Τι περιλαμβάνει το διαγώνισμα στις ταλαντώσεις;

Το διαγώνισμα περιλαμβάνει 4 θέματα (Α, Β, Γ, Δ) με συνολικές ερωτήσεις στις απλές αρμονικές ταλαντώσεις, τις φθίνουσες ταλαντώσεις, τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και τον συντονισμό. Περιέχει θεωρητικές ερωτήσεις, ασκήσεις και προβλήματα με αναλυτικές λύσεις.

Ποιος είναι ο συγγραφέας του διαγωνίσματος;

Το διαγώνισμα δημιουργήθηκε από τον φυσικό Αναστάσιο Νέζη, με επιμέλεια ανάρτησης από τον Τάσο Τζανόπουλο.

Για ποια τάξη είναι κατάλληλο το διαγώνισμα;

Το διαγώνισμα είναι κατάλληλο για μαθητές Λυκείου που προετοιμάζονται για τις πανελλαδικές εξετάσεις, καθώς καλύπτει όλη την ύλη των ταλαντώσεων.

Πώς μπορώ να κατεβάσω το διαγώνισμα;

Μπορείτε να κατεβάσετε το διαγώνισμα σε μορφή PDF ή Word πατώντας τα αντίστοιχα κουμπιά στο τέλος της σελίδας.

Ποιες έννοιες καλύπτονται στο διαγώνισμα;

Το διαγώνισμα καλύπτει την απλή αρμονική ταλάντωση (ΑΑΤ), την φθίνουσα ταλάντωση, την εξαναγκασμένη ταλάντωση, τον συντονισμό, τα ελατήρια, το κεκλιμένο επίπεδο, τις τροχαλίες, την ενέργεια στην ταλάντωση και τις κρούσεις.

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων

Q: Πόσο δύσκολο είναι το διαγώνισμα;

Το διαγώνισμα έχει σχεδιαστεί ώστε να είναι ισορροπημένο, προσιτό και δίκαιο για κάθε μαθητή που έχει κατανοήσει σε βάθος το σχολικό βιβλίο. Περιλαμβάνει ερωτήσεις που ανταμείβουν την ουσιαστική κατανόηση.

Στο χώρο αυτό, οι μαθητές της Γ Λυκείου αλλά και οι συνάδελφοι εκπαιδευτικοί θα βρουν μια σειρά από ερωτήσεις, πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα στο πνεύμα των πανελλαδικών εξετάσεων. Το υλικό δημιουργήθηκε μέσα από χρόνια δουλειάς με μαθητές και συναδέλφους. μπορεί όμως ακόμη να έχει κάποιες ατέλειες. Κάθε καλοπροαίρετη παρατήρηση ή διόρθωση δεν είναι τυπικό σχόλιο· είναι μια μικρή, ουσιαστική συμβολή σε μια δουλειά που εξακολουθεί να εξελίσσεται μαζί σας.

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα 1.6 Διαγωνίσματα. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Δευτέρα 3 Αυγούστου 2026

Complete Test on Oscillations

Γενικό Διαγώνισμα στις Ταλαντώσεις (ΝΕΟ)

"Ισορροπημένο, προσιτό, δίκαιο – για κάθε μαθητή που έχει κατανοήσει σε βάθος το σχολικό βιβλίο. | Του συναδέλφου Αναστάσιου Νέζη"

ΘΕΜΑ Α

Α1.

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, χωρίς αρχική φάση, με περίοδο Τ και πλάτος Α, το διανυόμενο διάστημα σε χρόνο Δt = 7T/4 είναι:

α) 3,5Α
β) 7Α
γ) 14Α
δ) 17,5Α

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Η ταλάντωση δίνεται χωρίς αρχική φάση, άρα: x(t) = A·sin(ωt) Στην t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση x = 0 και κινείται προς τη θετική κατεύθυνση (υ > 0). Κάθε χρονικό διάστημα T/4 το σώμα: • περνά από ακραία θέση, • περνά από θέση ισορροπίας, • ξαναφτάνει σε ακραία θέση. Σε κάθε T/4 διανύει απόσταση Α. Άρα σε χρόνο 7T/4 θα διανύσει: 7 × A = 7A Σωστή απάντηση: β) 7Α

Α2.

Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι αντίρροπες, τότε η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης:

α) αυξάνεται
β) μειώνεται
γ) παραμένει σταθερή
δ) αυξάνεται αν και μειώνεται αν

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Στην ΑΑΤ η επιτάχυνση έχει πάντα κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας: a = -ω²x Η ταχύτητα έχει κατεύθυνση προς τη φορά της κίνησης. Για να είναι αντίρροπες: • το σώμα πρέπει να κινείται προς ακραία θέση, • δηλαδή η απόλυτη τιμή της θέσης |x| αυξάνεται. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι: U = ½ D x² Αν |x| αυξάνεται, τότε U αυξάνεται. Σωστή απάντηση: α) αυξάνεται

Α3.

Σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος τότε η συχνότητα της ταλάντωσής του:

α) υποδιπλασιάζεται
β) υποτετραπλασιάζεται
γ) διπλασιάζεται
δ) τετραπλασιάζεται

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Η συχνότητα της ΑΑΤ με ελατήριο είναι: f = (1 / 2π) √(k/m) Αν η μάζα τετραπλασιαστεί: m' = 4m Τότε: f' = (1 / 2π) √(k / 4m) = (1 / 2) (1 / 2π) √(k/m) = f / 2 Άρα η συχνότητα υποδιπλασιάζεται. Σωστή απάντηση: α) υποδιπλασιάζεται.

Α4.

Σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητάς του. Το αρχικό πλάτος είναι Α₀, μετά την 1η περίοδο Α₁, μετά τη 2η Α₂ και μετά την 3η Α₃. Η σχέση που συνδέει τα πλάτη είναι:

α) Α1 = √(Α2·Α3)
β) Α3 = √(Α1/Α2)
γ) Α2 = √(Α1·Α3)
δ) Α3 = √(Α2·Α1)

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Σε φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης F = -bυ, το πλάτος μειώνεται εκθετικά: A(t) = A₀ e^{-bt/2m} Για διαδοχικές περιόδους: A₁ = A₀ e^{-bT/2m} A₂ = A₀ e^{-2bT/2m} A₃ = A₀ e^{-3bT/2m} Άρα: A₂ / A₁ = A₃ / A₂ ⇒ A₂² = A₁·A₃ Σωστή απάντηση: γ) Α2 = √(Α1·Α3)

Α5.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστό ή Λάθος.

α) Σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση η δυναμική ενέργεια γίνεται 5-πλάσια της κινητικής, 5 φορές σε κάθε περίοδο
β) Σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων βρίσκεται σε συντονισμό. Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί, ενώ αν μειώσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί.
γ) Αυξάνοντας την σταθερά απόσβεσης σε ένα σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων, η συχνότητα στην οποία παρατηρείται ο συντονισμός μειώνεται και το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό, επίσης μειώνεται.
δ) Δύο σώματα ίσων μαζών κρέμονται μαζί από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος των δύο σωμάτων είναι D = k.
ε) Σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης της μορφής F΄= -bυ, όπου υ η ταχύτητα του σώματος και b μια θετική σταθερά. Αν κάποια χρονική στιγμή μια θετική θέση είναι θέση ισορροπίας, τότε σε αυτή τη θέση το σώμα πρέπει να έχει αρνητική ταχύτητα.

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

α) Λάθος
Η σχέση U = 5K συμβαίνει σε δύο θέσεις ανά περίοδο → συνολικά 4 φορές, όχι 5. β) Λάθος
Σε συντονισμό f_διεγ = f₀. Αν αυξήσουμε ή μειώσουμε τη συχνότητα, απομακρυνόμαστε από τον συντονισμό → το πλάτος μειώνεται και στις δύο περιπτώσεις. γ) Σωστό
Με μεγαλύτερη απόσβεση, η συχνότητα συντονισμού μειώνεται και το μέγιστο πλάτος επίσης μειώνεται. δ) Σωστό
Το σύστημα μάζες - ελατήριο έχει συνολική σταθερά επαναφοράς D = k. ε) Σωστό
Αν μια θετική θέση είναι θέση ισορροπίας, τότε η ταχύτητα πρέπει να είναι αρνητική ώστε το σώμα να επιστρέψει προς τη Θ.Ι. (ΣF = 0 → F_επαν + F_απόσβ = 0 → -Dx - bυ = 0 → υ = -(D/b)x)

ΘΕΜΑ Β

Β1.

Σώμα Σ, μάζας m, είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Στο πάνω μέρος του σώματος Σ δένουμε αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο –μέσω ιδανικής τροχαλίας– καταλήγει σε σώμα Σ₁, μάζας m₁ = m/2 (βλέπε Σχήμα 1). Κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ ξεκινά κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α₁.

Σε δεύτερο πείραμα, το άκρο του νήματος καταλήγει –μέσω ιδανικής τροχαλίας– σε σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 2m. Κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ ξεκινά κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α₂. Ο λόγος των πλατών Α₁/Α₂ είναι:

i. 1/2
ii. 1/4
iii. 1/8

Μονάδες 2 + 6

Εκφώνηση Β1: διάταξη ελατηρίου – τροχαλίας – σωμάτων

Σχήμα 1: Διάταξη ελατηρίου – τροχαλίας – σωμάτων.

