🎯 3 Κρούσεις όπου η μία σφαίρα "παγώνει"
Ελαστικές μετωπικές κρούσεις σφαιρών χωρίς περιστροφή — Το Μυστικό για την Τέλεια Ακινητοποίηση!
📘 Άσκηση 1 Αντίρροπη
Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 4\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +12\text{ m/s}\). Στην πορεία της συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = \frac{8}{3}\text{ kg}\) που κινείται αντίρροπα με \(v_2 = -3\text{ m/s}\).
⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))
🔍 Προβολή Λύσης
Αναλυτική Λύση:
Οι ταχύτητες μετά την ελαστική μετωπική κρούση δίνονται από τους τύπους:
$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} v_2$$ $$v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2$$Υπολογισμός \(v_1'\):
$$v_1' = \frac{4 - \frac{8}{3}}{4 + \frac{8}{3}} \cdot (+12) + \frac{2 \cdot \frac{8}{3}}{4 + \frac{8}{3}} \cdot (-3) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot 12 + \frac{\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot (-3)$$ $$v_1' = \frac{4}{20} \cdot 12 - \frac{16}{20} \cdot 3 = \frac{48}{20} - \frac{48}{20} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$Υπολογισμός \(v_2'\):
$$v_2' = \frac{2 \cdot 4}{\frac{20}{3}} \cdot (+12) + \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot (-3) = \frac{24}{20} \cdot 12 + \frac{12}{20} = \frac{288 + 12}{20} = \frac{300}{20} = \mathbf{+15\text{ m/s}}$$📗 Άσκηση 2 Ομόρροπη Α
Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 3\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +10\text{ m/s}\) και συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = 5\text{ kg}\) που κινείται ομόρροπα με \(v_2 = +2\text{ m/s}\).
⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))
🔍 Προβολή Λύσης
Αναλυτική Λύση:
Έχουμε \(m_1 + m_2 = 8\text{ kg}\) και \(m_1 - m_2 = -2\text{ kg}\).
Υπολογισμός \(v_1'\):
$$v_1' = \frac{-2}{8} \cdot (+10) + \frac{2 \cdot 5}{8} \cdot (+2) = -\frac{20}{8} + \frac{20}{8} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$Υπολογισμός \(v_2'\):
$$v_2' = \frac{2 \cdot 3}{8} \cdot (+10) + \frac{5 - 3}{8} \cdot (+2) = \frac{60}{8} + \frac{4}{8} = \frac{64}{8} = \mathbf{+8\text{ m/s}}$$📕 Άσκηση 3 Ομόρροπη Β
Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 1\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +12\text{ m/s}\) και προσκρούει ελαστικά και μετωπικά σε προπορευόμενη σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = 4\text{ kg}\), η οποία κινείται ομόρροπα με \(v_2 = +4{,}5\text{ m/s}\).
⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))
🔍 Προβολή Λύσης
Αναλυτική Λύση:
Έχουμε \(m_1 + m_2 = 5\text{ kg}\) και \(m_1 - m_2 = -3\text{ kg}\).
Υπολογισμός \(v_1'\):
$$v_1' = \frac{-3}{5} \cdot (+12) + \frac{2 \cdot 4}{5} \cdot (+4{,}5) = -\frac{36}{5} + \frac{36}{5} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$Υπολογισμός \(v_2'\):
$$v_2' = \frac{2 \cdot 1}{5} \cdot (+12) + \frac{3}{5} \cdot (+4{,}5) = \frac{24}{5} + \frac{13{,}5}{5} = \frac{37{,}5}{5} = \mathbf{+7{,}5\text{ m/s}}$$