάμε τη σκέδαση Compton στο κλασικό εκπαιδευτικό μοντέλο, εστιάζουμε στον πυρήνα του φαινομένου: στην ελαστική κρούση όπου το φωτόνιο μεταφέρει τεράστια ποσά ενέργειας και ορμής στο ηλεκτρόνιο. Γι' αυτό τον λόγο εισάγουμε μια εξαιρετικά αποτελεσματική προσέγγιση.

🔬 Το υλικό έχει σημασία — αλλά όχι στον τύπο

Η εξίσωση Compton δεν περιέχει παραμέτρους του υλικού, γιατί η αλληλεπίδραση είναι φωτονίου-ηλεκτρονίου, όχι φωτονίου-ατόμου. Ωστόσο, η πιθανότητα να συμβεί σκέδαση Compton εξαρτάται από το υλικό: σε ελαφριά υλικά (π.χ. άνθρακας, αλουμίνιο) το Compton είναι πιο πιθανό, ενώ σε βαριά (π.χ. μόλυβδος) υπερισχύει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο σε χαμηλές ενέργειες.

Η θερμική κίνηση

Σε ένα πραγματικό στερεό υλικό, τα άτομα εκτελούν επίσης συνεχή θερμική κίνηση. Θα μπορούσε κάποιος να υποθέσει ότι αυτή η θερμική ταλάντωση είναι ο λόγος που το ηλεκτρόνιο δεν θεωρείται ακίνητο.

Ωστόσο, η θερμική ενέργεια (\(k_B T \approx 0{,}025\,\mathrm{eV}\)) είναι παντελώς αμελητέα. Το ουσιαστικό μέγεθος που μας ενδιαφέρει είναι η **αρχική ορμή του ηλεκτρονίου στο άτομο** και η σύγκρισή της με την ορμή που μεταφέρει το φωτόνιο.

⚠️ Η σωστή φυσική εικόνα

Η θερμική κίνηση είναι μια πραγματική κίνηση του υλικού, αλλά ο βασικός λόγος που το πραγματικό ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να θεωρηθεί απολύτως ακίνητο βρίσκεται στην κβαντική του κατάσταση. Στο απλό μοντέλο του Compton, η αρχική ορμή του ηλεκτρονίου θεωρείται αμελητέα σε σχέση με την ορμή που μεταφέρει το φωτόνιο.

Β. Τι σημαίνει «ελεύθερο και αρχικά ακίνητο ηλεκτρόνιο»;

Εδώ απαιτείται μια κρίσιμη φυσική διευκρίνιση. Όταν χαρακτηρίζουμε το ηλεκτρόνιο ως «ελεύθερο», δεν εννοούμε ότι έχει εγκαταλείψει το άτομο πριν τη σύγκρουση. Εννοούμε ότι η ενέργεια δέσμευσής του (\(\sim\mathrm{eV}\)) είναι απειροελάχιστη μπροστά στην ενέργεια του φωτονίου (\(120\,\mathrm{keV}\)), οπότε τα δεσμά του πυρήνα θεωρούνται πρακτικά ανύπαρκτα.

Αντίστοιχα, όταν το θεωρούμε «αρχικά ακίνητο», εννοούμε ότι η αρχική του ορμή είναι τόσο μικρή σε σχέση με τη γιγαντιαία ορμή του φωτονίου των ακτίνων X, ώστε η παραδοχή:

\[ \boxed{ \vec p_e=0 } \]

δεν επηρεάζει την ακρίβεια των υπολογισμών μας. Πρόκειται για μια **ευφυή προσέγγιση του μοντέλου** και όχι για κυριολεκτική ακινησία του ηλεκτρονίου μέσα στη δομή της ύλης.

🔎 Γιατί είναι τόσο ισχυρή αυτή η προσέγγιση;

Επειδή η ενέργεια του φωτονίου (\(120\,\mathrm{keV}\)) είναι συγκρίσιμη με την **ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου** (\(m_0 c^2 \approx 511\,\mathrm{keV}\)), το προσπίπτον φωτόνιο συμπεριφέρεται ως ένα ισχυρό σωματίδιο. Το μοντέλο του «ελεύθερου και ακίνητου» ηλεκτρονίου επιτρέπει να περιγράψουμε τη σκέδαση ως μια απλή ελαστική κρούση, αποσκοπώντας στη βαθιά κατανόηση των διατηρούμενων μεγεθών.

Σε πειράματα υψηλής διακριτικής ικανότητας, η υπαρκτή αρχική ορμή του ηλεκτρονίου προκαλεί μια μικρή απόκλιση γύρω από την αναμενόμενη τιμή μήκους κύματος — ένα φαινόμενο γνωστό ως διεύρυνση της γραμμής Compton (Compton broadening).

Το «ακίνητο ηλεκτρόνιο» δεν είναι λοιπόν μια εσφαλμένη παραδοχή, αλλά ένα **πολύτιμο και κομψό φυσικό μοντέλο**, του οποίου οφείλουμε να γνωρίζουμε τα όρια εφαρμογής.

📊 Συγκριτικός Πίνακας: Φωτοηλεκτρικό vs Compton

Χαρακτηριστικό	Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο	Φαινόμενο Compton
Ενέργεια Φωτονίου (\(h\nu\))	Χαμηλή / Μεσαία (Ορατό, UV)	Πολύ υψηλή (Σκληρές Χ, γ)
Σχέση με \(E_{\text{δεσμ}}\)	\(h\nu \approx E_{\text{δεσμ}}\)	\(h\nu \gg E_{\text{δεσμ}}\) (Αμελητέα)
Κατάσταση Ηλεκτρονίου	Ισχυρά δεσμευμένο στο άτομο	Θεωρείται ελεύθερο & ακίνητο
Μηχανισμός	Ολική απορρόφηση φωτονίου	Ελαστική σκέδαση φωτονίου
Τύχη Φωτονίου	Εξαφανίζεται εντελώς (μεταφέρει όλη την ενέργεια)	Σκεδάζεται με μεγαλύτερο μήκος κύματος (\(\lambda' > \lambda\))
Ρόλος Ατόμου / Πλέγματος	Απαραίτητος (παραλαμβάνει την ορμή)	Αμελητέος (το ηλεκτρόνιο δρα αυτόνομα)

⚠️ Προσοχή

Δεν υπάρχει ένας απόλυτος «διακόπτης» που να λέει ότι σε μια συγκεκριμένη ενέργεια συμβαίνει αποκλειστικά το ένα ή το άλλο φαινόμενο. Η πιθανότητα κάθε αλληλεπίδρασης εξαρτάται από την ενέργεια του φωτονίου αλλά και από το υλικό.

Δ. Η εξίσωση του Compton

Ας περάσουμε τώρα από την ποιοτική εικόνα στο μαθηματικό μέρος.

Όταν ένα φωτόνιο σκεδάζεται από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο που θεωρούμε αρχικά ακίνητο, το μήκος κύματός του μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση Compton:

\[ \boxed{ \Delta\lambda = \lambda'-\lambda = \frac{h}{m_e c} (1-\cos\theta) } \]

Η ποσότητα

\[ \boxed{ \lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2{,}43\times10^{-3}\,\mathrm{nm} } \]

ονομάζεται μήκος κύματος Compton του ηλεκτρονίου.

Πότε έχουμε τη μεγαλύτερη μεταβολή;

Η μεταβολή του μήκους κύματος γίνεται μέγιστη όταν το φωτόνιο σκεδάζεται προς τα πίσω (οπισθοσκέδαση):

\[ \theta=180^\circ \]

Επειδή \[ \cos180^\circ=-1, \] προκύπτει:

\[ \boxed{ \Delta\lambda_{\max} = 2\lambda_C } \] \[ \Delta\lambda_{\max} \approx 4{,}86\times10^{-3}\,\mathrm{nm} \]

Ε. Ας βάλουμε αριθμούς

Ας εξετάσουμε τώρα ένα συγκεκριμένο φωτόνιο ενέργειας \[ E=120\,\mathrm{keV}. \]

1

Βρίσκουμε το αρχικό μήκος κύματος. Χρησιμοποιούμε \[ E=\frac{hc}{\lambda} \] και \[ hc\simeq1240\,\mathrm{eV\,nm}. \] Άρα \[ \lambda = \frac{1240}{120000} \approx 0{,}01033\,\mathrm{nm}. \]

2

Βρίσκουμε τη μέγιστη αύξηση του μήκους κύματος. \[ \Delta\lambda_{\max} = 0{,}00486\,\mathrm{nm}. \] Επομένως \[ \lambda' = \lambda+\Delta\lambda_{\max} \] και \[ \lambda' \approx 0{,}01033+0{,}00486 = 0{,}01519\,\mathrm{nm}. \]

3

Βρίσκουμε τη νέα ενέργεια του φωτονίου. \[ E' = \frac{hc}{\lambda'} \] οπότε \[ E' \approx \frac{1240}{0{,}01519} \approx 81{,}6\,\mathrm{keV}. \]

4

Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στο ηλεκτρόνιο; Από τη διατήρηση της ενέργειας: \[ \Delta E = E-E'. \] Άρα \[ \Delta E \approx 120-81{,}6 = 38{,}4\,\mathrm{keV}. \]

Το φωτόνιο χάνει ενέργεια, ενώ το ηλεκτρόνιο αποκτά κινητική ενέργεια ανάκρουσης. \[ 120\,\mathrm{keV} \longrightarrow 81{,}6\,\mathrm{keV} \]

ΣΤ. Τι μας λέει πραγματικά το φαινόμενο;

Η εξίσωση του Compton δεν αποτελεί μια απλή συνταγή υπολογισμού μήκους κύματος. Εμπεριέχει μια βαθύτατη φυσική αποκάλυψη.

Το φωτόνιο μεταφέρει ενέργεια και ορμή. Όταν αλληλεπιδρά ελαστικά με το ηλεκτρόνιο, προσφέρει σε αυτό ένα σημαντικό μέρος της ορμής και της ενέργειάς του.

Ως συνέπεια, το σκεδαζόμενο φωτόνιο αποχωρεί με ελαττωμένη ενέργεια. Και επειδή \[ E=\frac{hc}{\lambda}, \] η μείωση της ενέργειας μεταφράζεται άμεσα σε διεύρυνση του μήκους κύματος: \[ E'<E \quad\Longrightarrow\quad \lambda'>\lambda. \]

🔎 Η μεγάλη εικόνα

Η σκέδαση Compton αποτελεί έναν από τους ισχυρότερους πυλώνες της Κβαντικής Φυσικής. Απέδειξε ότι το φως, κατά την αλληλεπίδρασή του με την ύλη, δεν συμπεριφέρεται απλώς ως κλασικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα, αλλά ως σύνολο κβαντικών σωματιδίων (φωτονίων) που φέρουν καθορισμένη ορμή.

Πίσω από μια φαινομενικά απλή μετατόπιση στο μήκος κύματος κρύβεται η οριστική αλλαγή του τρόπου με τον οποίο η ανθρωπότητα αντιλαμβάνεται τη φύση του φωτός.

Ζ. Είναι προκαθορισμένη η γωνία στη σκέδαση Compton;

Όχι.

Η εξίσωση Compton μάς λέει ποια θα είναι η μεταβολή του μήκους κύματος, αν γνωρίζουμε τη γωνία σκέδασης. Δεν μας λέει ποια ακριβώς θα είναι η γωνία σε μια συγκεκριμένη σύγκρουση.

Θεωρητικά, η γωνία μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από \(0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ\).

Άρα γεννιέται ένα παράξενο, αλλά θεμελιώδες, ερώτημα: Τυχαία ή προκαθορισμένη;

Για ένα συγκεκριμένο φωτόνιο, δεν μπορούμε να προβλέψουμε εκ των προτέρων αν θα σκεδαστεί, για παράδειγμα, κατά \(15^\circ\), \(60^\circ\) ή \(140^\circ\). Η γωνία σκέδασης είναι πιθανοκρατική.

Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι όλες οι γωνίες είναι εξίσου πιθανές. Και εδώ βρίσκεται το ενδιαφέρον.

Η φύση δεν επιλέγει όλες τις γωνίες το ίδιο

Φαντάσου ότι στέλνουμε όχι ένα, αλλά ένα εκατομμύριο φωτόνια ίδιας ενέργειας, για παράδειγμα φωτόνια των \(120\,\mathrm{keV}\), πάνω σε ένα υλικό.

Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε πού ακριβώς θα πάει το κάθε φωτόνιο. Μπορούμε όμως να μετρήσουμε:

• πόσα φωτόνια σκεδάστηκαν σε μικρές γωνίες,
• πόσα σε μεσαίες,
• πόσα σε μεγάλες,
• και πόσα περίπου προς τα πίσω.

Θα διαπιστώσουμε τότε ότι οι γωνίες δεν εμφανίζονται όλες με την ίδια συχνότητα. Η σκέδαση προς μικρές γωνίες είναι πιθανότερη από τη σκέδαση προς μεγάλες γωνίες για φωτόνια ενέργειας \(120\,\mathrm{keV}\).

Με άλλα λόγια: Το μεμονωμένο γεγονός είναι απρόβλεπτο, αλλά το πλήθος των γεγονότων ακολουθεί έναν πολύ συγκεκριμένο νόμο.

Η εξίσωση Compton δεν «διαλέγει» τη γωνία

Θα μπορούσαμε να το πούμε ακόμη πιο απλά.

Η εξίσωση \[ \Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta) \] δεν λέει: «Το φωτόνιο θα σκεδαστεί υπό γωνία \(37^\circ\)».

Λέει: «Αν το φωτόνιο σκεδαστεί υπό γωνία \(37^\circ\), τότε η μεταβολή του μήκους κύματός του θα είναι αυτή που αντιστοιχεί στα \(37^\circ\).»

Είναι, λοιπόν, μια σχέση συνέπειας και όχι ένας μηχανισμός που αποφασίζει τη γωνία.

Η γωνία είναι το αποτέλεσμα του συγκεκριμένου κβαντικού γεγονότος· η εξίσωση Compton μάς λέει ποια θα είναι η συνέπεια αυτού του αποτελέσματος για το μήκος κύματος.

Πώς το διαπιστώνουμε πειραματικά;

Χρειαζόμαστε πολλά φωτόνια. Μετράμε πόσα γεγονότα αντιστοιχούν σε κάθε περιοχή γωνιών και κατασκευάζουμε τη στατιστική κατανομή.

Τότε εμφανίζεται η χαρακτηριστική καμπύλη που προβλέπεται από την κβαντομηχανική και επιβεβαιώνεται πειραματικά (εξίσωση Klein–Nishina).

Έτσι η Φυσική κάνει κάτι πραγματικά εντυπωσιακό: Δεν προβλέπει το αποτέλεσμα κάθε μεμονωμένου γεγονότος. Προβλέπει με μεγάλη ακρίβεια τη συμπεριφορά ενός τεράστιου πλήθους γεγονότων.

Ένα μικρό παράδοξο της κβαντικής Φυσικής

Εδώ βρίσκεται ίσως η πιο όμορφη πλευρά του θέματος.

Αν ρωτήσουμε: «Πού ακριβώς θα πάει αυτό το συγκεκριμένο φωτόνιο;» η θεωρία δεν μας δίνει μια συγκεκριμένη απάντηση.

Αν όμως ρωτήσουμε: «Τι θα συμβεί αν στείλουμε ένα εκατομμύριο ίδια φωτόνια;» η απάντηση γίνεται εξαιρετικά συγκεκριμένη. Θα εμφανιστεί μια καθορισμένη στατιστική κατανομή των γωνιών σκέδασης.

μεμονωμένο γεγονός  →  πιθανοκρατικό

μεγάλο πλήθος γεγονότων  →  στατιστικά προβλέψιμο

Αυτή η διάκριση — μεμονωμένο φωτόνιο έναντι πλήθους φωτονίων — είναι το κλειδί για να καταλάβουμε τι σημαίνει «τυχαίο» στην κβαντική Φυσική.

🧠 Για να θυμάσαι

• Η εξίσωση Compton δεν προβλέπει τη γωνία. Προβλέπει τη μεταβολή του μήκους κύματος για δεδομένη γωνία.
• Η Klein–Nishina δεν προβλέπει τη γωνία ενός συγκεκριμένου φωτονίου. Προβλέπει την πιθανότητα να παρατηρήσουμε σκέδαση στις διάφορες γωνίες.
• Έτσι: Το μεμονωμένο φωτόνιο σκεδάζεται με τρόπο που δεν μπορούμε να προβλέψουμε εκ των προτέρων, ενώ ένα μεγάλο πλήθος φωτονίων εμφανίζει μια συγκεκριμένη και προβλέψιμη στατιστική κατανομή.
• Αυτή ακριβώς είναι μία από τις βαθιές ιδέες της κβαντικής Φυσικής: Η Φύση μπορεί να είναι απρόβλεπτη στο μεμονωμένο γεγονός, αλλά εξαιρετικά προβλέψιμη όταν κοιτάζουμε το πλήθος.

🧠 Για να θυμάσαι

• Το φωτόνιο φέρει ενέργεια \(\displaystyle E=\frac{hc}{\lambda}\) και ορμή \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}\).
• Στη σκέδαση Compton το φωτόνιο δεν εξαφανίζεται· σκεδάζεται με μικρότερη ενέργεια.
• Επειδή \(E'<E\), το μήκος κύματος αυξάνεται: \[ \lambda'>\lambda. \]
• Η μεταβολή του μήκους κύματος εξαρτάται αποκλειστικά από τη γωνία σκέδασης: \[ \Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta). \]
• Η μέγιστη μεταβολή εμφανίζεται στην οπισθοσκέδαση (\(\theta=180^\circ\)).
• Το «ελεύθερο και αρχικά ακίνητο ηλεκτρόνιο» είναι μια πολύτιμη προσέγγιση του μοντέλου, όχι μια κυριολεκτική περιγραφή του δεσμευμένου ηλεκτρονίου μέσα στο άτομο.
• Η σκέδαση Compton αποδεικνύει τις σωματιδιακές ιδιότητες του φωτός κατά την αλληλεπίδρασή του με την ύλη.

🌍 Γιατί έχει σημασία στην πράξη;

Η σκέδαση Compton δεν είναι μόνο μια θεωρητική άσκηση. Έχει κρίσιμες εφαρμογές στην Ιατρική (απεικόνιση με ακτίνες Χ και ακτινοθεραπεία), στην Αστροφυσική (όπου το Compton διαμορφώνει το φάσμα των ακτίνων γ από υπερκαινοφανείς και ενεργούς γαλαξιακούς πυρήνες), και στην Πυρηνική Φυσική (ανίχνευση ακτινοβολίας).

✦ Και μια διαφορετική ματιά στη σκέδαση ✦

✦ Διαδραστική έκδοση του άρθρου ✦

📥 Κατεβάστε το ανεπτυγμένο

Ανοίγει σε νέα σελίδα — κατάλληλο για εκτύπωση ή αποθήκευση ως PDF.

Επιμέλεια & Ανάλυση: © Τάσος Τζανόπουλος
Για τη διδασκαλία της Σύγχρονης Φυσικής στο Λύκειο

True-False Quiz | 400 Physics Questions for 12th Grade

📘 Quiz Σωστού-Λάθους

Φυσική Γ' Λυκείου · Επανάληψη Θεωρίας

📋 400 ερωτήσεις 👨‍🏫 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς

📌 ▶ Πατήστε σε οποιαδήποτε κάρτα για να ανοίξετε την αντίστοιχη ενότητα ερωτήσεων. ◀

📖

Ερωτήσεις 1 – 100

Θεμελιώδεις έννοιες

🔵 100 ερωτήσεις

Άνοιξε την ενότητα →

📗

Ερωτήσεις 101 – 200

Μηχανική & Κύματα

🟢 100 ερωτήσεις

Άνοιξε την ενότητα →

📕

Ερωτήσεις 201 – 300

Ηλεκτρομαγνητισμός

🟠 100 ερωτήσεις

Άνοιξε την ενότητα →

📘

Ερωτήσεις 301 – 400

Σύγχρονη Φυσική & Επαγωγή

🟣 100 ερωτήσεις

Άνοιξε την ενότητα →

© 2026 Νεκτάριος Πρωτοπαπάς / Τάσος Τζανόπουλος – All rights reserved.
⬅ Επιστροφή στην κεντρική σελίδα

The Geometry of Scattering and the Momentum Triangle

Η γεωμετρία της σκέδασης και το τρίγωνο των ορμών

Σχήμα 1 – Σκέδαση σωματιδίου Α υπό γωνία 90° από αρχικά ακίνητο σωματίδιο Β και το αντίστοιχο τρίγωνο ορμών

📘 Εκφώνηση

Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο, ώστε να περιλαμβάνει φαινόμενα όπου τα «συγκρουόμενα» σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Τα σωματίδια αλληλεπιδρούν με μεγάλες δυνάμεις όταν πλησιάσουν αρκετά, με αποτέλεσμα την απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Το φαινόμενο λέγεται σκέδαση.

Σωματίδιο Α με κινητική ενέργεια $K_0$ κινείται ευθύγραμμα και σκεδάζεται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση, όταν πλησιάσει αρκετά σε αρχικά ακίνητο σωματίδιο Β. Η μάζα του σωματιδίου Β είναι διπλάσια από τη μάζα του Α.

Α. Να προσδιορίσετε τη διεύθυνση κίνησης του σωματιδίου Β μετά την «κρούση».

Β. Να υπολογίσετε, σε συνάρτηση με την κινητική ενέργεια $K_0$, τις κινητικές ενέργειες των σωματιδίων Α και Β μετά την «κρούση».

🔍 Λύση

Δεδομένα

• Σωματίδιο Α: μάζα $m$, αρχική κινητική ενέργεια $K_0$.
• Σωματίδιο Β: μάζα $2m$, αρχικά ακίνητο ($K_B = 0$).
• Μετά τη σκέδαση, το Α κινείται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση.

Α. Διεύθυνση κίνησης του Β

Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής:

$$\vec{p}_0 = \vec{p}_A + \vec{p}_B$$

Επειδή $\vec{p}_0 \perp \vec{p}_A$, το τρίγωνο ορμών είναι ορθογώνιο. Έτσι, η ορμή του Β σχηματίζει γωνία $\theta$ με την αρχική διεύθυνση, όπου:

$$\tan\theta = \frac{p_A}{p_0} \quad \text{και} \quad p_B = \sqrt{p_0^2 + p_A^2}$$

Από την επίλυση των εξισώσεων (βλ. παρακάτω) προκύπτει:

$$\theta = 30^\circ$$

Συμπέρασμα: Το σωματίδιο Β κινείται υπό γωνία $30^\circ$ ως προς την αρχική διεύθυνση του Α.

Β. Κινητικές ενέργειες μετά την κρούση

Έστω $p_0$ η αρχική ορμή του Α, $p_A$ η ορμή του Α μετά και $p_B'$ η ορμή του Β μετά.

• $p_0 = \sqrt{2mK_0}$
• $p_A' = \sqrt{2mK_A}$
• $p_B' = \sqrt{2(2m)K_B} = \sqrt{4mK_B}$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ορμών:

$$p_B^2 = p_0^2 + p_A^2 \implies 4mK_B = 2mK_0 + 2mK_A \implies 2K_B = K_0 + K_A$$

Από τη διατήρηση της ενέργειας (ελαστική κρούση):

$$K_0 = K_A + K_B \implies K_B = K_0 - K_A$$

Αντικαθιστώντας:

$$2(K_0 - K_A) = K_0 + K_A \implies 2K_0 - 2K_A = K_0 + K_A \implies K_0 = 3K_A$$

$$K_A = \frac{K_0}{3}, \qquad K_B = \frac{2K_0}{3}$$

Επαλήθευση της γωνίας:

$$p_0 = \sqrt{2mK_0}, \quad p_B = \sqrt{4mK_B} = \sqrt{4m \cdot \frac{2K_0}{3}} = \sqrt{\frac{8mK_0}{3}}$$

$$\cos\theta = \frac{p_0}{p_B} = \frac{\sqrt{2mK_0}}{\sqrt{\frac{8mK_0}{3}}} = \sqrt{\frac{2mK_0 \cdot 3}{8mK_0}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ$$

💡 Σχόλιο

Η σκέδαση υπό γωνία $90^\circ$ οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο ορμών. Η σχέση των μαζών $m$ και $2m$ καθορίζει την κατανομή της κινητικής ενέργειας:

$$K_A = \frac{K_0}{3}, \qquad K_B = \frac{2K_0}{3}$$

Αυτό σημαίνει ότι το βαρύτερο σωματίδιο (Β) αποκτά τα 2/3 της αρχικής ενέργειας, ενώ το ελαφρύτερο (Α) διατηρεί το 1/3.

$$\cos\theta = \frac{p_0}{p_B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \rightarrow \theta = 30^\circ$$

💡Η άσκηση αποτελεί κλασικό παράδειγμα σκέδασης στον μικρόκοσμο και είναι θεμελιώδης για την επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων σκέδασης, όπως το φαινόμενο Compton .

Λήψη Word Λήψη PDF

Τάσος Τζανόπουλος