Δέκα απορίες μαθητών στην κρούση

 1.  {Κ} = {Ρ} --->  υ = ;

Μου δόθηκε η ερώτηση

«Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός σώματος ώστε η κινητική του ενέργεια και η ορμή του να έχουν ίδια αριθμητική τιμή;»

Και απάντησα ως εξής: 
¹⁄₂m υ·υ =  mυ  →  υ = 2 m/s

Όμως ο καθηγητής, στις οδηγίες που μας έδωσε, μας είπε να προσέξουμε, γιατί η σωστή λύση δεν περιλαμβάνει μόνο μια τιμή της ταχύτητας. Δεν μπορώ να βρω πού κάνω λάθος. Θα ήθελα να με διαφωτίσετε.

Απάντηση:

2. Με προβλημάτισε η λύση της παρακάτω άσκησης:

 «Ένας σκιέρ μάζας Μ, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε μια παγωμένη οριζόντια επιφάνεια κρατώντας μια μπάλα μάζας m. Κάποια στιγμή πετά οριζόντια τη μπάλα με ταχύτητα υ προς ένα κατακόρυφο τοίχο. Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο, αναπηδά και επιστρέφει στην αγκαλιά του σκιέρ. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του σκιέρ, αν αγνοήσουμε το πεδίο βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα;»

Η απάντηση στο βιβλίο είναι η εξής:

Εφαρμόζοντας δύο φορές την Α.Δ.Ο θα βρούμε την ταχύτητα του σκιέρ αμέσως μετά το πιάσιμο της μπάλας. Όταν πετάει την μπάλα προς τον τοίχο,

                                                               Μυ₁ = mυ                      (1)

Και όταν πιάνει την μπάλα κατά την επιστροφή  της,

                                             ( Μ + m)V₁ = Mυ₁ + mυ = 2mυ     (2)

                                                        V₁ = ^2mυ⁄_{m+M                    (3)}

 Έχω την εξής απορία που αφορά στη σχέση (2). Γνωρίζω ότι η σύγκρουση της μπάλας με τον άνθρωπο είναι ανελαστική και για αυτό τα δύο σώματα θα αποκτήσουν κοινή ταχύτητα. Δεν καταλαβαίνω όμως γιατί οι συγγραφείς  έχουν εξισώσει το ( Μ + m)V₁ με το 2mυ. Πώς προέκυψε το 2mυ!

Απάντηση:

3. Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Για εργασία στο σπίτι ο καθηγητής μας, μας έδωσε την εξής άσκηση:

Έστω ότι ένα υποθετικό τρένο μάζας m = 2 kg, φορτωμένο με ένα βαρύ σώμα μάζας Μ = 48 kg, κινείται ελεύθερα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ = 1m/s πάνω σε μια ευθύγραμμη σιδηρογραμμή. Ξαφνικά το σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς την πορεία του τρένου με ταχύτητα 0,5 m/s. Η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή και το άδειο τρένο συνεχίζει το ταξίδι του.

Ποια είναι η τελική ταχύτητα υ΄ του τρένου μετά την εκτόξευση του σώματος;

Η λύση μου έχει ως εξής. Επειδή δεν ασκείται κάποια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης του τρένου, η ορμή του συστήματος (τρένο – φορτίο) κατά τη διεύθυνση αυτή διατηρείται,

                                                            (Μ+m)υ = mυ΄         (1)

                                                               υ΄ = (Μ+m)υ⁄_m

                                                                    υ΄ =  (48kg + 2kg)(1m/s)⁄2kg = 25 m/s

Επειδή η λύση μου φάνηκε αρκετά απλή είπα να βρω και κάτι άλλο. Σκέφτηκα να δω τι συμβαίνει με τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος. Γνωρίζω ότι εδώ η συνολική κινητική ενέργεια δεν διατηρείται (έχουμε κάτι σαν σχάση όπου η ενέργεια αυτή αυξάνεται). Πράγματι,  η ενέργεια αυτή πριν την αποβολή του σώματος ήταν 25 J, ((1/2)50·1²) ενώ μετά παίρνει την τιμή 631 J ( (1/2)2·25²+ (1/2)48·0,5²).

Όμως ένας συμμαθητής μου, πολύ καλός στη φυσική, σε επικοινωνία που είχα μαζί του, μου είπε ότι αυτός έχει βρει άλλη τιμή για την ταχύτητα του τρένου, που δε θέλησε να μου την πει. Αντί γι' αυτό μου είπε ότι,τελικά, το σύστημα έχει κινητική ενέργεια 600 J μικρότερη από αυτήν που έχω βρει.

Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Απάντηση:

4. Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ορμής στο παρακάτω παράδειγμα;

 Θεωρείστε μέσα σε ένα ακίνητο βαγόνι τρένου δύο ελαστικές μπάλες Α και Β, που κινούνται οριζόντια με αντίθετες ορμές Ρ και -Ρ, αντίστοιχα. Κάποια στιγμή, η μπάλα Β που έχει ορμή -Ρ συγκρούεται  ελαστικά με το κατακόρυφο  τοίχωμα του βαγονιού και επιστρέφει με ορμή Ρ.  Πριν την κρούση η συνολική ορμή ήταν Ρ + (-Ρ) = 0, μετά είναι Ρ + Ρ = 2Ρ.

Δεν παραβιάζει αυτό την Αρχή διατήρησης της ορμής;

Απάντηση:

5. Γιατί δεν ισχύει ΔΚ = (ΔΡ)²/2m;

Όπως είναι γνωστό, η κινητική ενέργεια και η ορμή ενός σώματος συνδέονται με τη σχέση Κ = Ρ²/2m. Όμως στο παράδειγμα του διπλανού σχήματος, η μεταβολή ορμής είναι διαφορετική του μηδενός (2P), ενώ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με μηδέν.  Φαίνεται, δηλαδή, ότι δε συνδέονται με παρόμοια σχέση και οι μεταβολές αυτών των μεγεθών. Γιατί, όμως, δεν ισχύει ΔΚ = (ΔΡ)²/2m. 

Απάντηση:

6. Ένας πολύ μεγάλος αριθμός κρούσεων ανά sec και η πίεση που προκαλούν

Η παρακάτω ερώτηση πολλαπλής επιλογής έχει πέσει σε δημόσιες εξετάσεις εισαγωγής στην ανώτατη εκπαίδευση κάποιας μεγάλης χώρας.

Η μάζα ενός μορίου υδρογόνου είναι 3,32·10^-27 kg. Αν 10²³ μόρια υδρογόνου προσπίπτουν ανά sec σε μια λεία επίπεδη επιφάνεια 2 cm² υπό γωνία 45⁰ με ταχύτητα 10³ m/s και αναπηδούν ελαστικά, τότε η πίεση στην επιφάνεια είναι:

   α. 2,35·10² Ν/m²,   β.  2,35·10³ Ν/m²,   γ. 4,70·10³ Ν/m²  

Σκέφτηκα να βρω τη συνολική μεταβολή ορμής των μορίων και να διαιρέσω με το χρόνο 1s, δηλαδή, (dP₁+dP₂+dP₃+ … +dP_N)/(1 s), αλλά δε βρίσκω αυτή τη σκέψη σωστή, γιατί το πηλίκο αυτό μπορεί να σπάσει σε Ν κλάσματα με παρονομαστή 1 s και έτσι είναι σα να θεωρώ ότι κάθε μεταβολή διαρκεί 1 s. Κάθε τέτοια όμως μεταβολή διαρκεί όσο και η κρούση κάθε μορίου, δηλαδή απειροελάχιστο χρόνο. Έχω μπερδευτεί. 

Απάντηση: 

7. Ξεκίνησα με το θεώρημα έργου – ενέργειας και βρέθηκα σε αδιέξοδο.

Δοκίμασα να λύσω την παρακάτω άσκηση ελαστικής κρούσης:

Η μπάλα πετιέται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ­₀ από το σημείο Α του αριστερού τοιχώματος ενός φρεατίου και συγκρούεται ελαστικά με το απέναντι δεξί τοίχωμα. Τελικά πέφτει στη βάση του φρεατίου στο σημείο Β, που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α. Τριβές δεν υπάρχουν. ­ 

Η ερώτηση είναι, 

ποια από τις παρακάτω παραστάσεις 

       α. L√g/h   ,  β. L√2g/h   ,  γ. 2L√g/h   ,   δ. 2L√2g/h   

αντιστοιχεί στην αρχική ταχύτητα υ₀.

Ξεκίνησα με το θεώρημα έργου – ενέργειας και κατέληξα στη σχέση:

                                                          υ_Β² = υ₀² + 2gh

Εδώ σταμάτησα, δεν μπορώ να προχωρήσω άλλο. Δεν ξέρω πώς να χρησιμοποιήσω το L για να απαλλαγώ από την τελική ταχύτητα υ_Β.

Απάντηση:  

8.  Μια κεντρική κρούση όπου υ₁ ≤ υ/2 

Απορία μαθητή

Μου δόθηκε η εξής ερώτηση:

Θεωρείστε δύο λεία σφαιρικά σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες. Το Σ₂ είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Σ₁ κινείται πάνω στο επίπεδο αυτό και πλησιάζει το Σ₂ με ταχύτητα υ. Υποθέστε ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα, οι οποίες είναι συγγραμμικές με την υ και έχουν την ίδια φορά με αυτήν.

Να δείξετε ότι υ₁ ≤ υ/2 .

     Να πώς σκέφτηκα: Αφού όλες οι ταχύτητες είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά, μπορώ να υποθέσω ότι  υ ≥0, υ₁≥0, υ₂≥0.

    Εφαρμόζω Α.Δ.Ο:                    mυ = mυ₁ + mυ₂ 

                                                     →   υ = υ₁ + υ₂              (1)

   Στη συνέχεια όμως μπερδεύομαι και δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα αποδείξω αυτό που μου ζητούν. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η κρούση είναι κεντρική, δεν δίνεται όμως καμιά άλλη πληροφορία. Γνωρίζω ότι η τιμή των τελικών ταχυτήτων  διαμορφώνεται ανάλογα με το είδος της κρούσης. Έτσι, αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ότι υ = 10 m/s και υ₂ = 4 m/s, τότε από την παραπάνω σχέση  της Α.Δ.Ο. προκύπτει ότι υ₁ = 6 m/s, οπότε δεν έχουμε  υ₁ ≤ υ/2.  (Σε αυτήν την περίπτωση, βέβαια, το Σ₁ πρέπει να περάσει μέσα από το Σ₂, αλλά από την εκφώνηση δεν προκύπτει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο).

Κάνω κάπου λάθος; Μου έχουν πει ότι η παραπάνω ερώτηση έχει μια πολύ εύκολη απάντηση.

Θα χαρώ πολύ αν μου δώσετε τα φώτα σας.

Νίκος Τ.

Απάντηση:  

9. Ελαστική κρούση τριών σωμάτων. Ολική μεταφορά.

Είναι γνωστό ότι στην περίπτωση της ελαστικής κρούσης του διπλανού σχήματος, η κινητική ενέργεια του σώματος Α θα μεταφερθεί, τελικά, μέσω του Β, στο Γ. Υπάρχει άλλη περίπτωση ελαστικής κρούσης τριών σωμάτων, όπου τελικά έχουμε ολική μεταφοράς της κινητικής ενέργειας σε ένα μόνο από αυτά;

Η απάντηση του καθηγητού μου είναι, ΝΑΙ, και όχι μόνο μια, αλλά άπειρες! Μου δίνετε ένα παράδειγμα παρακαλώ;

Απάντηση:

10. “ Όταν οι πάγοι λιώνουν”

Στο παρακάτω πρόβλημα δεν δυσκολεύτηκα στο μέρος Ι. Θα ήθελα όμως μια λύση για το ΙΙ. Οι απαντήσεις μου δεν συμφωνούν με τις απαντήσεις του βιβλίου μου. 

Ένα ανοικτό μικρό βαγόνι κινείται με ταχύτητα υ, χωρίς τριβές και χωρίς αντίσταση από τον αέρα, πάνω στις ράγες μιας ευθύγραμμης σιδηροδρομικής γραμμής. Κάποια στιγμή, καθώς διέρχεται κάτω από μια γέφυρα, αφήνονται από αυτήν να πέσουν κατακόρυφα πάνω στο βαγόνι ένας αριθμός από παγοκολόνες (ίσως ένας έξυπνος τρόπος να φορτώσουμε γρήγορα και με λιγότερο κόπο το βαγόνι). Η κρούση είναι πλαστική.

Ι. Θεωρείστε το σύστημα «βαγόνι - παγοκολόνες». Τι συμβαίνει στις παρακάτω ποσότητες αυτού του συστήματος, καθώς οι παγοκολόνες “φορτώνονται” στο βαγόνι;

α. Στην οριζόντια ορμή του,

β. στην ταχύτητά του,

γ. στην κινητική του ενέργεια.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΙΙ. Έπειτα από κάποιο χρονικό διάστημα οι παγοκολόνες αρχίζουν να λιώνουν και, καθώς το βαγόνι με το περιεχόμενό του συνεχίζει το ταξίδι του χωρίς τριβές και αντίσταση του αέρα, το νερό που δημιουργείται τρέχει από μια οπή στη βάση του.

Τι συμβαίνει τώρα στην ορμή, στην ταχύτητα και στην κινητική ενέργεια του συστήματος που περιλαμβάνει το βαγόνι και το περιεχόμενό του; 

Απάντηση: