Δευτέρα 17 Αυγούστου 2026

The Geometry of Scattering and the Momentum Triangle

Σκέδαση 90° - Φυσική Γ' Λυκείου

Η γεωμετρία της σκέδασης και το τρίγωνο των ορμών

Σχολικό διάγραμμα σκέδασης δύο σωματιδίων και τρίγωνο ορμών

Σχήμα 1 – Σκέδαση σωματιδίου Α υπό γωνία 90° από αρχικά ακίνητο σωματίδιο Β και το αντίστοιχο τρίγωνο ορμών

📘 Εκφώνηση

Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο, ώστε να περιλαμβάνει φαινόμενα όπου τα «συγκρουόμενα» σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Τα σωματίδια αλληλεπιδρούν με μεγάλες δυνάμεις όταν πλησιάσουν αρκετά, με αποτέλεσμα την απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Το φαινόμενο λέγεται σκέδαση.

Σωματίδιο Α με κινητική ενέργεια $K_0$ κινείται ευθύγραμμα και σκεδάζεται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση, όταν πλησιάσει αρκετά σε αρχικά ακίνητο σωματίδιο Β. Η μάζα του σωματιδίου Β είναι διπλάσια από τη μάζα του Α.

Α. Να προσδιορίσετε τη διεύθυνση κίνησης του σωματιδίου Β μετά την «κρούση».
Β. Να υπολογίσετε, σε συνάρτηση με την κινητική ενέργεια $K_0$, τις κινητικές ενέργειες των σωματιδίων Α και Β μετά την «κρούση».

🔍 Λύση

Λύση

Δεδομένα

Σωματίδιο Α: μάζα $m$, αρχική κινητική ενέργεια $K_0$.
Σωματίδιο Β: μάζα $2m$, αρχικά ακίνητο ($K_B = 0$).
Μετά τη σκέδαση, το Α κινείται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση.

Α. Διεύθυνση κίνησης του Β

Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής:

$$ \vec{p}_0 = \vec{p}_A' + \vec{p}_B' $$

Επειδή $\vec{p}_0 \perp \vec{p}_A'$, το τρίγωνο ορμών είναι ορθογώνιο. Έτσι, η ορμή του Β σχηματίζει γωνία $\theta$ με την αρχική διεύθυνση, όπου:

$$ \tan\theta = \frac{p_A'}{p_0} \quad \text{και} \quad p_B' = \sqrt{p_0^2 + p_A'^2} $$

Από την επίλυση των εξισώσεων (βλ. παρακάτω) προκύπτει:

$$ \theta = 30^\circ $$

Συμπέρασμα: Το σωματίδιο Β κινείται υπό γωνία $30^\circ$ ως προς την αρχική διεύθυνση του Α.

Β. Κινητικές ενέργειες μετά την κρούση

Έστω $p_0$ η αρχική ορμή του Α, $p_A'$ η ορμή του Α μετά και $p_B'$ η ορμή του Β μετά.

$p_0 = \sqrt{2mK_0}$
$p_A' = \sqrt{2mK_A}$
$p_B' = \sqrt{2(2m)K_B} = \sqrt{4mK_B}$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ορμών:

$$ p_B'^2 = p_0^2 + p_A'^2 \implies 4mK_B = 2mK_0 + 2mK_A \implies 2K_B = K_0 + K_A $$

Από τη διατήρηση της ενέργειας (ελαστική κρούση):

$$ K_0 = K_A + K_B \implies K_B = K_0 - K_A $$

Αντικαθιστώντας:

$$ 2(K_0 - K_A) = K_0 + K_A \implies 2K_0 - 2K_A = K_0 + K_A \implies K_0 = 3K_A $$

$$ K_A = \frac{K_0}{3}, \qquad K_B = \frac{2K_0}{3} $$

Επαλήθευση της γωνίας:

$$ p_0 = \sqrt{2mK_0}, \quad p_B' = \sqrt{4mK_B} = \sqrt{4m \cdot \frac{2K_0}{3}} = \sqrt{\frac{8mK_0}{3}} $$

$$ \cos\theta = \frac{p_0}{p_B'} = \frac{\sqrt{2mK_0}}{\sqrt{\frac{8mK_0}{3}}} = \sqrt{\frac{2mK_0 \cdot 3}{8mK_0}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ $$