solid-body-test

My Physics Blog Στερεό Σώμα

Θέμα Α Θέμα Β Θέμα Γ Θέμα Δ

0 / 100

Διαγώνισμα στο Στερεό Σώμα - Φυσική Γ' Λυκείου

⚡ Προηγμένο διαδραστικό διαγώνισμα

🌀 Στερεό Σώμα

Με αυτοαξιολόγηση, ζωντανές προσομοιώσεις, αναλυτικές λύσεις και δυνατότητα δωρεάν λήψης σε Word ή PDF.

🎯 Target 100/100

Γ' Λυκείου • Θετικών Σπουδών & Υγείας

Επιμέλεια Θεμάτων

Άννα Τζίμα • Ανδρέας Δάσκας • Χρήστος Αγριόδημας • Τάσος Τζανόπουλος

Διαδραστική παρουσίαση: Τάσος Τζανόπουλος

Ιδανικό για εξάσκηση στην Κύλιση χωρίς Ολίσθηση, Στροφορμή, Ροπή Δύναμης & Ισορροπία Στερεού.

Διαδραστική βαθμολογία

Σκορ

0 / 100

ΘΕΜΑ Α

0/25

ΘΕΜΑ Β

0/25

ΘΕΜΑ Γ

0/25

ΘΕΜΑ Δ

0/25

Α ΘΕΜΑ Α — Ερωτήσεις θεωρίας & κρίσης

25 μονάδες

Ερώτηση Α1

Α1 5 μονάδες

Εκφώνηση

Σε έναν τροχό που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο, τα σημεία που έχουν λόγω της στροφικής κίνησης γύρω από το κέντρο μάζας ταχύτητα μέτρου ίσου με το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας \(υ_{cm}\), είναι:

α. όλα τα σημεία του τροχού. β. τα σημεία της κατακόρυφης διαμέτρου. γ. τα σημεία της οριζόντιας διαμέτρου. δ. τα σημεία της περιφέρειας.

ω = 1.0 Όλα τα σημεία Μόνο περιφέρεια Οριζόντια διάμετρος Κατακόρυφη διάμετρος

Η στροφική συνιστώσα (μπλε βέλος) είναι πάντα ωR = υ_cm. Η συνολική ταχύτητα (πράσινο βέλος) στο κάτω σημείο μηδενίζεται, στο πάνω διπλασιάζεται, στα δεξιά/αριστερά είναι √2·υ_cm.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση, η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι:

\[ υ_{cm} = \omega R \]

Για κάθε σημείο της περιφέρειας, η στροφική συνιστώσα της ταχύτητας έχει μέτρο:

\[ υ_{στρ} = \omega R \]

Άρα, σε κάθε σημείο της περιφέρειας, το μέτρο της στροφικής συνιστώσας ισούται με \(υ_{cm}\), αφού όλα τα σημεία απέχουν \(R\) από το κέντρο.

Σωστή επιλογή: δ (τα σημεία της περιφέρειας)

Ερώτηση Α2

Α2 5 μονάδες

Εκφώνηση

Το κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος:

α. σε ανομοιογενές βαρυτικό πεδίο συμπίπτει με το κέντρο βάρους. β. συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας, αν το σώμα είναι ομογενές και συμμετρικό. γ. αποκλείεται να βρίσκεται έξω από το σώμα. δ. συμπίπτει πάντοτε με ένα σημείο του άξονα περιστροφής.

Σχήμα: Ομογενής ράβδος Δακτύλιος Τρίγωνο Γωνία (L)

Η κόκκινη κουκκίδα δείχνει το κέντρο μάζας. Παρατήρησε ότι για τον δακτύλιο και τη γωνία (L), το ΚΜ μπορεί να βρίσκεται και έξω από το υλικό του σώματος.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Ανάλυση:

• α) Λάθος — Κέντρο μάζας και κέντρο βάρους συμπίπτουν μόνο σε ομογενές βαρυτικό πεδίο.
• β) Σωστό — Σε ομογενές και συμμετρικό σώμα, το κέντρο μάζας ταυτίζεται με το κέντρο συμμετρίας.
• γ) Λάθος — Μπορεί να βρίσκεται έξω από το σώμα (π.χ. δακτύλιος, γωνία L).
• δ) Λάθος — Δεν συμπίπτει απαραίτητα με τον άξονα περιστροφής.

Σωστή επιλογή: β

Ερώτηση Α3

Α3 5 μονάδες

Εκφώνηση

Σχήμα 1 · Αβαρής ράβδος με δύο μάζες \(m\) και άξονα \(zz'\).

Το σύστημα περιλαμβάνει μία αβαρή ράβδο με δύο κολλημένες σημειακές μάζες \(m\). Περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα \(zz'\). Αν οι μάζες ξεκολλήσουν και η απόστασή τους από τον άξονα διπλασιαστεί, η στροφορμή του συστήματος:

α. παραμένει ίδια. β. διπλασιάζεται. γ. τριπλασιάζεται. δ. τετραπλασιάζεται.

Αρχική r₀: 60

Καθώς οι μάζες απομακρύνονται από τον άξονα (r ↑), η ροπή αδράνειας I ↑ και η γωνιακή ταχύτητα ω ↓, ώστε το γινόμενο L = I·ω να μένει σταθερό. Παρατήρησε τις μπάρες δεξιά.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές στο σύστημα (η περιστροφή γίνεται χωρίς τριβές), άρα η στροφορμή διατηρείται:

\[ L_{αρχ} = L_{τελ} \]

Αν και η ροπή αδράνειας $I$ αυξάνεται, η γωνιακή ταχύτητα $\omega$ μειώνεται ανάλογα, ώστε το γινόμενο $I\omega$ να παραμένει σταθερό.

Σωστή επιλογή: α (παραμένει ίδια)

Ερώτηση Α4

Α4 5 μονάδες

Εκφώνηση

Μια ομογενής ράβδος μήκους \(L\), ακίνητη σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δέχεται ζεύγος οριζόντιων δυνάμεων στα σημεία Α και Β. Η ράβδος θα περιστραφεί γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται:

Σχήμα 2 · Ομογενής ράβδος με σημεία Α, Β, Γ, Δ.

α. από το σημείο Α. β. από το σημείο Β. γ. από το σημείο Γ. δ. από σημείο μεταξύ των Α και Β.

Θέση Α: 0.30 Θέση Β: 0.70

Οι δυνάμεις είναι αντίρροπες. Δοκίμασε να μετακινήσεις τα σημεία εφαρμογής — παρατήρησε ότι η περιστροφή γίνεται πάντα γύρω από το κέντρο μάζας, ακόμα κι αν οι δυνάμεις βρίσκονται στο ίδιο μισό της ράβδου.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Το ζεύγος δυνάμεων έχει συνισταμένη δύναμη μηδέν αλλά συνισταμένη ροπή διάφορη του μηδενός. Η ροπή του ζεύγους είναι ανεξάρτητη από το σημείο αναφοράς.

Καθώς το σώμα είναι ακίνητο και δέχεται μόνο ροπή ζεύγους, θα εκτελέσει καθαρά περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας.

Στην περίπτωση της ράβδου, το κέντρο μάζας βρίσκεται στο μέσο της ράβδου.

Σωστή επιλογή: γ (από το σημείο Γ, που είναι το κέντρο μάζας)

Ερώτηση Α5

Α5 5 μονάδες

Εκφώνηση

Να γράψετε τη λέξη Σωστό ή Λάθος για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.

α. Τροχός ακτίνας \(R\) κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τα σημεία της περιφέρειας που απέχουν από το έδαφος απόσταση \(R\), έχουν ταχύτητα μέτρου \(2υ_{cm}\).

β. Η γωνιακή επιτάχυνση στερεού σε ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση έχει κατεύθυνση ίδια με τη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας.

γ. Η στροφορμή υλικού σημείου διατηρείται σταθερή αν το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων είναι σταθερό.

δ. Η ροπή του βάρους σώματος, σε ομογενές βαρυτικό πεδίο, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι μηδέν.

ε. Μονάδα μέτρησης της στροφορμής είναι και το \(1\,N\cdot m\cdot s\).

α) Λάθος — Η ταχύτητα των σημείων που απέχουν απόσταση \(R\) από το έδαφος είναι \(υ = \sqrt{2}\,υ_{cm}\) (διανυσματικό άθροισμα).

β) Σωστό — Η γωνιακή επιτάχυνση έχει τη διεύθυνση της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας.

γ) Λάθος — Διατηρείται όταν η συνισταμένη ροπή είναι μηδέν, όχι όταν το άθροισμα των δυνάμεων είναι σταθερό.

δ) Σωστό — Η ροπή του βάρους ως προς το κέντρο μάζας είναι μηδέν (ο μοχλοβραχίονας είναι μηδέν).

ε) Σωστό — \(1\,N\cdot m\cdot s = 1\,kg\cdot m^2/s\) (ίδια μονάδα).

Απαντήσεις: α-Λ, β-Σ, γ-Λ, δ-Σ, ε-Σ

Β ΘΕΜΑ Β — Ασκήσεις εφαρμογής

25 μονάδες

Ερώτηση Β1

Β1 2 + 10 μονάδες

Εκφώνηση

Σχήμα 3 · Τροχός και δίσκος με νήμα, \(R_2=2r\), \(ω_1\), \(ω_2\), \(υ_{cm,1}\), \(υ_{cm,2}\).

Στην περιφέρεια τροχού ακτίνας \(R_1\) έχει τυλιχθεί νήμα. Το άλλο άκρο του νήματος είναι τυλιγμένο στην εσωτερική ακτίνα \(r\) δίσκου με \(R_2=2r\). Ο τροχός και ο δίσκος κυλίονται χωρίς ολίσθηση με σταθερές ταχύτητες κέντρου μάζας. Το νήμα δεν ολισθαίνει και παραμένει τεντωμένο και παράλληλο στο οριζόντιο επίπεδο.

Τα μέτρα των γωνιακών ταχυτήτων \(ω_1\) και \(ω_2\) συνδέονται με τη σχέση:

α. \( \omega_1 = \frac{3\omega_2}{2} \) β. \( \omega_1 = 2\omega_2 \) γ. \( \omega_1 = \omega_2 \)

Ζητείται: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Διπλός Δίσκος (Αριστερά) & Τροχός (Δεξιά) • Κίνηση προς τα δεξιά

Διανύσματα Ταχυτήτων ω₂:

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Σωστή επιλογή: γ.

Θεωρούμε για τον κάθε δίσκο την κίνηση σύνθετη, μία μεταφορική με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και μία στροφική περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας.

Από το σχήμα βρίσκουμε τη σχέση των ακτίνων:

$$ 2R_1 = R_2 + r \Rightarrow 2R_1 = R_2 + \frac{R_2}{2} \Rightarrow R_1 = \frac{3R_2}{4} $$

Όλα τα σημεία του σχοινιού έχουν ίδιο μέτρο ταχύτητας:

$$ v_A = v_B \Rightarrow 2v_{cm(1)} = v_{cm(2)} + \omega_2 r \Rightarrow 2\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2 + \omega_2 r $$

$$ 2\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2 + \omega_2 \frac{R_2}{2} \Rightarrow 2\omega_1 R_1 = \frac{3\omega_2 R_2}{2} $$

$$ 2\omega_1 \frac{3R_2}{4} = \frac{3\omega_2 R_2}{2} \Rightarrow \omega_1 = \omega_2 $$

Σωστή επιλογή: γ) \( \omega_1 = \omega_2 \)

Ερώτηση Β2

Β2 2 + 11 μονάδες

Εκφώνηση

Σχήμα 4 · Δίσκος, τροχαλία, νήματα 1 και 2, σώμα \(M\), ύψος \(h\), ακτίνες \(R, R_1, R_2\).

Για το σύστημα του σχήματος, να βρείτε ποια από τις δοθείσες σχέσεις ισχύει για τον ζητούμενο λόγο/μέγεθος.

α. \( \dfrac{M}{m}=1 \) β. \( \dfrac{M}{m}=\sqrt{2} \) γ. \( \dfrac{M}{m}=2 \)

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνεται \(g=10\,m/s^2\).

Τροχαλία \(R_1 = R_2/4\), Οριακή Ισορροπία (\(N=0\)) & Ανύψωση

Τρίγωνο (\(R, R-h, d\)) Δυνάμεις

Λόγος \(M/m\): 2.00

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Σωστή επιλογή: γ. Το κρίσιμο σημείο είναι να χρησιμοποιηθεί σωστά το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο του σχήματος, ώστε να βρεθεί ο μοχλοβραχίονας \(d\).

Λύση Β2 · Γεωμετρία σχήματος, Πυθαγόρειο θεώρημα και συνθήκες ισορροπίας.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$ R^2=y^2+d^2 \Rightarrow R^2=(R-h)^2+d^2 \Rightarrow R^2=(0{,}6R)^2+d^2 \Rightarrow d=0{,}8R. $$

Από την ισορροπία του δίσκου περί το \(A\) και θεωρώντας ότι έχει χαθεί η επαφή με το δάπεδο:

$$ \sum\tau_A=0 \Rightarrow T_2R=mgd \Rightarrow T_2R=mg\cdot0{,}6R \Rightarrow T_2=\frac{mg}{2}. $$

Από την ισορροπία της τροχαλίας περί το \(O\):

$$ \sum \tau_O=0\Rightarrow T_1=4T_2. $$

Για την ισορροπία του σώματος \(M\):

$$ \sum F=0 \Rightarrow W_M=T_1=4T_2 \Rightarrow Mg=4\cdot\frac{mg}{2} \Rightarrow M=2m \Rightarrow \frac{M}{m}=2. $$

Σωστή επιλογή: γ) \( \dfrac{M}{m}=2 \)

Γ ΘΕΜΑ Γ — Ισορροπία στερεού & ροπές

25 μονάδες

Ερώτηση Δ1

Γ1 — Σκάλα, λείο δάπεδο, λείος τοίχος και σχοινί 12 μονάδες

Εκφώνηση

Προσπαθούμε να στηρίξουμε μια σκάλα, της οποίας το κέντρο μάζας ταυτίζεται με το μέσον της, πάνω σε απολύτως λείο οριζόντιο δάπεδο και σε λείο κατακόρυφο τοίχο, με τη βοήθεια ενός σχοινιού που το δένουμε ακριβώς στη μέση της και στην κορυφή της γωνίας \(A\) μεταξύ δαπέδου και τοίχου. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή και γιατί;

Σχήμα Γ1 · Σκάλα, λείος τοίχος, λείο δάπεδο και σχοινί.

α. Η σκάλα είναι δυνατό να ισορροπήσει με κατάλληλη τιμή της τάσης του σχοινιού που εξαρτάται από τη γωνία σκάλας–δαπέδου. β. Η σκάλα είναι αδύνατο να ισορροπήσει για οποιαδήποτε τιμή της τάσης του σχοινιού και για οποιαδήποτε γωνία με το δάπεδο.

Προσομοίωση Γ1: Σκάλα σε λείο τοίχο/δάπεδο με σχοινί δεμένο στη σκάλα

Γωνία σκάλας 58° Θέση δεσίματος 0.50L

Εμφάνιση αναλυτικής λύσης Απόκρυψη λύσης

Οι δυνάμεις που ασκούνται στη σκάλα είναι:

• η κάθετη αντίδραση του δαπέδου \(N_1\), κατακόρυφη προς τα πάνω,
• η κάθετη αντίδραση του τοίχου \(N_2\), οριζόντια προς τα δεξιά,
• το βάρος \(w\), που εφαρμόζεται στο μέσον της σκάλας,
• η τάση \(T\) του σχοινιού, η οποία εφαρμόζεται επίσης στο μέσον της σκάλας και έχει φορέα το σχοινί.

Οι φορείς των δύο αντιδράσεων \(N_1\) και \(N_2\) τέμνονται στο σημείο \(O\), που είναι η τέταρτη κορυφή του ορθογωνίου που σχηματίζουν ο τοίχος, το δάπεδο και τα άκρα της σκάλας.

Όταν το σχοινί είναι δεμένο ακριβώς στο μέσον της σκάλας, ο φορέας του σχοινιού, δηλαδή η ευθεία που ενώνει το \(A\) με το μέσον της σκάλας, περνά επίσης από το \(O\).

\[ \tau_O(N_1)=0,\qquad \tau_O(N_2)=0,\qquad \tau_O(T)=0 \]

Όμως ο φορέας του βάρους δεν περνά από το \(O\), άρα:

\[ \tau_O(w)\neq 0 \]

Επομένως, όσο μεγάλη κι αν είναι η τάση του σχοινιού, δεν μπορεί να εξουδετερώσει τη ροπή του βάρους ως προς το \(O\). Η σκάλα δεν μπορεί να ισορροπήσει.

Σωστή επιλογή: β

Ερώτηση εμβάθυνσης:

Πότε θα γίνει δυνατή η ισορροπία της παραπάνω σκάλας: αν δέσουμε το σχοινί χαμηλότερα από τη μέση της ή ψηλότερα;

Απάντηση (Για διευκόλυνση παρατίθενται παρακάτω τα σχήματα των δύο περιπτώσεων).

Χαμηλότερα από το μέσον (Ισορροπία δυνατή)

Ψηλότερα από το μέσον (Ισορροπία αδύνατη)

Η ισορροπία γίνεται δυνατή αν το σχοινί δεθεί χαμηλότερα από το μέσον της σκάλας. Τότε η ροπή της τάσης ως προς το \(O\) έχει αντίθετη φορά από τη ροπή του βάρους.

Αν δεθεί ψηλότερα από το μέσον, η ροπή της τάσης έχει την ίδια φορά με τη ροπή του βάρους, οπότε η ισορροπία αποκλείεται.

Ερώτηση Γ2

Γ2 — Τροχός, δακτύλιος και ελατήριο 13 μονάδες

Εκφώνηση

Ένας τροχός μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από ακλόνητο κεντρικό οριζόντιο άξονα χωρίς τριβή. Υπάρχει μια οριζόντια ελαφριά ράβδος στερεωμένη στον τροχό κάτω από τον άξονα σε απόσταση \(d\) από αυτόν και ένας μικρός δακτύλιος μάζας \(m\), που μπορεί να ολισθαίνει κατά μήκος της ράβδου χωρίς τριβή.

Ο δακτύλιος συνδέεται με ελαφρύ ελατήριο σταθεράς \(k\), του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται στο χείλος του τροχού. Αρχικά ο δακτύλιος ισορροπεί στο κέντρο της ράβδου και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Κρατάμε τον τροχό ώστε η ράβδος να παραμένει οριζόντια, μετακινούμε τον δακτύλιο προς τα δεξιά και το ελατήριο συμπιέζεται. Έπειτα αφήνουμε ταυτόχρονα τροχό και δακτύλιο.

Σχήμα Γ2 · Τροχός, δακτύλιος και ελατήριο.

1. Να αποδείξετε ότι είναι δυνατόν ο τροχός να μην περιστρέφεται, ενώ ο δακτύλιος εκτελεί Α.Α.Τ. στη ράβδο.
2. Να βρείτε την τιμή της σταθεράς \(k\) ώστε η παραπάνω κατάσταση να είναι δυνατή.

Προσομοίωση Γ2: Τροχός, χορδή-ράβδος, δακτύλιος και ελατήριο

Απόσταση d/R 0.52 k/kισ 1.00 Πλάτος A/ℓ0 0.45

Αρχικά ο δακτύλιος βρίσκεται στο μέσον της ράβδου-χορδής και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος \( \ell_0 \). Με το κουμπί «Ξεκίνα» συμπιέζεται πρώτα το ελατήριο και στη συνέχεια ο δακτύλιος εκτελεί ταλάντωση.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσης Απόκρυψη λύσης

Όταν ο δακτύλιος βρίσκεται σε απομάκρυνση \(x\) από το κέντρο της ράβδου, ασκεί στη ράβδο, και μέσω αυτής στον τροχό, δύναμη ίση με το βάρος του \(mg\).

Η ροπή αυτής της δύναμης ως προς τον άξονα του τροχού έχει μέτρο:

\[ \tau_w = mgx \]

Το ελατήριο, όταν παραμορφωθεί κατά \(x\), ο τροχός δέχεται από αυτό δύναμη μέτρου:

\[ F_{\text{ελ}} = kx \]

Η δύναμη αυτή εφαρμόζεται στο χείλος/σημείο στερέωσης σε απόσταση \(d\) κάτω από τον άξονα, άρα η ροπή της ως προς τον άξονα έχει μέτρο:

\[ \tau_{\text{ελ}} = kxd \]

Για να μην περιστρέφεται ο τροχός, οι δύο ροπές πρέπει να είναι κάθε στιγμή αντίθετες και ίσες:

\[ kxd = mgx \]

Για \(x\neq 0\), απλοποιούμε:

\[ k = \frac{mg}{d} \]

Τότε ο τροχός δεν αποκτά γωνιακή επιτάχυνση, ενώ ο δακτύλιος κινείται πάνω στη ράβδο μόνο υπό την επίδραση της ελαστικής δύναμης, εκτελώντας Α.Α.Τ.

\[ \boxed{k=\dfrac{mg}{d}} \]

Δ ΘΕΜΑ Δ — Σύνθετη άσκηση

25 μονάδες

Εκφώνηση άσκησης

Η ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μήκος \(L=8m\), μάζα \(M=4kg\) και είναι στερεωμένη μέσω άρθρωσης στο άκρο Α. Ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια του νήματος 1, δεμένου στο Γ, που σχηματίζει γωνία \(\phi=30^\circ\) με τη ράβδο. Το Γ απέχει από το Β απόσταση \(d=L/4\). Στο άκρο Β αναρτάται σώμα \(Σ_2\) μάζας \(m_2=1kg\), μέσω νήματος μήκους \(\ell=1{,}6m\).

Ερώτηση Δ1

Δ1 6 μονάδες

Εκφώνηση

Δ1. Να βρείτε τη δύναμη, μέτρο και κατεύθυνση, που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση.

Διαδραστικό μοντέλο · Ισορροπία ράβδου με άρθρωση

φ 30° m₂ 1 kg d = ΓΒ 2 m

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Για το σώμα \(Σ_2\): \(\sum F_y=0 \Rightarrow T_2=m_2g=10\,N\), οπότε \(T'_2=10\,N\).

Από την ισορροπία ροπών της ράβδου ως προς την άρθρωση \(A\) (\((ΑΓ)=L-d=6\,m\), \((ΑΚ)=4\,m\), \((ΑΒ)=8\,m\)):

$$ \sum \tau_A = 0 \Rightarrow T_1\sin30^\circ\cdot 6 = Mg\cdot4+T'_2\cdot8 \Rightarrow 3T_1 = 160+80 \Rightarrow T_1=80\,N $$

Από τις εξισώσεις ισορροπίας \(\sum F_x=0\) και \(\sum F_y=0\) της ράβδου:

$$ F_x=T_1\cos30^\circ=40\sqrt3\,N,\qquad F_y=Mg+T'_2-T_1\sin30^\circ=40+10-40=10\,N $$

$$ F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{4800+100}=\sqrt{4900}=70\,N,\qquad \tan\theta=\frac{F_y}{F_x}=\frac{\sqrt3}{12} $$

\(F=70\,N\), με \(\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{12}\) ως προς την οριζόντια διεύθυνση

Ερώτηση Δ2

Δ2 6 μονάδες

Εκφώνηση

Δ2. Τη χρονική στιγμή \(t_0=0\) εκτοξεύουμε οριζόντια από το άκρο Α της ράβδου ένα σημειακό σώμα \(Σ_1\) αμελητέων διαστάσεων, μάζας \(m_1=1kg\), με ταχύτητα μέτρου \(υ_0=4m/s\) και φορά προς τα δεξιά, (Σχήμα 6). Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ της ράβδου και του σώματος \(Σ_1\) είναι \(\mu=0,2\).

Να βρείτε πως μεταβάλλεται η τάση του νήματος 1 σε συνάρτηση με τη θέση \(x\) του σώματος \(Σ_1\) από το σημείο Α μέχρι το σώμα να σταματήσει πάνω στη ράβδο. Στη συνέχεια να κάνετε τη γραφική παράσταση του μέτρου της τάσης του νήματος 1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση \(x\) του σώματος σε βαθμολογημένους άξονες.

Interactive Master Simulation (Δ1 – Δ4)

Εικονικό Εργαστήριο Ράβδου, Κίνησης Σ1 & Κρούσης Βλήματος στο Σ2

Θέση x του Σ1: 0.00 m

Στη θέση Γ4: cosθ = 0,75, υ = 2√2 m/s, T2΄ = 25 N, τ(A) = 150 N.m

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Για το σώμα \(Σ_1\): \(a = -\mu g = -2\,m/s^2\). Σταματά τη στιγμή \(t_{stop} = \frac{υ_0}{|a|} = 2\,s\), έχοντας διανύσει:

$$ x_{stop} = \frac{υ_0^2}{2|a|} = \frac{16}{4} = 4\,m $$

Σε τυχαία θέση \(x \in [0, 4\,m]\), η κάθετη δύναμη \(N'_1 = m_1g = 10\,N\) ασκείται στη ράβδο σε απόσταση \(x\) από το Α. Από \(\sum \tau_A = 0\):

$$ T_1\sin30^\circ\cdot 6 = Mg\cdot4 + T'_2\cdot8 + m_1g\cdot x \Rightarrow 3T_1 = 240 + 10x \Rightarrow T_1(x) = 80 + \frac{10}{3}x\ (N) $$

\(T_1(x)=80+\dfrac{10}{3}x\) (N), για \(0\le x\le 4\,m\)

Ερώτηση Δ3

Δ3 6 μονάδες

Εκφώνηση

Δ3. Μια μετέπειτα χρονική στιγμή, αφότου έχει σταματήσει το σώμα \(Σ_1\) να κινείται, σφηνώνεται στο σώμα \(Σ_2\) ένα βλήμα μάζας \(m=1kg\) που κινείται οριζόντια με φορά προς τα δεξιά και ταχύτητα μέτρου \(υ=8m/s\).

Αν η διάρκεια της κρούσης είναι \(\Delta t=0,01s\) να βρείτε τον μέσο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του βλήματος (μέτρο και κατεύθυνση), στη διάρκεια της κρούσης ως προς άξονα που περνά από το σημείο Β και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Από την Α.Δ.Ο. στην πλαστική κρούση:

$$ mυ=(m+m_2)V \Rightarrow 1\cdot8=(1+1)V \Rightarrow V=4\,m/s $$

Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του βλήματος ως προς το Β είναι:

$$ \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{m\ell V - m\ell υ}{\Delta t} = \frac{1\cdot1{,}6\cdot4 - 1\cdot1{,}6\cdot8}{0{,}01} = \frac{6{,}4 - 12{,}8}{0{,}01} = -640\,kg\cdot m^2/s^2 $$

\(\dfrac{\Delta L}{\Delta t} = -640\,kg\cdot m^2/s^2\), με φορά προς τα μέσα \((\otimes)\)

Ερώτηση Δ4

Δ4 7 μονάδες

Εκφώνηση

Δ4. Κάποια στιγμή που το συσσωμάτωμα έχει στροφορμή μέτρου \(L=6{,}4\sqrt2\,kg\cdot m^2/s\) ως προς τον κάθετο άξονα από το Β, να βρείτε τη ροπή της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το νήμα 2 ως προς το Α.

Εμφάνιση αναλυτικής λύσηςΑπόκρυψη λύσης

Από τη στροφορμή του συσσωματώματος (\(m_{\Sigma} = 2\,kg\)):

$$ L = m_{\Sigma}υ\ell \Rightarrow 6{,}4\sqrt2 = 2\cdot υ\cdot1{,}6 \Rightarrow υ = 2\sqrt2\,m/s $$

Από την Α.Δ.Μ.Ε. για το συσσωμάτωμα:

$$ \frac12 m_{\Sigma}V^2 = \frac12 m_{\Sigma}υ^2 + m_{\Sigma}gh \Rightarrow h = \frac{16-8}{20} = 0{,}4\,m \Rightarrow \cos\theta = 1-\frac{h}{\ell} = \frac34 $$

Από την κεντρομόλο δύναμη:

$$ T_2 - m_{\Sigma}g\cos\theta = m_{\Sigma}\frac{υ^2}{\ell} \Rightarrow T_2 = 20\cdot\frac34 + 2\cdot\frac{8}{1{,}6} = 15 + 10 = 25\,N $$

Η ροπή της δύναμης \(T'_2 = T_2 = 25\,N\) ως προς το Α είναι:

$$ \tau_A = T'_{2y}\cdot L = T'_2\cos\theta\cdot L = 25\cdot\frac34\cdot 8 = 150\,N\cdot m $$

\(\tau_F = 150\,N\cdot m\), με φορά προς τα μέσα \((\otimes)\)

Τελικός πίνακας απαντήσεων

Σύνοψη

Ερώτηση	Απάντηση	Σύντομη αιτιολόγηση
Α1	δ	Όλα τα σημεία της περιφέρειας έχουν \(\upsilon_{στρ}=\omega R=\upsilon_{cm}\)
Α2	β	Σε ομογενές & συμμετρικό σώμα: κέντρο μάζας = κέντρο συμμετρίας
Α3	α	Διατήρηση στροφορμής (χωρίς εξωτερικές ροπές)
Α4	γ	Ζεύγος → καθαρά περιστροφική κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας (σημείο Γ)
Α5	Λ, Σ, Λ, Σ, Σ	Κύλιση, γωνιακή επιτάχυνση, στροφορμή, ροπή βάρους, μονάδες
Β1	γ) \(\omega_1=\omega_2\)
Β2	γ) \(M/m=2\)	\(d=0{,}8R\), \(T_2=mg/2\), \(M=2m\)
Γ1	β	Το σχοινί στο μέσον έχει φορέα που περνά από το O, άρα δεν δημιουργεί ροπή ως προς O.
Γ2	\(k=\dfrac{mg}{d}\)	Οι ροπές \(mgx\) και \(kxd\) πρέπει να είναι κάθε στιγμή αντίθετες.
Δ1	\(F=70\,N\)	\(\tan\theta=\sqrt3/12\) ως προς οριζόντια
Δ2	\(T_1(x)=80+\dfrac{10}{3}x\)	\(0\le x\le 4\,m\), ροπές ως προς Α
Δ3	\(-640\,kg\cdot m^2/s^2\)	Πλαστική κρούση, \(\Delta L/\Delta t\) με φορά \( \otimes \)
Δ4	\(\tau_F=150\,N\cdot m\)	\(T'_2=25N\), \(\cos\theta=3/4\), φορά \( \otimes \)

Τελικό σκορ

0 / 100 μονάδες

Λήψη αρχείων

Κατεβάστε τα θέματα και τις αναλυτικές λύσεις σε μορφή Word ή PDF.

Έγγραφο Word (.docx) Αρχείο PDF

Υπολογιστής Στερεού Σώματος

Μάζα M (kg):

Μήκος L (m):

Γωνία φ (°):

Βάρος ράβδου W_ρ: -

Ροπή βάρους ως προς Α: -

sin(φ), cos(φ): -

Εγχειρίδιο Χρήσης Διαγωνίσματος

1 Αυτοαξιολόγηση & Βαθμολογία

Το σύστημα βαθμολόγησης προσαρμόζεται ανάλογα με τον τύπο της ερώτησης:

• Αυτόματη Βαθμολόγηση: Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (π.χ. Α1, Α2, Α3, Α4, Β1, Β2, Γ1) και στις ομάδες Σωστό/Λάθος (π.χ. Α5), μόλις κλικάρεις τη σωστή απάντηση, ο βαθμός προστίθεται αυτόματα (στην Α5 κερδίζεις 1 πόντο για κάθε σωστή πρόταση).
• Χειροκίνητη Βαθμολόγηση: Στις ερωτήσεις ανάπτυξης (π.χ. Δ1, Δ2, Γ2), αφού ελέγξεις τις λύσεις, πρέπει να πατήσεις το κουμπί «Το έλυσα σωστά» για να καταχωρήσεις τους πόντους σου (θα σου ζητηθεί επιβεβαίωση).

Η συνολική σου βαθμολογία ενημερώνεται ζωντανά στην σταθερή μπάρα (sticky widget) στην κορυφή της σελίδας.

2 Διαδραστικές Προσομοιώσεις

Κάτω από τις ασκήσεις θα βρεις κουμπιά με το εικονίδιο «Εμφάνιση προσομοίωσης».

• 📱 Χρήση σε Κινητό: Συνιστάται ανεπιφύλακτα να κρατάς το κινητό σου σε οριζόντια θέση (landscape). Έτσι, τα γραφήματα, τα βελάκια και τα sliders θα έχουν μεγαλύτερη ευκρίνεια και θα μπορείς να τα χειριστείς με μεγαλύτερη άνεση.
• Διαδραστικότητα: Μπορείς να σύρεις τα sliders (π.χ. για να αλλάξεις τη γωνία σκάλας ή τη θέση δακτυλίου) και να πατάς τα κουμπιά (π.χ. «Άφησε τη σκάλα», «Ξεκίνα») για να δεις τα φυσικά φαινόμενα σε πραγματικό χρόνο.
• Ετικέτες & Δυνάμεις: Δώσε προσοχή στα διανύσματα (βέλη) και στις ετικέτες που εμφανίζονται, καθώς αντιπροσωπεύουν τις δυνάμεις και τις ροπές που μελετάς.

3 Ρυθμίσεις & Λήψη Αρχείων

• Σκοτεινή Λειτουργία: Πατώντας το εικονίδιο του φεγγαριού πάνω δεξιά, μπορείς να αλλάξεις το θέμα της σελίδας σε σκούρο, για πιο ξεκούραστη ανάγνωση.
• Μηδενισμός: Αν θέλεις να ξεκινήσεις από την αρχή, πάτησε το κουμπί «Μηδενισμός» στην μπάρα βαθμολογίας για να μηδενίσεις το σκορ σου.
• Λήψη Αρχείων: Στο τέλος της σελίδας, αφού ολοκληρώσεις το διαγώνισμα, μπορείς να κατεβάσεις τα θέματα και τις αναλυτικές λύσεις δωρεάν σε μορφή Word (.docx) ή PDF, για offline μελέτη.