Γενικό Διαγώνισμα στις Ταλαντώσεις (ΝΕΟ)

"Ισορροπημένο, προσιτό, δίκαιο – για κάθε μαθητή που έχει κατανοήσει σε βάθος το σχολικό βιβλίο. | Του συναδέλφου Αναστάσιου Νέζη"

ΘΕΜΑ Α

Α1.

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, χωρίς αρχική φάση, με περίοδο $T$ και πλάτος $A$, το διανυόμενο διάστημα σε χρόνο $\Delta t = \frac{7T}{4}$ είναι:

• α) $3{,}5 A$
• β) $7 A$
• γ) $14 A$
• δ) $17{,}5 A$

Μονάδες 5

Δείτε την αναλυτική λύση

Η ταλάντωση δίνεται χωρίς αρχική φάση ($\phi_0 = 0$), άρα η εξίσωση απομάκρυνσης είναι:

$$\displaystyle x(t) = A \sin(\omega t)$$

Στην $t = 0$ το σώμα βρίσκεται στη θέση $x = 0$ και κινείται προς τη θετική κατεύθυνση ($v > 0$).

Σε κάθε χρονικό διάστημα $\frac{T}{4}$, το σώμα διανύει απόσταση ίση με το πλάτος $A$:

• Περνά από την θετική ακραία θέση ($x = +A$).
• Επιστρέφει στη θέση ισορροπίας ($x = 0$).
• Φτάνει στην αρνητική ακραία θέση ($x = -A$).

Άρα σε χρόνο $\Delta t = 7 \cdot \frac{T}{4}$ θα διανύσει συνολικό διάστημα:

$$\displaystyle S = 7 \cdot A = 7A$$

Σωστή απάντηση: β) 7Α

Α2.

Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι αντίρροπες, τότε η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης:

• α) αυξάνεται
• β) μειώνεται
• γ) παραμένει σταθερή
• δ) αυξάνεται ή μειώνεται ανάλογα

Μονάδες 5

Δείτε την αναλυτική λύση

Στην Α.Α.Τ. η επιτάχυνση κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας:

$$\displaystyle a = -\omega^2 x$$

Η ταχύτητα $v$ έχει την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος. Για να είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση αντίρροπες ($\vec{v} \cdot \vec{a} < 0$), το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς μια ακραία θέση. Δηλαδή, η απόλυτη τιμή της απομάκρυνσης $|x|$ αυξάνεται.

Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται από τον τύπο:

$$\displaystyle U = \frac{1}{2} D x^2$$

Καθώς το $|x|$ αυξάνεται, η δυναμική ενέργεια $U$ αυξάνεται.

Σωστή απάντηση: α) αυξάνεται

Α3.

Σώμα μάζας $m$ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς $k$. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος, τότε η συχνότητα της ταλάντωσης του:

• α) υποδιπλασιάζεται
• β) υποτετραπλασιάζεται
• γ) διπλασιάζεται
• δ) τετραπλασιάζεται

Μονάδες 5

Δείτε την αναλυτική λύση

Η συχνότητα ιδιοταλάντωσης συστήματος ελατηρίου-μάζας είναι:

$$\displaystyle f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Αν η μάζα γινεί $m' = 4m$, η νέα συχνότητα θα είναι:

$$\displaystyle f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{4m}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\right) = \frac{f}{2}$$

Άρα η συχνότητα υποδιπλασιάζεται.

Σωστή απάντηση: α) υποδιπλασιάζεται

Α4.

Σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητάς του ($F_{\text{απ}} = -b v$). Το αρχικό πλάτος είναι $A_0$, μετά την 1η περίοδο $A_1$, μετά τη 2η $A_2$ και μετά την 3η $A_3$. Η σχέση που συνδέει τα πλάτη είναι:

• α) $A_1 = \sqrt{A_2 \cdot A_3}$
• β) $A_3 = \sqrt{A_1 / A_2}$
• γ) $A_2 = \sqrt{A_1 \cdot A_3}$
• δ) $A_3 = \sqrt{A_2 \cdot A_1}$

Μονάδες 5

Δείτε την αναλυτική λύση

Στη φθίνουσα ταλάντωση με $F_{\text{απ}} = -bv$, τα πλάτη μειώνονται εκθετικά με το χρόνο:

$$\displaystyle A(t) = A_0 e^{-\frac{b}{2m} t}$$

Για διαδοχικές περιόδους έχουμε:

$$\displaystyle A_1 = A_0 e^{-\frac{bT}{2m}}, \quad A_2 = A_0 e^{-\frac{2bT}{2m}}, \quad A_3 = A_0 e^{-\frac{3bT}{2m}}$$

Παρατηρούμε ότι ο λόγος διαδοχικών πλατών είναι σταθερός:

$$\displaystyle \frac{A_2}{A_1} = \frac{A_3}{A_2} \implies A_2^2 = A_1 \cdot A_3 \implies A_2 = \sqrt{A_1 \cdot A_3}$$

Σωστή απάντηση: γ) $A_2 = \sqrt{A_1 \cdot A_3}$

Α5.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστό ή Λάθος:

• Σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση η δυναμική ενέργεια γίνεται 5-πλάσια της κινητικής, 5 φορές σε κάθε περίοδο.
• Σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων βρίσκεται σε συντονισμό. Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί, ενώ αν μειώσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί.
• Αυξάνοντας τη σταθερά απόσβεσης σε ένα σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων, η συχνότητα στην οποία παρατηρείται ο συντονισμός μειώνεται και το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό επίσης μειώνεται.
• Δύο σώματα ίσων μαζών κρέμονται μαζί από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς $k$ και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος των δύο σωμάτων είναι $D = k$.
• Σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης της μορφής $F' = -b v$. Αν κάποια χρονική στιγμή μια θετική θέση είναι θέση ισορροπίας, τότε σε αυτή τη θέση το σώμα πρέπει να έχει αρνητική ταχύτητα.

Μονάδες 5

Δείτε την αναλυτική λύση

α) Λάθος. Η σχέση $U = 5K$ ισχύει σε 2 συγκεκριμένες θέσεις ($x = \pm A \sqrt{5/6}$) ανά περίοδο, άρα συμβαίνει συνολικά 4 φορές σε κάθε περίοδο (2 φορές κινούμενο προς τα δεξιά, 2 προς τα αριστερά).

β) Λάθος. Στον συντονισμό ισχύει $f_{\text{διεγ}} = f_0$ και το πλάτος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του. Είτε αυξήσουμε είτε μειώσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, απομακρυνόμαστε από τη συχνότητα συντονισμού, οπότε το πλάτος μειώνεται και στις δύο περιπτώσεις.

γ) Σωστό. Η αύξηση της απόσβεσης μετατοπίζει την κορυφή της καμπύλης συντονισμού προς μικρότερες συχνότητες και ταυτόχρονα μειώνει το μέγιστο πλάτος.

δ) Σωστό. Η σταθερά επαναφοράς εξαρτάται αποκλειστικά από το ελατήριο στην κατακόρυφη ταλάντωση, άρα $D = k$.

ε) Σωστό. Στη θέση ισορροπίας η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν: $\Sigma F = 0 \implies F_{\text{επαν}} + F_{\text{αποσβ}} = 0 \implies -D x - b v = 0 \implies v = -\frac{D}{b} x$. Αν $x > 0$, τότε αναγκαστικά $v < 0$.

ΘΕΜΑ Β

Β1.

Σώμα $\Sigma$, μάζας $m$, είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς $k$. Στο πάνω μέρος του σώματος $\Sigma$ δένουμε αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο –μέσω ιδανικής τροχαλίας– καταλήγει σε σώμα $\Sigma_1$, μάζας $m_1 = \frac{m}{2}$ (Σχήμα 1). Κόβουμε το νήμα και το σώμα $\Sigma$ ξεκινά κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους $A_1$.

Σε δεύτερο πείραμα, το άκρο του νήματος καταλήγει –μέσω ιδανικής τροχαλίας– σε σώμα $\Sigma_2$, μάζας $m_2 = 2m$. Κόβουμε το νήμα και το σώμα $\Sigma$ ξεκινά κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους $A_2$. Ο λόγος των πλατών $\frac{A_1}{A_2}$ είναι:

• i. $\frac{1}{2}$
• ii. $\frac{1}{4}$
• iii. $\frac{1}{8}$

Μονάδες 2 + 6

Σχήμα 1: Διάταξη ελατηρίου – τροχαλίας – σωμάτων.

Δείτε την αναλυτική λύση

Αναλυτική απεικόνιση των δύο περιπτώσεων ισορροπίας.

1η Περίπτωση ($m_1 = \frac{m}{2}$):

Στη θέση αρχικής ισορροπίας του $\Sigma$ πριν κοπεί το νήμα:

$$\displaystyle T_1 = m_1 g = \frac{mg}{2}$$ $$\displaystyle \Sigma F = 0 \implies k x_1 + T_1 - mg = 0 \implies k x_1 = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2} \implies x_1 = \frac{mg}{2k}$$

Όταν κόβεται το νήμα, η νέα θέση ισορροπίας απέχει $\Delta \ell = \frac{mg}{k}$ από το φυσικό μήκος. Το σώμα αφήνεται από τη θέση $x_1$ με μηδενική ταχύτητα, άρα αυτή αποτελεί ακραία θέση της Α.Α.Τ. Το πλάτος $A_1$ είναι:

$$\displaystyle A_1 = |\Delta \ell - x_1| = \left| \frac{mg}{k} - \frac{mg}{2k} \right| = \frac{mg}{2k}$$

2η Περίπτωση ($m_2 = 2m$):

Πριν κοπεί το νήμα:

$$\displaystyle T_2 = m_2 g = 2mg$$ $$\displaystyle \Sigma F = 0 \implies T_2 - mg - k x_2 = 0 \implies k x_2 = 2mg - mg = mg \implies x_2 = \frac{mg}{k}$$

Όταν κόβεται το νήμα, το πλάτος $A_2$ ισούται με την απόσταση της θέσης εκκίνησης από τη νέα Θ.Ι.:

$$\displaystyle A_2 = \Delta \ell + x_2 = \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k} = \frac{2mg}{k}$$

Λόγος πλατών:

$$\displaystyle \frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{mg}{2k}}{\frac{2mg}{k}} = \frac{1}{4}$$

Σωστή απάντηση: ii) $\frac{1}{4}$

Β2.

Σώμα μάζας $m_1 = 2m$ είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς $k$. Πάνω στο σώμα $m_1$ τοποθετείται σώμα μάζας $m_2 = m$ και το σύστημα ισορροπεί. Από ύψος $h$ πάνω από το $m_2$ αφήνεται σώμα μάζας $m_3 = 3m$, το οποίο συγκρούεται ελαστικά και ακαριαία με το σύστημα $m_1–m_2$. Μετά την κρούση, το $m_3$ απομακρύνεται και το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ με $D = k$.

Να βρεθεί το μέγιστο ύψος $h$ ώστε το $m_2$ να μην χάσει επαφή με το $m_1$.

• i. $h = \frac{3mg}{2k}$
• ii. $h = \frac{3mg}{k}$
• iii. $h = \frac{mg}{2k}$

Μονάδες 2 + 7

Σχήμα 2: Διάταξη ελατηρίου με $m_1$, $m_2$ και $m_3$.

Δείτε την αναλυτική λύση

1. Ταχύτητα του $m_3$ πριν την κρούση:

$$\displaystyle v_3 = \sqrt{2gh}$$

2. Ελαστική κρούση:

Η μάζα του προσπίπτοντος σώματος είναι $m_3 = 3m$ και η συνολική μάζα του συστήματος στόχου είναι $m_{12} = m_1 + m_2 = 2m + m = 3m$. Εφόσον οι μάζες είναι ίσες, στην κεντρική ελαστική κρούση ανταλλάσσουν ταχύτητες. Άρα αμέσως μετά την κρούση το σύστημα αποκτά ταχύτητα:

$$\displaystyle V = v_3 = \sqrt{2gh}$$

3. Πλάτος ταλάντωσης:

Επειδή η κρούση γίνεται στη θέση ισορροπίας, η ταχύτητα $V$ είναι η μέγιστη ταχύτητα της Α.Α.Τ.:

$$\displaystyle V = v_{\max} = \omega A \implies A = \frac{V}{\omega} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\frac{k}{3m}}}$$

4. Συνθήκη μη απώλειας επαφής:

Το σώμα $m_2$ τείνει να χάσει την επαφή του στην άνω ακραία θέση της ταλάντωσης, όταν η επιτάχυνση προς τα κάτω φτάσει την τιμή $g$ (οπότε η δύναμη επαφής μηδενίζεται):

$$\displaystyle a_{\max} \le g \implies \omega^2 A \le g \implies A \le \frac{g}{\omega^2} = \frac{(m_1 + m_2)g}{k} = \frac{3mg}{k}$$

Αντικαθιστώντας το $A$:

$$\displaystyle \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\frac{k}{3m}}} \le \frac{3mg}{k} \implies \sqrt{2gh} \le \frac{3mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{3m}} \implies 2gh \le \frac{3mg}{k} \implies h \le \frac{3mg}{2k}$$

Σωστή απάντηση: i) $h = \frac{3mg}{2k}$

Β3.

Στο Σχήμα 3 φαίνεται διάταξη συντονισμού. Ο διεγέρτης έχει συχνότητα $f_{\delta}$ που αυξάνεται σταδιακά. Παρατηρούμε ότι:

• Για $f_1$ και $f_2$ (με $f_2 > f_1$) το πλάτος είναι ίδιο: $A_1 = A_2$.
• Για $f_3$ και $f_4$ (με $f_4 > f_3$) το πλάτος είναι ίδιο: $A_3 = A_4$.
• Ισχύει $A_3 > A_1$.

Ποια σχέση ισχύει;

• i. $f_2 - f_1 > f_4 - f_3$
• ii. $f_2 - f_1 = f_4 - f_3$
• iii. $f_2 - f_1 < f_4 - f_3$

Μονάδες 2 + 6

Σχήμα 3: Διάταξη συντονισμού.

Δείτε την αναλυτική λύση

Καμπύλη συντονισμού εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Η καμπύλη συντονισμού $A = f(f_{\delta})$ παρουσιάζει μέγιστο στη συχνότητα συντονισμού $f_0$. Καθώς πλησιάζουμε τη συχνότητα $f_0$, το πλάτος αυξάνεται και η κλίση της καμπύλης γίνεται πιο απότομη.

Εφόσον $A_3 > A_1$, οι συχνότητες $f_3$ και $f_4$ αντιστοιχούν σε μεγαλύτερο πλάτος, άρα βρίσκονται πλησιέστερα στη συχνότητα συντονισμού $f_0$ από ό,τι οι συχνότητες $f_1$ και $f_2$.

Συνεπώς, το εύρος συχνοτήτων $\Delta f_{34} = f_4 - f_3$ είναι μικρότερο από το εύρος $\Delta f_{12} = f_2 - f_1$:

$$\displaystyle f_2 - f_1 > f_4 - f_3$$

Σωστή απάντηση: i) $f_2 - f_1 > f_4 - f_3$

ΘΕΜΑ Γ

Γ1.

Σώμα μάζας $M = 2\text{ kg}$ είναι δεμένο σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς $k = 100\text{ N/m}$, πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας $\phi = 30^\circ$. Το ελατήριο είναι αρχικά συσπειρωμένο κατά $d = 0{,}4\text{ m}$ από το φυσικό του μήκος. Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο και εκτελεί ΑΑΤ με $D = k$.

Να βρεθούν:
• το πλάτος της ταλάντωσης
• η ενέργεια της ταλάντωσης

Μονάδες 5

Σχήμα 4: Σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο.

Αναλυτική λύση Γ1

Θέση ισορροπίας του σώματος στο κεκλιμένο επίπεδο.

1. Θέση Ισορροπίας (Θ.Ι.):

$$\displaystyle \Sigma F_x = 0 \implies k x_1 = M g \sin\phi \implies x_1 = \frac{M g \sin\phi}{k} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 0{,}5}{100} = 0{,}1\text{ m}$$

2. Πλάτος $A$:

Επειδή το σώμα αφήνεται ελεύθερο ($v = 0$) από θέση συσπείρωσης $d = 0{,}4\text{ m}$, η θέση αυτή είναι ακραία. Η απόσταση της ακραίας θέσης από τη Θ.Ι. είναι το πλάτος:

$$\displaystyle A = d - x_1 = 0{,}4\text{ m} - 0{,}1\text{ m} = 0{,}3\text{ m}$$

3. Ενέργεια Ταλάντωσης $E$:

$$\displaystyle E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0{,}3)^2 = 4{,}5\text{ J}$$

Γ2.

Όταν το σώμα περνά για 1η φορά από τη Θέση Ισορροπίας, να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής:

i. της κινητικής ενέργειας
ii. της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης
iii. της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
iv. της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου

Μονάδες 6

Αναλυτική λύση Γ2

Στη Θέση Ισορροπίας ισχύει $x = 0$ και η ταχύτητα είναι μέγιστη:

$$\displaystyle v_{\max} = \omega A = \sqrt{\frac{k}{M}} A = \sqrt{\frac{100}{2}} \cdot 0{,}3 = 5\sqrt{2} \cdot 0{,}3 = 1{,}5\sqrt{2}\text{ m/s}$$

i. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας:

$$\displaystyle \frac{dK}{dt} = \Sigma F \cdot v = (-D x) \cdot v = 0 \cdot v = 0\text{ J/s}$$

ii. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης:

$$\displaystyle \frac{dU}{dt} = -\frac{dK}{dt} = 0\text{ J/s}$$

iii. Ρυθμός μεταβολής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. Το σώμα περνώντας από την Θ.Ι. για 1η φορά, ανεβαίνει, άρα το h αυξάνεται. Επομένως η Uβαρ.= Μgh αυξάνεται, άρα ο ρυθμός της είναι θετικός.:

$$\displaystyle \frac{dU_g}{dt} = M g v_y = M g vημ\phi = 2 \cdot 10 \cdot 1{,}5\sqrt{2} \cdot 0{,}5 = 15\sqrt{2}\text{ J/s}$$

iv. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ελατηρίου:Το ελατήριο “οδεύει” προς λιγότερη συσπείρωση. Έτσι η παραμόρφωση – συσπείρωση (Δl) ελαττώνεται και αντίστοιχα ελαττώνεται και η Uελ.=½kΔl^2, άρα ο ρυθμός της θα είναι αρνητικός.

$$\displaystyle \frac{dU_{\text{el}}}{dt} = -F_{\text{ελ}} \cdot v = -(k x_1) \cdot v = -100 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}5\sqrt{2} = -15\sqrt{2}\text{ J/s}$$

Γ3.

Όταν το σώμα περνά από το Φυσικό Μήκος του ελατηρίου, να βρεθεί η ταχύτητά του.

Μονάδες 4

Αναλυτική λύση Γ3

Το Φυσικό Μήκος απέχει από τη Θ.Ι. απόσταση $x = x_1 = 0{,}1\text{ m}$.

Από την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Ταλάντωσης:

$$\displaystyle E = K + U \implies \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} k x_1^2$$ $$\displaystyle 4{,}5 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0{,}1)^2 \implies 4{,}5 = v^2 + 0{,}5 \implies v^2 = 4 \implies v = 2\text{ m/s}$$

Γ4.

Στη θέση ΦΜ το σώμα συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας $m$, που κινείται αντίρροπα με $v_2 = 4\text{ m/s}$. Το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία. Να βρεθεί η μάζα $m$.

Μονάδες 4

Αναλυτική λύση Γ4

Αρχή Διατήρησης της Ορμής κατά την κρούση:

$$\displaystyle \vec{p}_{\text{αρχ}} = \vec{p}_{\text{τελ}} \implies M v_1 - m v_2 = (M + m) \cdot 0$$ $$\displaystyle M v_1 = m v_2 \implies 2 \cdot 2 = m \cdot 4 \implies m = 1\text{ kg}$$

Γ5.

Το συσσωμάτωμα εκτελεί νέα ΑΑΤ με $D = k$. Να βρεθεί η συνάρτηση της ταχύτητας και να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση για μία περίοδο.

Μονάδες 5

Αναλυτική λύση Γ5

Γραφική παράσταση ταχύτητας συσσωματώματος.

Νέα μάζα συστήματος $M' = M + m = 3\text{ kg}$.

Νέα θέση ισορροπίας απέχει από το Φ.Μ.:

$$\displaystyle x_2 = \frac{M' g \sin\phi}{k} = \frac{3 \cdot 10 \cdot 0{,}5}{100} = 0{,}15\text{ m}$$

Επειδή το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στο Φ.Μ., η θέση αυτή είναι η άνω ακραία της νέας ταλάντωσης, άρα το νέο πλάτος είναι $A' = x_2 = 0{,}15\text{ m}$.

Νέα γωνιακή συχνότητα:

$$\displaystyle \omega' = \sqrt{\frac{k}{M'}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\text{ rad/s}$$

Η εξίσωση της ταχύτητας (με αρχική φάση $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$ αφού ξεκινά από θετικό άκρο):

$$\displaystyle v(t) = \omega' A'συν\left(\omega' t + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}ημ\left(\frac{10\sqrt{3}}{3} t\right)\text{ (S.I.)}$$

Περίοδος $T' = \frac{2\pi}{\omega'} = \frac{\pi\sqrt{3}}{5}\text{ s}$.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.

Δύο ιδανικά ελατήρια σταθερών $k_1 = 300\text{ N/m}$ και $k_2 = 100\text{ N/m}$ είναι στερεωμένα το ένα στο δάπεδο και το άλλο στην οροφή. Οι άξονές τους συμπίπτουν στην ίδια κατακόρυφο. Τα ελεύθερα άκρα τους απέχουν $S = 0{,}2\text{ m}$ όταν έχουν το φυσικό τους μήκος. Σε αυτά δένουμε σώμα μάζας $m = 6\text{ kg}$ (Σχήμα 6). Να αποδειχθεί ότι στη θέση ισορροπίας το ελατήριο $k_2$ δεν παραμορφώνεται.

Μονάδες 4

Σχήμα 6: Διάταξη με δύο κατακόρυφα ελατήρια.

Αναλυτική λύση Δ1

Ισορροπία σώματος στο άνω ελατήριο.

Αν κρεμάσουμε το σώμα μόνο από το πάνω ελατήριο $k_1$, η επιμήκυνση ισορροπίας $\Delta l_1$ είναι:

$$\displaystyle k_1 \Delta l_1 = m g \implies \Delta l_1 = \frac{m g}{k_1} = \frac{6 \cdot 10}{300} = 0{,}2\text{ m}$$

Επειδή η επιμήκυνση αυτή ισούται ακριβώς με την απόσταση $S = 0{,}2\text{ m}$, το σώμα ακουμπά ακριβώς στο ελεύθερο άκρο του κάτω ελατηρίου $k_2$ χωρίς να το παραμορφώνει ($\Delta l_2 = 0$). Συνεπώς, στη θέση ισορροπίας το $k_2$ βρίσκεται στο φυσικό του μήκος.

Δ2.

Από τη θέση ισορροπίας εκτρέπουμε το σώμα κατά $d = 0{,}2\text{ m}$ προς τα πάνω και το αφήνουμε. Να αποδειχθεί ότι εκτελεί ΑΑΤ και να βρεθεί η συχνότητα.

Μονάδες 5

Αναλυτική λύση Δ2

Διάγραμμα δυνάμεων σε τυχαία θέση απομάκρυνσης $x$.

Θεωρούμε τυχαία θέση $x$ πάνω από τη Θ.Ι. Η συνισταμένη δύναμη είναι:

$$\displaystyle \Sigma F = F_{1} - F_{2} - mg = k_1(\Delta l_1 - x) - k_2 x - mg$$ $$\displaystyle \Sigma F = k_1 \Delta l_1 - k_1 x - k_2 x - mg$$

Επειδή $k_1 \Delta l_1 = mg$:

$$\displaystyle \Sigma F = -(k_1 + k_2) x$$

Άρα η κίνηση είναι ΑΑΤ με σταθερά επαναφοράς $D = k_1 + k_2 = 300 + 100 = 400\text{ N/m}$.

Η συχνότητα είναι:

$$\displaystyle f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{D}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{400}{6}} \approx 1{,}30\text{ Hz}$$

Δ3.

Να βρεθεί η εξίσωση της επιτάχυνσης και να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση για $t$ από $0$ έως $2T$.

Μονάδες 5

Αναλυτική λύση Δ3

Γραφική παράσταση επιτάχυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Πλάτος $A = d = 0{,}2\text{ m}$, γωνιακή συχνότητα $\omega = \sqrt{\frac{D}{m}} = \sqrt{\frac{400}{6}} = \frac{20}{\sqrt{6}}\text{ rad/s}$.

Για $t = 0$, $x = +A \implies \phi_0 = \frac{\pi}{2}$.

$$\displaystyle a(t) = -\omega^2 Aημ\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = -\omega^2 Aσυν(\omega t)$$ $$\displaystyle a(t) = -\left(\frac{400}{6}\right) \cdot 0{,}2συν(8{,}16 t) = -13{,}33συν(8{,}16 t)\text{ (S.I.)}$$

Δ4.

Όταν το σώμα περνά από θέση με απομάκρυνση $x' = +0{,}1\text{ m}$ κινούμενο προς τα κάτω, να βρεθούν:

i. η κινητική ενέργεια
ii. ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
iii. ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου $k_1$

Μονάδες 7

Αναλυτική λύση Δ4

i. Κινητική Ενέργεια:

$$\displaystyle E = K + U \implies \frac{1}{2} D A^2 = K + \frac{1}{2} D x'^2 \implies K = \frac{1}{2} D (A^2 - x'^2)$$ $$\displaystyle K = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot (0{,}2^2 - 0{,}1^2) = 200 \cdot (0{,}04 - 0{,}01) = 6\text{ J}$$

ii. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας:

Η ταχύτητα στη θέση αυτή (με κατεύθυνση προς τα κάτω, $v < 0$):

$$\displaystyle K = \frac{1}{2} m v^2 \implies 6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot v^2 \implies |v| = \sqrt{2}\text{ m/s} \implies v = -\sqrt{2}\text{ m/s}$$ $$\displaystyle \frac{dK}{dt} = \Sigma F \cdot v = (-D x') \cdot v = (-400 \cdot 0{,}1) \cdot (-\sqrt{2}) = +40\sqrt{2}\text{ J/s}$$

iii. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας $k_1$:

Η παραμόρφωση του $k_1$ στη θέση αυτή είναι $y_1 = \Delta l_1 - x' = 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}1\text{ m}$. Αυτή (αφού το σώμα κινείται προς τα κάτω) θα γίνει πιο μεγάλη, συνεπώς η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι σε φάση ανάπτυξης dU/dt>0

$$\displaystyle \frac{dU_1}{dt} = F_1 \cdot |v| = k_1 y_1 |v| = 300 \cdot 0{,}1 \cdot \sqrt{2} = 30\sqrt{2}\text{ J/s}$$

Δ5.

Να βρεθεί η δύναμη του ελατηρίου $k_2$ ως συνάρτηση της απομάκρυνσης $x$ και να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση.

Μονάδες 4

Αναλυτική λύση Δ5

Δύναμη ελατηρίου $k_2$ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση.

Επειδή στη Θ.Ι. ($x = 0$) το ελατήριο $k_2$ έχει το φυσικό του μήκος, για κάθε απομάκρυνση $x$ η παραμόρφωση του ελατηρίου ισούται με $x$:

$$\displaystyle F_2(x) = -k_2 x = -100 x\text{ (S.I.)}, \quad \mu \epsilon \quad -0{,}2\text{ m} \le x \le 0{,}2\text{ m}$$

Η γραφική παράσταση είναι ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από την αρχή των αξόνων με κλίση $-100\text{ N/m}$.

✍️ Εσείς πώς θα το λύνατε;

Αν βρήκατε διαφορετική προσέγγιση, εναλλακτική λύση ή κάποιο «λεπτό σημείο» του διαγωνίσματος, γράψτε το στα σχόλια. Συχνά μια διαφορετική οπτική φωτίζει καλύτερα τη φυσική ιδέα.

Κατεβάστε το διαγώνισμα

📄 Κατεβάστε σε PDF 📝 Κατεβάστε σε Word

Δημιουργία: Αναστάσιος Νέζης | nezistasos.com

Επιμέλεια Ανάρτησης: Τάσος Τζανόπουλος | httpmyphysics.blogspot.com