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Σχήμα 1: Αναλυτική απεικόνιση των δύο περιπτώσεων ισορροπίας.

Η διάταξη ισορροπεί πριν κοπεί το νήμα. Η θέση ισορροπίας του Σ είναι διαφορετική στις δύο περιπτώσεις, άρα όταν κόβεται το νήμα, το Σ ξεκινά την ΑΑΤ από διαφορετική ακραία θέση. Βήμα 1: Ισορροπία με Σ₁ (m₁ = m/2)
Το Σ₁ είναι ελαφρύτερο από το Σ. Άρα το Σ βρίσκεται κάτω από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου (το ελατήριο είναι συσπειρωμένο).
Η στατική θέση ισορροπίας είναι: k·x₁ = m·g − T₁ Από το αβαρές νήμα και την τροχαλία: T₁ = m₁·g = (m/2)·g Άρα: k·x₁ = m·g − (m/2)·g = (m/2)·g ⇒ x₁ = (m·g)/(2k) Βήμα 2: Ισορροπία με Σ₂ (m₂ = 2m)
Το Σ₂ είναι βαρύτερο από το Σ. Άρα το Σ βρίσκεται πάνω από το φυσικό μήκος του ελατηρίου (το ελατήριο είναι εκτατωμένο). T₂ = m₂·g = 2m·g Ισορροπία: k·x₂ = T₂ − m·g = 2m·g − m·g = m·g ⇒ x₂ = (m·g)/k Βήμα 3: Τα πλάτη της ΑΑΤ
Όταν κόβεται το νήμα, το Σ ξεκινά από τη στατική θέση ισορροπίας με υ = 0.
Άρα αυτή η θέση είναι ακραία θέση της ΑΑΤ. Πλάτος: A₁ = |Δℓ − x₁| A₂ = |Δℓ + x₂| Η κοινή θέση ισορροπίας του συστήματος ελατηρίου–Σ είναι: Δℓ = (m·g)/k Άρα: A₁ = |Δℓ − x₁| = |(m·g)/k - (m·g)/(2k)| = (m·g)/(2k) A₂ = |Δℓ + x₂| = |(m·g)/k + (m·g)/k| = 2(m·g)/k ⇒ A₁/A₂ = 1/4 Σωστή απάντηση: ii (1/4).

Β2.

Σώμα μάζας m₁ = 2m είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k. Πάνω στο σώμα m₁ τοποθετείται σώμα μάζας m₂ = m και το σύστημα ισορροπεί. Από ύψος h πάνω από το m₂ αφήνεται σώμα μάζας m₃ = 3m, το οποίο συγκρούεται ελαστικά και ακαριαία με το σύστημα m₁–m₂. Μετά την κρούση, το m₃ απομακρύνεται και το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ με D = k.

Να βρεθεί το μέγιστο ύψος h ώστε το m₂ να μην χάσει επαφή με το m₁.

i. h = 3mg/2k
ii. h = 3mg/k
iii. h = mg/2k

Μονάδες 2 + 7

Εκφώνηση Β2: διάταξη ελατηρίου με m₁, m₂ και m₃

Σχήμα 2: Διάταξη ελατηρίου με m₁, m₂ και m₃.

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Βήμα 1: Ταχύτητα του m₃ πριν την κρούση
Το m₃ πέφτει από ύψος h: υ₃ = √(2gh) Βήμα 2: Ελαστική κρούση
Οι μάζες: m₃ = 3m
m₁ + m₂ = 2m + m = 3m Άρα οι μάζες είναι ίσες → στην ελαστική κρούση ανταλλάσσουν ταχύτητες. Μετά την κρούση: υ₃' = υ_συστ
υ_συστ' = υ₃ Άρα το σύστημα m₁+m₂ αποκτά ταχύτητα: V = √(2gh) Βήμα 3: Η ταχύτητα αυτή είναι η μέγιστη ταχύτητα της ΑΑΤ
Το σύστημα βρισκόταν στη θέση ισορροπίας πριν την κρούση.
Άρα μετά την κρούση, με υ = V, ξεκινά ΑΑΤ με: υ_max = V = √(2gh) Βήμα 4: Συνθήκη μη απώλειας επαφής
Το m₂ χάνει επαφή όταν η επιτάχυνση του συστήματος προς τα κάτω (άρα σε μια θέση πάνω από τη Θ.Ι) γίνει οριακά ίση με g. Αυτό σημαίνει ότι στη θέση αυτή σε κάθε σώμα ασκείται μία μόνο δύναμη, το βάρος του. Άρα, εκεί η δύναμη επαφής είναι μηδέν. Στη θέση όπου το m₂ τείνει να αποκολληθεί: a = -ω²x_απ = -g (θετική φορά προς τα πάνω) Άρα η θέση απώλειας επαφής είναι: x_απ = g/ω² = (m₁+m₂)g/k Με m₁+m₂ = 3m: x_απ = 3mg/k Βήμα 5: Το πλάτος της ΑΑΤ πρέπει να είναι ≤ x_απ
Πλάτος: A = υ_max / ω = √(2gh) / √(k/3m) Συνθήκη μη απώλειας επαφής: A ≤ x_απ ⇒ √(2gh) / √(k/3m) ≤ 3mg/k Λύνοντας ως προς h: h ≤ (3mg) / (2k) Σωστή απάντηση: i. h = 3mg/2k

Β3.

Στο Σχήμα 3 φαίνεται διάταξη συντονισμού. Ο διεγέρτης έχει συχνότητα f_δ που αυξάνεται σταδιακά. Παρατηρούμε ότι:

Για f₁ και f₂ (με f₂ > f₁) το πλάτος είναι ίδιο: A₁ = A₂.
Για f₃ και f₄ (με f₄ > f₃) το πλάτος είναι ίδιο: A₃ = A₄.
Και A₃ > A₁.

Ποια σχέση ισχύει;

i. f₂ − f₁ > f₄ − f₃
ii. f₂ − f₁ = f₄ − f₃
iii. f₂ − f₁ < f₄ − f₃

Μονάδες 2 + 6

Σχήμα 3: Διάταξη συντονισμού.

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Σχήμα 3: Διάγραμμα πλάτους-συχνότητας σε εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Το διάγραμμα πλάτους–συχνότητας σε εξαναγκασμένη ταλάντωση έχει χαρακτηριστική μορφή: • Το πλάτος αυξάνεται όσο πλησιάζουμε τη συχνότητα συντονισμού f₀.
• Το μέγιστο πλάτος εμφανίζεται στο f₀.
• Για ίσα πλάτη εκατέρωθεν του f₀, οι συχνότητες είναι συμμετρικές ως προς f₀. Δεδομένα: A₃ > A₁ Άρα οι συχνότητες f₃ και f₄ βρίσκονται πιο κοντά στο f₀ από ό,τι οι f₁ και f₂. Συνεπώς: • Το διάστημα f₄ − f₃ είναι μικρότερο
• Το διάστημα f₂ − f₁ είναι μεγαλύτερο Άρα: f₂ − f₁ > f₄ − f₃ Σωστή απάντηση: i.

ΘΕΜΑ Γ

Γ1.

Σώμα μάζας M = 2 kg είναι δεμένο σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m, πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ = 30°. Το ελατήριο είναι αρχικά συσπειρωμένο κατά d = 0,4 m από το φυσικό του μήκος. Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο και εκτελεί ΑΑΤ με D = k.

Να βρεθούν:
• το πλάτος της ταλάντωσης
• η ενέργεια της ταλάντωσης

Μονάδες 5

Εκφώνηση Θέματος Γ: σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

Σχήμα 4: Σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο.

➤ Αναλυτική λύση Γ1

Λύση Θέματος Γ1: σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο

Σχήμα 5: Σώμα στη θέση ισορροπιας του σε κεκλιμένο επίπεδο.

Η αρχική θέση είναι η κάτω ακραία θέση της ΑΑΤ, γιατί το σώμα αφήνεται με υ = 0. Βήμα 1: Θέση ισορροπίας
Στη θέση ισορροπίας το ελατήριο ισορροπεί με τη συνιστώσα του βάρους κατά μήκος του κεκλιμένου: k·x₁ = M·g·sinφ x₁ = (M·g·sinφ)/k = (2·10·0.5)/100 = 0.1 m Βήμα 2: Πλάτος
Η αρχική θέση είναι απόσταση d = 0.4 m κάτω από το ΦΜ. Το πλάτος είναι η απόσταση από την ακραία θέση μέχρι τη Θ.Ι.: A = |d − x₁| = |0.4 − 0.1| = 0.3 m Βήμα 3: Ενέργεια ταλάντωσης
E = ½ k A² = ½·(100 N/m)·(0.3m)² = 4.5 J

Γ2.

Όταν το σώμα περνά για 1η φορά από τη Θέση Ισορροπίας, να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής:
i. της κινητικής ενέργειας
ii. της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης
iii. της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
iv. της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου

Μονάδες 6

➤ Αναλυτική λύση Γ2

Στη Θ.Ι. έχουμε x = 0 (ως προς τη Θ.Ι.) και υ = υ_max. υ_max = ωA = √(k/M)·A = √(100/2)·0.3 = 5·√2·0.3 = 1.5√2 m/s i. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας
dK/dt = ΣF·υ = (−D·x)·υ = 0·υ = 0 ii. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης
U = ½ D x², K+U = E = σταθ.
Στη Θ.Ι. x = 0 → U = 0 και dU/dt = -dK/dt = 0 iii. Ρυθμός μεταβολής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
Το σώμα ανεβαίνει το κεκλιμένο → h αυξάνεται → U_g αυξάνεται. dU_g/dt = M·g·υ_y = M·g·υ·sinφ = 2·10·1.5√2·0.5 = 15√2 J/s iv. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ελατηρίου
Στη Θ.Ι. το ελατήριο έχει παραμόρφωση x_eq = 0.1 m. Καθώς το σώμα ανεβαίνει, το ελατήριο εκτονώνεται → η U_el μειώνεται. dU_el/dt = -k·x·υ = -100·0.1·1.5√2 = −15√2 J/s

Γ3.

Όταν το σώμα περνά από το Φυσικό Μήκος του ελατηρίου, να βρεθεί η ταχύτητά του.

Μονάδες 4

➤ Αναλυτική λύση Γ3

Το ΦΜ απέχει από τη Θ.Ι. κατά x_eq = 0.1 m. Η δυναμική ενέργεια της ΑΑΤ στη θέση αυτή: U = ½ k x_eq² = ½·100·(0.1)² = 0.5 J Η συνολική ενέργεια είναι E = 4.5 J. Άρα: K = E − U = 4.5 − 0.5 = 4 J υ = √(2K/M) = √(8/2) = √4 = 2 m/s

Γ4.

Στη θέση ΦΜ το σώμα συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας m, που κινείται αντίρροπα με υ₂ = 4 m/s. Το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία. Να βρεθεί η μάζα m.

Μονάδες 4

➤ Αναλυτική λύση Γ4

Πριν την κρούση: υ₁ = 2 m/s (από το Γ3) Μετά την πλαστική κρούση: (M + m)·0 = M·υ₁ + m·(−υ₂) ⇒ 0 = 2·2 − m·4 m = (2·2)/4 = 1 kg

Γ5.

Το συσσωμάτωμα εκτελεί νέα ΑΑΤ με D = k. Να βρεθεί η συνάρτηση της ταχύτητας και η γραφική παράσταση για μία περίοδο.

Μονάδες 5

➤ Αναλυτική λύση Γ5

Σχήμα 5: Γραφική παράσταση ταχύτητας συσσωματώματος.

Η νέα μάζα είναι: M' = M + m = 2 + 1 = 3 kg Η θέση αυτή, το ΦΜ (εκεί ακινητοποιήθηκε), είναι η πάνω ακραία της νέας ταλάντωσης. Λόγω αλλαγής της μάζας, αλλάζει και η Θέση Ισορροπίας. Στη Νέα Θέση Ισορροπίας: k·x₂ = (m+M)·g·ημφ → x₂ = 0.15 m Επομένως το πλάτος της νέας ταλάντωσης θα είναι Α' = x₂ = 0.15 m. Νέα γωνιακή συχνότητα: ω' = √(k/M') = √(100/3) = (10√3)/3 rad/s Η ταχύτητα ΑΑΤ: υ(t) = 0.15·[(10√3)/3]·συν(ω't + π/2) υ(t) = (√3/2)·συν(ω't + π/2) m/s = −√3/2·ημ(ω't) Η γραφική παράσταση είναι ένα αρνητικό ημίτονο με πλάτος √3/2 m/s και περίοδο: T' = 2π/ω' = 2π/(10√3)/3 = π√3/5 s

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.

Δύο ιδανικά ελατήρια σταθερών k₁ = 300 N/m και k₂ = 100 N/m είναι στερεωμένα το ένα στο δάπεδο και το άλλο στην οροφή. Οι άξονές τους συμπίπτουν στην ίδια κατακόρυφο. Τα ελεύθερα άκρα τους απέχουν S = 0.2 m όταν έχουν το φυσικό τους μήκος. Σε αυτά δένουμε σώμα μάζας m = 6 kg, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αποδειχθεί ότι στη θέση ισορροπίας το ελατήριο k₂ δεν παραμορφώνεται.

Μονάδες 4

Εκφώνηση Θέματος Δ: δύο κατακόρυφα ελατήρια

Σχήμα 6: Δύο κατακόρυφα ελατήρια.

➤ Αναλυτική λύση Δ1

Σχήμα 7: Στη θέση ισορροπίας το κάτω ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

Το σώμα ισορροπεί όταν η συνισταμένη των δυνάμεων των δύο ελατηρίων ισούται με το βάρος. Ας θεωρήσουμε ότι στερεώνουμε πρώτα το σώμα στο ελεύθερο κάτω άκρο του ελατηρίου με σταθερά k₁. Στη θέση όπου το σώμα θα ισορροπίσει, η παραμόρφωση του ελατηρίου υπολογίζεται από τη συνθήκη ισορροπίας: k₁·Δl₁ = m·g
Δl₁ = m·g/k₁
Δl₁ = 6·10/300 = 0.2 m Είναι φανερό ότι στη θέση αυτή το σώμα θα βρεθεί να ακουμπάει απλώς στο ελεύθερο άκρο του κάτω ελατηρίου χωρίς να το συμπιέζει. Για να διατηρηθεί η επαφή αρκεί να στερεωθεί μόνιμα και σε αυτό το άκρο, χωρίς καθόλου να επηρεαστεί η ισορροπία. Άρα το σώμα ισορροπεί στο ΦΜ του k₂ → το k₂ δεν παραμορφώνεται.

Δ2.

Από τη θέση ισορροπίας εκτρέπουμε το σώμα κατά d = 0.2 m προς τα πάνω και το αφήνουμε. Να αποδειχθεί ότι εκτελεί ΑΑΤ και να βρεθεί η συχνότητα.

Μονάδες 5

➤ Αναλυτική λύση Δ2

Σχήμα 8: Ανάλυση δυνάμεων για την απόδειξη ΑΑΤ.

Στη θέση ισορροπίας ισχύει: k₁·Δl₁ = m·g Σε μια τυχαία θέση, έστω κατά x πάνω από τη θέση ισορροπίας θα ισχύει: ΣF = k₁·(Δl₁ - x) - k₂·x - m·g
ΣF = k₁·Δl₁ - k₁·x - k₂·x - k₁·Δl₁
ΣF = −(k₁ + k₂)·x Άρα η κίνηση είναι ΑΑΤ με: D = k₁ + k₂ = 300 + 100 = 400 N/m και συχνότητα: f = (1/2π) √(D/m) = (1/2π) √(400/6) = 1.30 Hz

Δ3.

Να βρεθεί η εξίσωση της επιτάχυνσης και η γραφική παράσταση για t από 0 έως 2T.

Μονάδες 5

➤ Αναλυτική λύση Δ3

Σχήμα 9: Γραφική παράσταση επιτάχυνσης για t από 0 έως 2T.

Το σώμα αφήνεται από την άνω ακραία θέση: A = d = 0.2 m
φ₀ = π/2 ω = √(D/m) = √(400/6) = 8.16 rad/s Η επιτάχυνση: a(t) = −ω²·A·ημ(ωt + π/2)
= −(8.16)²·0.2·συν(8.16t)
= −13.3·συν(8.16t) m/s² Η γραφική παράσταση είναι ένα αρνητικό συνημίτονο με πλάτος 13.3 m/s² και περίοδο: T = 2π/ω = 0.77 s Ο χρόνος t = π√6/5 = 1.54 s που δίνεται στο πρόβλημα αντιστοιχεί σε δύο περιόδους.

Δ4.

Όταν το σώμα περνά από θέση με απομάκρυνση x' = +0.1 m κινούμενο προς τα κάτω, να βρεθούν:
i. η κινητική ενέργεια
ii. ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
iii. ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου k₁

Μονάδες 7

➤ Αναλυτική λύση Δ4

i. Κινητική ενέργεια
E = ½ D A² = ½·400·(0.2)² = 8 J U = ½ D·x'² = ½·400·(0.1)² = 2 J K = E − U = 6 J ii. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας
dK/dt = F·υ = (−D·x')·υ Το σώμα κινείται προς τα κάτω → υ < 0. K = ½ m·υ² → 6 = ½·6·υ² → υ = −√2 m/s dK/dt = −400·(+0.1)·(−√2) = +40√2 J/s (θετικό) iii. Ρυθμός μεταβολής U₁
Το k₁ έχει παραμόρφωση: Δl₁ = 0.2 − 0.1 = 0.1 m, η οποία (αφού το σώμα κινείται προς τα κάτω) θα γίνει πιο μεγάλη, συνεπώς η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι σε φάση ανάπτυξης (dU/dt > 0). Άρα: dU₁/dt = k₁·Δl₁·υ = 300·0.1·√2 = 30√2 J/s

Δ5.

Να βρεθεί η δύναμη του ελατηρίου k₂ ως συνάρτηση της απομάκρυνσης x και η γραφική παράσταση.

Μονάδες 4

➤ Αναλυτική λύση Δ5

Λύση Δ5: Γραφική παράσταση δύναμης ελατηρίου

Σχήμα 10: Γραφική παράσταση δύναμης ελατηρίου k₂ ως συνάρτηση της απομάκρυνσης.

Το ΦΜ του k₂ είναι η Θ.Ι. της ΑΑΤ. Άρα, σε τυχαία θέση απομάκρυνσης x θα είναι: F₂ = −k₂·x = −100·x Η γραφική παράσταση είναι ευθεία με αρνητική κλίση.

✍️ Εσείς πώς θα το λύνατε;

Αν βρήκατε διαφορετική προσέγγιση, εναλλακτική λύση ή κάποιο «λεπτό σημείο» του διαγωνίσματος, γράψτε το στα σχόλια. Συχνά μια διαφορετική οπτική φωτίζει καλύτερα τη φυσική ιδέα.

Κατεβάστε το διαγώνισμα

📄 Κατεβάστε το σε PDF 📝 Κατεβάστε το σε Word

Τρίτη 28 Νοεμβρίου 2017

Γενικό διαγώνισμα στις μηχανικές ταλαντώσεις και στις κρούσεις

(3^ωρο, για πολύ καλά προετοιμασμένους)

[Το διαγώνισμα αυτό είναι δύσκολο όχι γιατί περιέχει εξεζητημένα θέματα, αλλά γιατί απαιτεί καλή προετοιμασία ώστε να προλάβετε να απαντήσετε σε όλα τα θέματα μέσα στις τρεις ώρες.]

Αποσπάσματα:

Α1. Καθώς μειώνεται το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης με δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ= -bυ:

α. Μειώνεται η περίοδος της ταλάντωσης

β. μειώνεται η ενέργεια που χάνεται σε κάθε περίοδο

γ. μειώνεται η σταθερά απόσβεσης b

δ. αυξάνεται ο ρυθμός μείωσης του πλάτους.

..........................................................................

Α4. Δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Επομένως:

α. μεγαλύτερο μέτρο έχει η μεταβολή της ορμής της σφαίρας με τη μικρότερη μάζα.

β. οι δύο σφαίρες έχουν ίδια μεταβολή στην ορμή τους.

γ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας με τη μεγαλύτερη μάζα είναι μικρότερη από τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας με τη μικρότερη μάζα.

δ. το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση είναι το ίδιο για κάθε σφαίρα.

............................................................................

Β2. Ένα σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση και η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση x = 0,3ημ10πt (S.Ι). Αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί κατά 5 Ηz, η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης διπλασιάζεται σε σχέση με την αρχική. Επομένως η συχνότητα συντονισμού f₀ του ταλαντωτή είναι:

α. f₀< 5 Hz, β. f₀> 10 Hz, γ. 5Hz < f₀< 10 Hz

Επιλέξτε την ορθή ανισότητα και αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα εδώ

Αναλυτικές απαντήσεις εδώ

Κυριακή 22 Οκτωβρίου 2017

3ο ΤΡΙΩΡΟ (+) ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ)

Θέμα Α

(Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της αρχικής φράσης και, δίπλα, το γράμμα ή τη σχέση που τη συμπληρώνει σωστά.).

Α.1.Στη διάταξη που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα τρία σώματα Α, Β και Γ είναι κρεμασμένα μέσω ιδανικών ελατηρίων από την ίδια ράβδο. Ο κυκλικός δίσκος Δ μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο του. Αυξάνουμε αργά – αργά τη συχνότητα περιστροφής του δίσκου, ξεκινώντας από πολύ μικρές τιμές, κι έτσι η ράβδος Ρ εξαναγκάζεται να εκτελέσει α.α.τ., σταθερού πλάτους παραμένοντας διαρκώς οριζόντια. Αν m_A = m_B = m, m_Γ = 2m, και k_A = k_Γ = k, k_B = 2k, με ποια σειρά θα αποκτήσουν μέγιστο πλάτος ταλάντωσης τα τρία σώματα;

α. Α - Β - Γ, β. Γ - Β - Α,

γ. Β - Α - Γ, δ. Γ - Α - Β

Μονάδες 5

2ο τρίωρο στις ταλαντώσεις (επαναληπτικο)

Ένα διαγώνισμα στο “πνεύμα” των εξετάσεων, δώρο από το … “πνεύμα” των Εορτών

B.1. Αν το κιβώτιο του σχήματος συνδεθεί με το αριστερό ελατήριο σταθεράς k₁ και διεγερθεί κατάλληλα θα εκτελέσει α.α.τ. με συχνότητα f₁. Όμοια, αν συνδεθεί με το δεξί ελατήριο σταθεράς k₂ θα εκτελέσει α.α.τ με συχνότητα f₂.

Δείξτε ότι αν συνδεθεί και με τα δύο ελατήρια όπως στο τρίτο σχήμα, και διεγερθεί κατάλληλα, θα κάνει α.α.τ. με συχνότητα f για την οποία:

f² = f₁² + f₂²

(Δίνεται ότι όταν το κιβώτιο βρίσκεται στη θέση Ι τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Δίνεται, επίσης, ότι το κιβώτιο κινείται χωρίς τριβές στην οριζόντια επιφάνεια και ότι τα στηρίγματα δεξιά και αριστερά στα οποία στερεώνονται τα ελατήρια είναι σταθερά).

Δείτε:

· Ολόκληρο το διαγώνισμα

· Τι πρέπει να γνωρίζετε

· Αναλυτική απάντηση
· Πόσο εύκολο είναι …

Σάββατο 10 Σεπτεμβρίου 2011

1ο ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ στις Απλές μηχανικές αρμονικές ταλαντώσεις

[Eξάσκηση στη χρήση των εξισώσεων των απλών αρμονικών ταλαντώσεων]

(Τα πρώτα έξη από τα δέκα θέματα, που καλείστε παρακάτω να απαντήσετε, έχουν τη δυσκολία που συναντάμε στην κατηγορία “ΘΕΜΑ Β” των πανελληνίων. Τα υπόλοιπα τέσσερα μπορούν να θεωρηθούν ασκήσεις της κατηγορίας “ΘΕΜΑ Γ”)

Ένα απλό μοντέλο πυκνομέτρου (οργάνου μέτρησης της πυκνότητας των υγρών) μπορεί να κατασκευαστεί με τη βοήθεια ενός αριθμημένου ξύλινου χάρακα που στο ένα άκρο του έχουμε στερεώσει ένα μικρό βάρος. Έτσι ο χάρακας θα στέκεται κατακόρυφος όταν βυθίζεται μέσα σε ένα υγρό. Μετρώντας το βάθος όπου ισορροπεί ο χάρακας μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση για την πυκνότητα του υγρού.

Στο σχήμα φαίνονται οι ακραίες θέσεις μιας ταλάντωσης που κάνει ένα τέτοιο υδρόμετρο και η θέση ηρεμίας.

A. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι:

α. 5 mm, β. 17 mm, γ. 32 mm, δ. 37 mm

B. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας είναι:

α. 0,032π m/s, β. 0,017π m/s, γ. 0.005π m/s, δ. 0,037π m/s

Δείτε:

Κυριακή 12 Δεκεμβρίου 2010

ΔΥΟ Επαναληπτικά διαγωνίσματα στις απλές αρμονικές ταλαντώσεις

1^ο Επαναληπτικό διαγώνισμα 40 min στις ταλαντώσεις.

1. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την επιτάχυνση ενός σώματος, που εκτελεί α.α.τ, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να χαρακτηρίσετε με Σ (αν είναι σωστή) ή με Λ (αν είναι λάθος) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.

α) Στο σημείο Α αντιστοιχεί απομάκρυνση –Α,

β) Στο σημείο Β του διαγράμματος η ταχύτητα είναι θετική,

γ) Στο σημείο Γ η δύναμη επαναφοράς έχει μέγιστο μέτρο,

δ) Στο σημείο Δ η απομάκρυνση είναι μέγιστη αρνητική,

ε) Η ταχύτητα, στη διάρκεια που αντιστοιχεί μεταξύ των σημείων Γ και Δ, είναι θετική.

Δείτε τα δύο διαγωνίσματα εδώ ... και την αναλυτική απάντηση εδώ ...

Κυριακή 5 Δεκεμβρίου 2010

ΔΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

i) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

(Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά).

Α1. Η αντιτιθέμενη δύναμη F΄, που κάνει τη μέγιστη θετική απομάκρυνση μιας ταλάντωσης να φθίνει εκθετικά με το χρόνο, έχει πάντα φορά:

α) ίδια με τη φορά της απομάκρυνσης του σώματος ,

β) αντίθετη προς τη δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης,

γ) προς τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης,

δ) αντίθετη προς τη φορά της ταχύτητας του ταλαντωτή.

A2. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση, περιόδου Τ, η μέγιστη θετική απομάκρυνση μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: A = A_ο e^-Λ^t. Αν τη χρονική στιγμή t_α = kΤ, το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α_α , τότε τη χρονική στιγμή t_β = t _α + Τ, το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι: