Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Τρίτη 28 Απριλίου 2020

Ισορροπία και θεώρημα Torricelli


    
Μια ομογενής σφαίρα ακτίνας R περιέχει νερό μέχρις ύψους R/2 πάνω από την οριζόντια διάμετρό της, σε μια θέση της οποίας υπάρχει ένα κλειστό βρυσάκι. Η συνολική μάζα σφαίρας – νερού είναι Μ = 10 kg. Η σφαίρα υποστηρίζεται από δύο αμελητέου βάρους κατακορύφους ράβδους μήκους L = 4R που στερεώνονται στο δάπεδο με αρθρώσεις, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Οι δύο ράβδοι βρίσκονται σε απόσταση d = R3 και συνδέονται με σχοινί σε ύψος h = d. Δεν υπάρχει τριβή μεταξύ της σφαίρας και των ράβδων και το σύστημα ισορροπεί.
α. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ενεργούν πάνω στη σφαίρα και βρείτε το μέγεθος της δύναμης που κάθε ράβδος ασκεί στη σφαίρα.
β. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ενεργούν στη μια από τις δύο ράβδους και υπολογίστε την τάση Τ του σχοινιού.
γ. Να βρείτε την οριζόντια και την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται κάθε ράβδος από την άρθρωσή της στη βάση.
 δ. Αφαιρούμε το κάλυμμα από το πάνω μέρος της σφαίρας και ανοίγουμε το βρυσάκι, οπότε το νερό εκτινάσσεται με μορφή πίδακος. Σε απόσταση s = 1,5R πάνω στο έδαφος υπάρχει ένα μικρό δοχείο. Κάποια στιγμή το νερό του πίδακα αρχίζει να εισχωρεί μέσα στο δοχείο. Να βρείτε τότε το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη σφαίρα.
Δίνεται : g = 10 m/s2, συν30ο = 0,87 

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word


7 σχόλια :

  1. Για το ερώτημα δ θα ήθελα να κάνω το εξής σχόλιο: όταν το υγρό βρίσκεται κατά Χ πανω απο την οπη του υ=√2gx.ομως στο χρόνο που μεσολαβεί μέχρι να φτάσει το υγρό στο ποτηρι η στάθμη έχει κατέβει κατά dx

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ευχαριστώ, πολύ σωστή παρατήρηση, γιαυτό πρέπει να τονιστεί στην εκφώνηση η μεγάλη διαφορά ανάμεσα στις διαμέτρους σφαίρας και οπής της βρύσης. Ο χαρακτηρισμός "βρυσάκι" μάλλον μας επιτρέπει να το εννοήσουμε αυτό. Δε θα αλλάξω την εκφώνηση ώστε το σχόλιό σου να εξακολουθεί να έχει ισχύ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Μα αμα θεωρήσουμε την διάμετρο της σφαίρας παρα πολυ μεγαλυτερη απο την οπη η στάθμη δν κατεβαίνει και το βεληνεκές είναι σταθερό και όσο με 3R

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Δεν είναι σωστό ότι δεν κατεβαίνει η στάθμη. Αν σ/S ο λόγος των εμβαδών της διατομής της βρύσης και της στάθμης του νερού και υβ η ταχύτητα εκτίναξης του νερού, μια συγκεκριμένη στιγμή, η στάθμη του νερού θα κατεβαίνει πολύ αργά με ταχύτητα (σ/s)υβ. Αυτό έχει τις εξής συνέπειες:
    1. Να μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Torricelli.
    2. Να χρειαστεί πολύς χρόνος ώστε το βεληνεκές από 3R να γίνει 1,5R και η στάθμη του νερού να κατέλθει κατά R/2 – R/8.
    3. O χρόνος t που χρειάζεται το νερό που εκτοξεύεται να φτάσει στο έδαφος να είναι πολύ μικρότερος από τον παραπάνω χρόνο.
    4. Στον παραπάνω χρόνο η κάθοδος της στάθμης να είναι πρακτικά αμελητέα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Το βάρος της σφαίρας με το νερό εφαρμόζεται στο κέντρο, χωρίς η σφαίρα να είναι γεμάτη με νερό; Το αρχικό R/2 χρειάζεται;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Ευχαριστώ για την πολύ σημαντική επισήμανσή σου. Ναι, στο πρώτο σχήμα της λύσης το σημείο εφαρμογής του βάρους θεώρησέ το πιο χαμηλά. Οι κάθετες αντιδράσεις δεν αλλάζουν, διέρχονται από το κέντρο. Η λύση δεν επηρεάζεται. Το ύψος R/2 πάνω από το βρυσάκι αφορά στην αρχική ταχύτητα εκροής του νερού από το βρυσάκι και το αρχικό βεληνεκές. Μια ερώτηση που την αφαίρεσα γιατί τη θεώρησα ως πλεονασμό.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Άφησε το σχόλιό σου.