Το 3ο γενικό διαγώνισμα στα κύματα (βελτιωμένο)

 

ΘΕΜΑ Δ

Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή  πολύ μεγάλου μήκους,  προσανατολισμένη  στη διεύθυνση του άξονα xx΄, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος λ = 10 m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση x = 0 και ξεκινάει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση:

           ψ =2ημ(0,5πt)        (οι μονάδες των μεγεθών στο S.I).

                                                                                            

 Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση x=100 m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος, η οποία μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας f_s = 3393 Ηz.

Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με -2,5 m/s² (από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).

Ένας δέκτης A βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά αυτή ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσης του: 

         α) .............

• Μια ακόμη όμορφη άσκηση με στάσιμο κύμα (βελτιωμένη)

 Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα xx΄, διαδίδονται αντίθετα, με ταχύτητα μέτρου υ = 10 m/s, χωρίς απώλεις ενέργειας, δύο αρμονικά κύματα με ίδια συχνότητα και ίδιο πλάτος.  Στο παρακάτω σχήμα 1 έχουμε σχεδιάσει το στιγμιότυπο τη στιγμή t₁ , που τα κύματα έχουν φτάσει στα σημεία Ο και Δ του ελαστικού μέσου. 

Τη στιγμή αυτή τα σημεία Ο και Δ ξεκινούν να εκτελούν α.α.τ. με ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα και με μηδενική αρχική φάση. Τα δύο κύματα, τελικά, συμβάλλουν σε όλο το μήκος του ελαστικού μέσου και δημιουργείται στάσιμο κύμα. 

Στο σχήμα 2 παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση ενός σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο. Το Ο το θεωρούμε αρχή των τετμημένων του άξονα xx΄ και, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, το σημείο Σ βρίσκεται ανάμεσα στα Ο, Δ και πιο κοντά στο Ο. Να βρεθούν:

Γ.1. Τα μήκη κύματος των κυμάτων από τα οποία δημιουργείται το στάσιμο κύμα.

Γ.2. Η απόσταση ΣΟ του Σ από το Ο και το μήκος L του τμήματος ΟΔ της χορδής.

Γ.3. Σε πόσο χρόνο, μετά τη στιγμή t₁, τα σημεία Ο και Δ θα αρχίσουν να εκτελούν μια νέα ταλάντωση με διαφορετικό πλάτος και πόσο τοις % θα είναι η μεταβολή αυτού.

Γ.4. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που έχει αναπτυχθεί πάνω στο τμήμα ΟΔ της χορδής, αν ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0) θεωρηθεί η χρονική στιγμή που τα σημεία Ο και Δ αρχίζουν να ταλαντώνονται με διαφορετικό πλάτος.  

Απάντηση:

Το 1ο γενικό διαγώνισμα στα κύματα πλήρως αναθεωρημένο και βελτιωμένο

ΘΕΜΑ Α

 (Σημειώστε το σωστό συμπλήρωμα καθεμιάς  από τις παρακάτω ημιτελείς προτάσεις )

 A.1. Μια πηγή απλού ήχου συχνότητας 600 Hz είναι τοποθετημένη σε κάποιο βάθος μέσα σε μια λίμνη νερού. Η ταχύτητα του ήχου στο νερό είναι 1500 m/s ενώ  στον αέρα είναι 300 m/s. Η συχνότητα του ήχου που καταγράφεται από μια  συσκευή που βρίσκεται έξω από τη λίμνη είναι:

      α. 3000 Ηz,                 β. 200 Ηz,                 γ. 600 Ηz,                   δ. 120 Ηz

Α.2.  Μηχανικό αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους περιγράφεται από την εξίσωση:

                                             ψ = 0,1ημ4π(50t – x),  (S.I)

Τη χρονική στιγμή t₁ = 0,2sec το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση:

     α. 10m,                    β. 1m,                     γ. 0,5m,                    δ. 100m

Α.3.  Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Α και Β της επιφάνειας μιας   λίμνης και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα μήκους κύματος 2 m. Μια πάπια, που βρίσκεται στο μέσον Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, ενοχλείται  από το αποτέλεσμα της συμβολής των κυμάτων και επιζητεί να πάει σε θέση όπου δε θα ταλαντώνεται. Η ελάχιστη απόσταση που πρέπει να διανύσει ώστε να βρεθεί σε μια τέτοια θέση είναι

  α. 0,25 m,               β. 0,50 m,                γ. 0,75 m,              δ. 1 m          

Α.4. Κατά μήκος μιας χορδής έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, που περιγράφεται από την εξίσωση ψ = Dσυν(2πx/λ)·ημ2πt  (S.I). H απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του είναι α m. Αν η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου Μ της χορδής, για το οποίο είναι x_Μ = ⅔α m, είναι ψ_Μ = 0,02ημ(2πt + π)  (S.I). Τότε:

α)  Το πλάτος των κοιλιών του είναι 0,02 m.

β)  Το πλάτος των κοιλιών του είναι 0,04 m.

γ)   Το σημείο Μ αποτελεί την πρώτη μετά την αρχή αξόνων κοιλία του στάσιμου κύματος.

δ)  Η μέγιστη ταχύτητα του Μ είναι 0,04 m/s

A.5. (Στις προτάσεις που ακολουθούν να σημειώσετε Σ στις σωστές και Λ στις λανθασμένες)

Συνέχεια:  Όλο το Διαγώνισμα - οι Απαντήσεις

Το "2ο Γενικό Διαγώνισμα στα κύματα" αναθεωρημένο και βελτιωμένο

Α.1. Ένα αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση:

                                             0,1ημ2π(2t -  x⁄20 ⁾    (S.I).

 H μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου μεταξύ δύο χρονικών στιγμών που διαφέρουν κατά Δt = 1/6 sec, είναι ίση με:

                     α) 0,5π,          β) 2π/3,      γ) 1,5π,         δ)  2π 

Α.2.  Οι πηγές Π₁ και Π₂ είναι δύο σύγχρονες πηγές που δημιουργούν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού. Το σημείο Β βρίσκεται πάνω στην πρώτη, μετά τη μεσοκάθετο, ενισχυτική υπερβολή. Αυτό σημαίνει ότι όταν σ’ αυτό φτάνει ένα ¨όρος¨ που προέρχεται από την πηγή Π₂, ταυτόχρονα φτάνει και ένα ¨όρος¨ που προέρχεται από την πιο μακρινή πηγή Π₁, το οποίο:

α) ξεκίνησε ταυτόχρονα με το όρος της πηγής Π₂, 

β) ξεκίνησε μια περίοδο νωρίτερα,

γ) ξεκίνησε μια περίοδο αργότερα,

δ) ξεκίνησε μισή περίοδο νωρίτερα.

Α.3.  Οι νυχτερίδες μπορούν να εντοπίσουν μικρά αντικείμενα, π.χ. έντομα, με διαστάσεις τουλάχιστον ίσες με το μήκος κύματος των υπερήχων που εκπέμπουν. Αν μια νυχτερίδα εκπέμπει ένα τερέτισμα (κελαηδισμό) με συχνότητα 66 kHz και η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 330 m/sec, το μικρότερο μέγεθος εντόμου που μπορεί να εντοπίσει  είναι:

 α. 2 mm,      β. 0,5 mm,       γ. 0,2 mm,        δ. 5 mm

Α.4.  Σήμερα γνωρίζουμε ότι ο πυρήνας της γης αποτελείται από ένα εξωτερικό και ένα εσωτερικό τμήμα. Το εξωτερικό τμήμα του πυρήνα είναι σε ρευστή (υγρή) κατάσταση, ενώ το εσωτερικό είναι στερεό. Όταν γίνεται ένας σεισμός απελευθερώνεται ενέργεια, που είναι συσσωρευμένη στις λιθοσφαιρικές πλάκες του φλοιού της γής, και δημιουργούνται εγκάρσια και διαμήκη κύματα.  Οι σεισμογράφοι, που βρίσκονται σε αντιδιαμετρική θέση  ως προς την εστία ενός σεισμού καταγράφουν:

α) μόνο τα διαμήκη κύματα

β) μόνο τα εγκάρσια κύματα

γ) και τα διαμήκη και τα εγκάρσια

δ) ούτε τα διαμήκη, ούτε τα εγκάρσια.

Α.5. Χαρακτηρίστε καθεμιά από τις  παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος:

α. Οποιαδήποτε κυματική διαταραχή, όσο περίπλοκη και να είναι, μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων.

β. Θα μπορούσαμε να ορίσουμε το μήκος κύματος ως την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας τους και οι ταχύτητές τους είναι ίσες.

γ. Κύματα που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο μέσον αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

δ. Η ενέργεια των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων δημιουργείται στάσιμο κύμα εγκλωβίζεται ανάμεσα σε ζεύγη διαδοχικών δεσμών.

ε. Κατά τη διάδοση ενός κύματος τα μόρια του ελαστικού μέσου κινούνται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους.

Συνέχεια:  Όλο το διαγώνισμα - Οι απαντήσεις

Περιοχές συμβολής επιφανειακών κυμάτων, η περίεργη ταλάντωση ενός φελλού και σημεία της επιφάνειας που την μιμούνται.

[Μια άσκηση που λύνεται  εύκολα αν στηριχτούμε στη λογική της σύνθεσης ταλαντώσεων και όχι στις γνωστές εξισώσεις συμβολής κυμάτων σε επιφάνεια υγρού.]

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁, Π₂ που αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t = 0 με εξισώσεις :

                          ψ₁ = ψ₂ = Aημ8πt,    (τα μεγέθη ψ και t στο S.I),

και παράγουν κύματα, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα υ=4 m/sec προς όλες τις διευθύνσεις της επιφάνειας του υγρού.

Υποθέτουμε ότι τα κύματα διαδίδονται χωρίς απώλεια ενέργειας. Καθώς, όμως, απλώνονται στην επιφάνεια, η ενέργεια που παρέχει η πηγή ανά περίοδο, μεταφέρεται από το κύμα και διαμοιράζεται συνεχώς σε σημεία όλο και μεγαλύτερων ομόκεντρων κύκλων και συνεπώς σε όλο και περισσότερα υλικά σημεία. Για αυτό, το πλάτος καθενός από τα κύματα μειώνεται με την απόσταση από τις πηγές.

Έστω ότι σε απόσταση 2,75 m  από κάθε πηγή το πλάτος ταλάντωσης, που κάθε σημείο υποχρεώνεται να κάνει, είναι ίσο με A₁ = 4 cm, ενώ σε απόσταση 3,25 m είναι ίσο με A₂ = 3,8 cm.

α. Να δικαιολογήσετε γιατί ένας φελλός, που βρίσκεται σε ένα σημείο Β στην επιφάνεια του υγρού σε απόσταση 3,25 m από τη μια πηγή και 2,75 m από την άλλη, θα ξεκινήσει τη στιγμή t₁ λίγο μετά την έναρξη ταλάντωσης των πηγών, θα κάνει μισή ταλάντωση με μηδενική αρχική φάση και πλάτος 4 cm κι ύστερα, από μια στιγμή t₂ και έπειτα, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση με αρχική φάση π και πλάτος 0,2 cm.

β. Να δείξετε, γραμμοσκιάζοντάς την, την περιοχή της επιφάνειας του υγρού όπου τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ έχουν συμβάλλει τα κύματα των δύο πηγών.

γ. Υπάρχουν και άλλα σημεία, που η κίνησή τους είναι πανομοιότυπη με αυτήν του Β. Πού βρίσκονται αυτά τη χρονική στιγμή t₂;

δ. Ποια σημεία της επιφάνειας του υγρού έχουν εκτελέσει περισσότερες ταλαντώσεις με πλάτος 0,2 m τη στιγμή t₂; 

 Απάντηση:

Αρμονικό κύμα: παρακολουθώντας την κίνηση μιας κορυφής

Kατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x΄x, έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α. Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x΄x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση του. Έτσι, τη στιγμή t = 0, στην αρχή αξόνων βρίσκεται η κορυφή που δείχνεται με το κατακόρυφο βέλος.

α) Αν η ταχύτητα με την οποία μετακινείται η κορυφή αυτή είναι υ = 1 m/sec και αν η μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Ο είναι 0,8π² m/sec², να βρείτε την εξίσωση του κύματος.

β) Σε ποια θέση βρίσκεται η παραπάνω κορυφή τη στιγμή που το σημείο Ο διέρχεται για έκτη φορά από τη θέση ισορροπίας του;

 (Τα παραπάνω στιγμιότυπα, για λόγους απλότητος, έχουν σχεδιαστεί σε ένα ορισμένο τμήμα του ελαστικού μέσου). 

Απάντηση:

Το 3ο γενικό διαγώνισμα στα κύματα

ΘΕΜΑ Δ

Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή  πολύ μεγάλου μήκους,  προσανατολισμένη  στη διεύθυνση του άξονα xx΄, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος λ = 10 m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση x = 0 και ξεκινάει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση:

           ψ =2ημ(0,5πt)        (οι μονάδες των μεγεθών στο S.I).

                                                                                            

 Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση x=100 m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος, η οποία μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας f_s = 3393 Ηz.

Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με -2,5 m/s² (από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).

Ένας δέκτης A βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά αυτή ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσης του: 

         α) .............

ΜΙΑ ΟΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ

Μια ακόμη άσκηση στα στάσιμα κύματα, πράγματι όμορφη , γιατί λύνει πολλές απορίες μαθητών οι οποίοι «παίρνουν κατά γράμμα» τα όσα αναφέρονται στις τρείς πρώτες σειρές, στον ορισμό, και στο πρώτο σχήμα στην παράγραφο για το στάσιμο κύμα του σχολικού βιβλίου.

 Σε οριζόντιο γραμμικό, ομογενές και ελαστικό μέσον, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x΄Οx, διαδίδεται εγκάρσιο ορμονικό κύμα προς τη θετική φορά.
Κάθε υλικό σημείο στο οποίο φτάνει το κύμα ξεκινάει από τη θέση ισορροπίας του να εκτελεί αρμονική ταλάντωση προς τη θετική φορά του άξονα ψ΄ψ. Η ταχύτητα των υλικών σημείων που τίθενται σε ταλάντωση μηδενίζεται περιοδικά κάθε 0,5 sec , τις στιγμές που το μέτρο της επιτάχυνσης είναι 0,4π² m/s². Ο λόγος της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των υλικών σημείων προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι π/2.

Α. Να υπολογίσετε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης των υλικών σημείων, την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μήκος κύματος.

Β. Ένα δεύτερο πανομοιότυπο κύμα διαδίδεται στο ίδιο μέσον, αλλά προς την αρνητική φορά του άξονα xΟx΄ και συμβάλλει με το πρώτο κύμα την χρονική στιγμή t=0 στην αρχή Ο(x = 0)) του άξονα x Οx΄.

Β1. Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

Β2. Σε πόση έκταση του ελαστικού μέσου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα τη χρονική στιγμή t₁ = 1 s; Ποια είναι η μορφή του ελαστικού μέσου στην παραπάνω περιοχή;

Β3. Πόσα σημεία έχουν ταχύτητα μηδέν στην περιοχή που έχει αναπτυχθεί το στάσιμο κύμα τη στιγμή t₁;

Β4. Ποια είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος; Τη στιγμή t₂ = 10 sec για ποιες τιμές του x έχει νόημα η εξίσωση αυτή;

B5. Τι απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του έχει τη χρονική στιγμή t₃= 1,75 s ένα σημείο Σ του μέσου με x_Σ = 0,8 m;

Γ.  Θεωρείστε ένα σημείο Ρ του ελαστικού μέσου στη θέση x_P = -0,8 m και υποθέστε ότι τα δύο κύματα έχουν συμβάλλει στο σημείο αυτό. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου Ρ, κάποια στιγμή που η απομάκρυνση του υλικού σημείου στη θέση x = 0 είναι +0,1 m;

 ·         Η Άσκηση σε PDF

·         Οι Απαντήσεις

 

KYMATA: ΔΕΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΟ ΘΕΜΑ Γ

Οι Πανελλήνιες είναι πλέον κοντά! Τέλειωσαν και οι διακοπές του Πάσχα. 
Γι αυτό, το “… επιλογή θεμάτων”, εκτός των άλλων, θα προσφέρει καθημερινά στους ενδιαφερόμενους, μαθητές και συναδέλφους, από ένα θέμα για εξάσκηση στο ΘΕΜΑ Γ. 

1. Αρμονικό κύμα σε χορδή. Απομάκρυνση, ταχύτητα και επιτάχυνση ενός υλικού σημείου

Στην αρχή Ο μιας τεντωμένης χορδής πολύ μεγάλου μήκους υπάρχει πηγή κύματος, η οποία αρχίζει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με αποτέλεσμα να δημιουργεί κύμα με εξίσωση

                                                        ψ = 0,3ημ(2πt – πx)

Να εξάγετε τις συναρτήσεις με το χρόνο της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου Σ της χορδής που βρίσκεται στη θέση x_Σ = 2 m και να παραστήσετε καθεμιά σε κατάλληλο βαθμολογημένο ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

 2. Φάση, μεταβολή φάσης, διαφορά φάσης, μέγιστη και ελάχιστη απόσταση δυο υλικών σημείων σε ένα κύμα

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, συχνότητας f = 2 Hz και πλάτους A=0,4 m, διαδίδεται με ταχύτητα υ=2,4 m/s προς τη θετική κατεύθυνση ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον άξονα xΌx. Τη στιγμή t = 0 το κύμα φτάνει στην αρχή Ο του άξονα, η οποία ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της και αρχίζει να κάνει ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν.

Α. Να βρείτε τη σχέση της φάσης της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους και να αποδώσετε γραφικά τη φάση των σημείων που βρίσκονται μεταξύ των θέσεων Α (x₁ = -3 m) και Β (x₂ = +3 m), για τη στιγμή t = 0,75 sec.

Β. Να προσδιορίσετε την εξίσωση που παρέχει τη φάση του σημείου Β του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά για το χρονικό διάστημα 0 ως 2 sec.

Γ. Να βρείτε την εξίσωση που παρέχει τη διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Κ και Λ του ελαστικού μέσου στα οποία έχει φτάσει το κύμα.

Δ. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων K και Λ του ελαστικού μέσου διάδοσης που παρουσιάζουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π;

3. Τρέχον κύμα σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Σημείο στη θέση x = +A για πρώτη φορά. Προσδιορισμός σημείων με ορισμένη απομάκρυνση. Στιγμιότυπο.

 Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα παράγεται από μια πηγή που βρίσκεται στην αρχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση: 

                                                       ψ = 0,01ημπt   (S.I)

 Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας της πηγής ως αρχή Ο των αξόνων, και ότι το κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας κατά την κατεύθυνση Οx με ταχύτητα ίση με 100/π φορές τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου διάδοσης.

Ένα σημείο Σ του μέσου βρίσκεται στη θέση x_Σ = 5 m.  

Α. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t₁ που το Σ θα βρεθεί για πρώτη φορά στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, καθώς και την ταχύτητά του τη στιγμή t₂ = 12 s.

B. Ποια σημεία του μέσου βρίσκονται τη στιγμή t₁ σε απομάκρυνση ψ₁ =5√ 2 .10^-3m

m και έχουν θετική ταχύτητα;

Γ. Να σχεδιάσετε τη στιγμή t₁ το στιγμιότυπο του κύματος και να σημειώσετε πάνω σ’ αυτό τα σημεία του προηγούμενου ερωτήματος. Ποιο από αυτά βρίσκεται για πρώτη φορά στη θέση ψ₁ και έχει θετική ταχύτητα; 

 4. Γραμμικό εγκάρσιο κύμα, τρία υλικά σημεία, ταλάντωση, μέγιστη κι ελάχιστη 
απόστασή τους.

Σε ένα οριζόντιο γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄x,  διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ= 1m/s.

Θεωρείστε τρία υλικά σημεία Κ,Λ,Μ του μέσου και υποθέστε ότι το Λ ξεκινάει την ταλάντωσή του τη στιγμή t=0 με εξίσωση ψ_Λ = 0,06ημ20πt (S.I) και λίγο αργότερα το Μ με εξίσωση ταλάντωσης  ψ_Μ = 0,06ημ20π(t-0,05)  (S.I). 

Αν x_M - x_K  = 4λ:

Α.  Να δείξετε ότι το κύμα πέρασε πρώτα από το Κ, να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης του Κ, καθώς και τη διαφορά Ν_Κ – Ν_Μ, όπου Ν_K και Ν_Μ το πλήθος των ταλαντώσεων των υλικών σημείων Κ και Μ από την έναρξη της ταλάντωσής τους μέχρι μια χρονική στιγμή t₁≥x_M/υ.

Β. Να δείξετε ότι το Λ έχει κάθε στιγμή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα με τα Κ και Μ.

Γ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος  από το Κ μέχρι το Μ κάποια στιγμή που το Λ βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνσή του.

Δ. Να βρείτε τo ελάχιστο και μέγιστο άθροισμα των αποστάσεων του Λ από τα Κ και Μ.