Η απάντηση στο παράδοξο της συνολικής στροφορμής δύο δίσκων

Δεν έχουμε εδώ διατήρηση της στροφορμής του συστήματος των δύο δίσκων. Αν ίσχυε, θα είχαμε: Ι₁ω₀ = Ι₁ω₁ – Ι₂ω₂, δηλαδή Ι₁ω₁ = Ι₁ω₀ + Ι₂ω₂, οπότε ω₁ > ω₀ και άρα η κινητική ενέργεια κάθε δίσκου θα αύξαινε, άρα και του συστήματος. Φυσικά, αυτό αντίκειται στην Α.Δ.Ε. συστήματος.

Τι συμβαίνει λοιπόν; 

Κοιτάξτε το αριστερό σχήμα (α): Θεωρήστε τους δύο δίσκους πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Είναι η στιγμή που φέρνουμε σε επαφή τις περιφέρειες των  δύο δίσκων. Έχουν σχεδιαστεί οι δύο τριβές ολίσθησης (με κόκκινο χρώμα) στις περιφέρειες των δύο δίσκων. Είναι δύο δυνάμεις αντίθετες (δράση – αντίδραση), που δρουν στα σημεία επαφής των περιφερειών των δύο δίσκων. Επειδή οι εξωτερικές δυνάμεις, βάρος -  αντίδραση δαπέδου, έχουν συνισταμένη μηδέν, κάθε δίσκος δέχεται μια καθαρή δύναμη Τ, που παρουσιάζει ροπή ως προς το κέντρο μάζας του. Το αποτέλεσμα είναι γνωστό: Ο δίσκος 2 θα εκτελέσει μια σύνθετη κίνηση, μεταφορική κατά τη διεύθυνση της Τ και στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του, κατά τη φορά της ροπής της Τ. Αντίστοιχα, ο δίσκος 1 θα εκτελέσει και αυτός μια μεταφορική κίνηση κατά τη φορά της Τ, ενώ η στροφική κίνηση θα περιοριστεί και θα μειωθεί (λόγω της ροπής της Τ) η γωνιακή του ταχύτητα. Έτσι, σε ελάχιστο χρονικό διάστημα, οι δύο δίσκοι θα απομακρυνθούν κινούμενοι όπως στο σχήμα (β).

Όμως, στο πρόβλημά μας, υπάρχουν δύο ακλόνητοι άξονες περιστροφής κάθετοι στα κέντρα των δύο δίσκων   και, όπως φαίνεται από την παραπάνω ανάλυση, αυτοί οι δύο άξονες δε θα επιτρέψουν τη μεταφορική κίνηση των δύο δίσκων. Πρέπει, λοιπόν, στη διάρκεια που οι δύο περιφέρειες ασκούν τριβή η μία στην άλλη, ο άξονας κάθε δίσκου να ασκεί δύναμη αντίθετη της τριβής που δέχεται, (στο σχήμα γ φαίνονται με μπλε χρώμα), ώστε να ισχύει σε καθένα δίσκο η συνθήκη ΣF = 0*. 

Οι δυνάμεις αυτές των αξόνων είναι εξωτερικές δυνάμεις, και για το σύστημα των δύο δίσκων αποτελούν ζεύγος εξωτερικών δυνάμεων. Αν γνωρίζουμε τις τριβές Τ, τότε στο σύστημα των δύο δίσκων ενεργεί μια εξωτερική ροπή -Τ(r₁ + r₂) κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αρνητική).

Επειδή η εξωτερική ροπή έχει φορά αντίθετη από την αρχική στροφορμή του συστήματος, η στροφορμή του συστήματος μειώνεται.

* Ουσιαστικά, η ροπή Tr₁ ή Tr₂, σε κάθε δίσκο, είναι η ροπή του ζεύγους των δυνάμεων Τ που ενεργεί σε καθένα από αυτούς.

Στο σύστημα των δύο δίσκων ενεργούν, επίσης, και άλλα δύο ζεύγη δυνάμεων με μηδενική ροπή, αφού οι άξονές τους ταυτίζονται. Είναι οι οριζόντιες δυνάμεις Ν με τις οποίες οι άξονες κρατούν σε επαφή τους δύο δίσκους (οι κόκκινες, που είναι εσωτερικές στο σύστημα των δύο δίσκων, απαραίτητες για την εμφάνιση των τριβών, Τ = μΝ) και οι μπλε που είναι εξωτερικές δυνάμεις από τους δύο άξονες προς τους δίσκους, με συνισταμένη μηδέν.  

Είναι, λοιπόν, φανερό ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε καμία από τις αρχές διατήρησης (ενέργειας ή στροφορμής).

Τότε, πώς θα λύσουμε την άσκηση;

Μόνο με τη βοήθεια του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης:

Έστω Δt το χρονικό διάστημα ολίσθησης των περιφερειών των δύο δίσκων. Όταν οι περιφέρειες σταματήσουν να ολισθαίνουν μεταξύ τους, τότε τα σημεία επαφής τους θα έχουν ίσες ταχύτητες (υ₁ = υ₂  → ω₁r₁ = ω₂r₂) και έτσι θα σταματήσουν να τρίβονται μεταξύ τους (Τ = 0).

Για κάθε δίσκο ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης (Στ = ΔL/Δt) παίρνει τη μορφή:

                                 -Τr₁ = I₁(ω₁ – ω₀)/Δt,   για τον δίσκο 1, και

                                  Τr₂ = I₂(ω₂ – 0)/Δt,     για το δίσκο 2

Διαιρούμε:                 

                                  - r₁/r₂ = [I₁(ω₁ – ω₀)]/I₂ω₂

Από την ισότητα των ταχυτήτων προκύπτει ότι ω₂ = ω₁r₁/r₂ και αν θέσουμε αυτή την τιμή του ω₂ στην παραπάνω σχέση, θα βρούμε τελικά:

                                      ω₁ = (Ι₁ω₀)/[Ι₁ + (r₁/r₂)²I₂]

Το παράδοξο της συνολικής στροφορμής δύο δίσκων

 Ένας μαθητής, μου έστειλε το παρακάτω πρόβλημα που τους έδωσε ο καθηγητής τους:

«Οι δύο οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι 1 και 2 μπορούν να περιστρέφονται, ο καθένας, γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα κάθετο στην επιφάνειά τους, που διέρχεται από το κέντρο τους, χωρίς τριβές. Οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα περιστροφής τους είναι Ι₁ και Ι₂, αντίστοιχα, και οι ακτίνες τους r₁ και r₂ .

Αρχικά ο δίσκος 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω₀ , ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Χωρίς να αλλάξουμε τον προσανατολισμό των αξόνων τους, πλησιάζουμε τους δύο δίσκους και τους φέρνουμε σε επαφή. Οι περιφέρειες των δύο δίσκων  γλιστρούν αρχικά η μια ως προς την άλλη, αλλά τελικά η ολίσθηση αυτή σταματά, λόγω της μεταξύ τους τριβής. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω₁ του δίσκου 1 ».  

Μου γράφει: « Σκέφτηκα πως δεν μπορώ να πάρω Α.Δ.Μ.Ε για το σύστημα, γιατί οι τριβές μεταξύ των δύο δίσκων θα μετατρέψουν μέρος της κινητικής ενέργειας του δίσκου 1 σε θερμότητα.

Γνωρίζω όμως ότι, εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Εδώ, το σύστημα των δύο δίσκων είναι μονωμένο. Οι εξωτερικές δυνάμεις είναι τα βάρη των δύο δίσκων και οι δυνάμεις από τα στηρίγματα των αξόνων περιστροφής. Αυτές όμως εξουδετερώνονται αφού το σύστημα δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα, άρα εξουδετερώνονται και οι ροπές τους. Οι δυνάμεις των τριβών ανάμεσα στις περιφέρειες των δύο δίσκων είναι εσωτερικές δυνάμεις και η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική, αφού αυτές απαντούν κατά ζεύγη και έτσι έχουν αντίθετες ροπές. Αποφάσισα λοιπόν να εφαρμόσω Α.Δ.Σ:

                                                          Ι₁ω₀ = Ι₁ω₁ – Ι₂ω₂     (1)

Το (-) γιατί ο δίσκος 2 θα στραφεί δεξιόστροφα. Όταν παύουν να ολισθαίνουν μεταξύ τους, τα σημεία των περιφερειών των δύο δίσκων έχουν ίδια ταχύτητα, δηλ. 

                                           υ₁ = υ₂  ή ω₁r₁ = ω₂r₂  →  ω_{2 =} ω₁r_1/ r₂ , 

οπότε από την (1) έχουμε τελικά:

                                                        ω₁ = Ι₁ω₀/(Ι₁  – Ι₂r₁/r₂)

Όμως ο καθηγητής μου, λέει ότι η λύση αυτή είναι λάθος γιατί το σύστημα δεν είναι μονωμένο  καθώς υπάρχει μια εξωτερική ροπή που ενεργεί πάνω του. Δεν καταλαβαίνω ποια είναι η εξωτερική ροπή στη συγκεκριμένη περίπτωση.

Μπορείτε να μου εξηγήσετε σας παρακαλώ;

Κούνια και διατήρηση στροφορμής, η ερώτηση

Το κέντρο μάζας του παιδιού, με λυγισμένα τα γόνατα, βρίσκεται σε απόσταση ΟΒ από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία (θέση 1), και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του (θέση 3) το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄.

Να επιλέξετε το σωστό σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ι. Το μέτρο της στροφορμής του παιδιού, γύρω από το Ο, κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄,

Κούνια και διατήρηση στροφορμής, η άσκηση

                              

Έστω ότι το κέντρο μάζας (σημείο B) ενός παιδιού, που κάθεται πατώντας με λυγισμένα τα γόνατα σε μια ελαφριά κούνια, βρίσκεται σε ύψος 1,2 m πάνω από το έδαφος. Το βάρος του παιδιού είναι 400 Ν και το κέντρο μάζας του, με λυγισμένα τα γόνατα, απέχει 3,7 m από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία, και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄, κατά 0,6 m ψηλότερα. Να βρείτε:

Ένα παιδικό παιχνίδι με μάλλον απρόσμενη συμπεριφορά. ( Η άσκηση)

 Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz΄.

Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg, φέρει οπή κατά μήκος  του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ.

Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ = 3/8 m από το Β.

Ένα παιδικό παιχνίδι με μάλλον απρόσμενη συμπεριφορά. (Η ερώτηση)

Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz΄.

Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg, φέρει οπή κατά μήκος  του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ.

Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ από το Β και η στροφορμή του ως προς τον άξονα zz΄ έχει τιμή L.

Αν το σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω΄= 2ω, τότε το σώμα ισορροπεί σε μια θέση όπου:

Όπου οι τριβές είναι στο όριό τους

Δύο παρόμοιοι ξύλινοι κύβοι, βάρους w = 15 N, υποστηρίζονται από μια αβαρή ράβδο με κλίση 45^ο ως προς το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν και οι δύο κύβοι βρίσκονται σε κατάσταση οριακής ισορροπίας* και ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής (μ_w) μεταξύ του κύβου Β και το τοίχου είναι 0,5, τότε:

“Υγρή” ταλάντωση

Ο ανοικτός και στις δύο βάσεις  του κατακόρυφος κυλινδρικός σωλήνας του σχήματος, σταθερής διατομής Α, συγκρατείται ημιβυθισμένος σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α).

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα.

Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα, να δείξετε ότι:

α. Υπάρχει θέση, όπου η ταχύτητα του σώματος Σ γίνεται μέγιστη και να βρείτε την απόστασή της από την αρχική του θέση.

Αναρρόφηση νερού σε μέγιστο ύψος με τη βοήθεια εμβόλου

Αναφερόμαστε στην  προηγούμενη άσκηση, με τη διαφορά ότι τώρα το κάτω ανοικτό άκρο του κατακόρυφου σωλήνα συγκρατείται ημιβυθισμένο σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας, γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α).

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα.

Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα σε σχέση με τη μάζα m του σώματος Σ, τότε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το νερό στο σωλήνα, μετρούμενο από την επιφάνεια

Άντληση νερού και ισορροπία

Το έμβολο του σχήματος εφαρμόζει αεροστεγώς στα εσωτερικά τοιχώματα ενός κατακόρυφου κυλινδρικού σωλήνα, που είναι ανοικτός και στα δύο του άκρα και μπορεί να κινείται μέσα σε αυτόν χωρίς τριβές. Στην αρχή ισορροπεί στη θέση που φαίνεται στο σχήμα (α), με τη βοήθεια ενός σχοινιού στην άλλη άκρη του οποίου έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ μάζας m. Αρχικά συγκρατούμε το σώμα για να μην κινηθεί προς τα κάτω. Ο σωλήνας είναι ημιβυθισμένος μέσα σε ένα δοχείο που περιέχει νερό όγκου 2L. Αφήνουμε σιγά – σιγά το σώμα Σ να κατέβει, με αποτέλεσμα το έμβολο να ανέβει και να εισέλθει νερό μέσα στο σωλήνα.

Σταθεροποίηση στάθμης και βεληνεκούς με δύο τρόπους. Ένα ακόμη θέμα Β στα ρευστά

Το κυλινδρικό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό, του οποίου η ελεύθερη επιφάνεια φτάνει σε ύψος  Η₀ από τη βάση του.  Ανοίγουμε μια τρύπα εμβαδού α m² σε ύψος h < H₀/2 και το νερό αρχίζει να εκτινάσσεται από αυτήν με αρχική οριζόντια ταχύτητα πέφτοντας τελικά στο έδαφος. Ταυτόχρονα, ανοίγουμε μια βρύση και αρχίζουμε να παρέχουμε νερό στο δοχείο με σταθερή παροχή Π_β = α√2gh  m³/s.
 Ι. Η  στάθμη του νερού στο δοχείο:

α. Παραμένει στο ύψος Η₀.

β. Αρχίζει να πέφτει και κάποια στιγμή σταθεροποιείται σε ύψος 2h.

γ. Αρχίζει να πέφτει και κάποια στιγμή σταθεροποιείται στο ύψος h.

ΙΙ. Το βεληνεκές της φλέβας:

Τρία πρωτότυπα θέματα Β στα ρευστά 1. Η κούπα του Πυθαγόρα

Στο σχήμα (α) έχουμε σχεδιάσει την «κούπα του Πυθαγόρα», όπου μέσω ενός ανοίγματος, το υγρό που προσθέτουμε, εκτός από τον εμφανή χώρο στο εσωτερικό του κυπέλλου, εισχωρεί και στο κατακόρυφο “κρυφό” κανάλι ΔΕ (σχήμα β), το οποίο επικοινωνεί με δεύτερο ανοικτό κατακόρυφο κανάλι ΕΖ σταθερής διατομής. Αυτό διατρέχει τον κορμό του κύπελου και καταλήγει σε ένα άνοιγμα (στο σημείο Ζ) της βάσης του. Έτσι, αν η στάθμη του υγρού είναι χαμηλότερα από το σημείο Ε, δηλαδή ως το ύψος h (σχήματα β, γ), αυτό παραμένει μέσα στο κύπελλο, αν όμως ξεπεράσει το σημείο Ε τότε το υγρό οδηγείται στο κανάλι ΕΖ και από εκεί βγαίνει έξω από το κύπελλο, από το άνοιγμα της βάσης του στο σημείο Ζ.

 
Στο σχήμα (δ), ένα ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ ισορροπεί μέσα σε ένα τέτοιο κύπελλο με τη στάθμη του σε ύψος Η > h, δεν χύνεται όμως γιατί  έχουμε σφηνώσει ένα κομμάτι φελλού στο άνοιγμα της βάσης του κύπελου.  Στη συνέχεια αφαιρούμε το φελλό και το υγρό αρχίζει να ρέει στο κανάλι ΔΕΖ και να εξέρχεται από το Ζ.

Τι από τα παρακάτω θα συμβεί:

2. Δύο πίδακες που εκτινάσσονται οριζόντια από δύο διαφορετικά βάθη h1 και h2 συναντιούνται σε βάθος h1+h2

Δύο πίδακες που εκτινάσσονται οριζόντια από δύο διαφορετικά βάθη h₁ και h₂ συναντιούνται. Στην άσκηση αυτή θα δούμε τι αντιπροσωπεύουν οι παραστάσεις: 

	_______
h1 + h2  και  2 √	h1h2

Άσκηση:

Το ανοικτό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό. Σε δύο σημεία E και Z της ίδιας κατακορύφου του τοιχώματος του δοχείου και σε βάθη h₁ και h₂, αντίστοιχα, ανοίγουμε δύο οπές πολύ μικρής διατομής από τις οποίες εκτοξεύονται δύο πίδακες νερού.

Ι. Η απόσταση y_Σ, του σημείου συνάντησης Σ των δύο πιδάκων από την επιφάνεια του νερού, είναι ίση με:

	_______
α. 2(h1 - h2),       β.  h1 + h2        γ. 2√	h1h2

3. Με πόση δύναμη συγκρατούσε ο Torricelli τον κατακόρυφο σωλήνα;

Όταν άκουσε η Σοφία την εξήγηση στο γιατί ο Torricelli, στο ομώνυμο πείραμά του, συγκρατούσε το σωλήνα έτσι ώστε να μην ακουμπάει στον πυθμένα του δοχείου, αναρωτήθηκε αυθόρμητα: 
- Με πόση άραγε δύναμη; 
Στερεώσαμε το σωλήνα σε ένα ελατήριο... 
- Φυσικά, με δύναμη ίση με αυτήν που ασκεί το ελατήριο στο σωλήνα με τον υδράργυρο!! 
Αποφάνθηκε ο Γιάννης 🌝...

Οι δύο αντεστραμμένοι κατακόρυφοι γυάλινοι σωλήνες, κλειστοί στο πάνω άκρο τους και αμελητέου βάρους, περιέχουν ο πρώτος νερό (με το οποίο είναι γεμάτος), και ο δεύτερος υδράργυρο ως ένα ύψος (από εκεί και πάνω υπάρχει κενό). Το ανοικτό στόμιο του πρώτου είναι βυθισμένο μέσα σε νερό, ενώ του δεύτερου σε υδράργυρο.

Ι. Για καθεμιά περίπτωση χωριστά, τι από τα παρακάτω είναι σωστό:

α. Δύναμη ελατηρίου > βάρος υγρού στο σωλήνα*

Μια αντλία προωθεί Νευτώνειο ρευστό σε οριζόντιο σωλήνα

Στην έξοδο μιας αντλίας νερού συνδέεται ένας οριζόντιος σωλήνας σταθερής διατομής Α = 20 cm². Στην αρχή του σωλήνα αυτού, η αντλία εισάγει το νερό που απορροφά από μια υπόγεια δεξαμενή και το προωθεί υπό πίεση Ρ_εισ = 400 kPa.

Το άλλο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα, όπου επικρατεί πίεση ίση με 100 kPa.

Το νερό συμπεριφέρεται ως Νευτώνειο υγρό, οπότε η αντλία καταναλώνει ισχύ ώστε αυτό να κινείται κατά μήκος του σωλήνα με σταθερή μέση ταχύτητα.

Πυροσβεστικό όχημα – σωλήνας πυρόσβεσης

Οι πυροσβεστικοί εύκαμπτοι σωλήνες, που χρησιμοποιούνται σε πυρκαγιές μεγάλων κατασκευών, έχουν εγκάρσια διατομή A₁ = 32 cm². Ας υποθέσουμε ότι σε ένα τέτοιο σωλήνα το νερό ξεκινά με πίεση P₁ και με παροχή Π = 48 L/s. Ο εύκαμπτος αυτός σωλήνας φτάνει σε ύψος h = 10 m, πάνω σε μια τηλεσκοπική σκάλα ενός οχήματος πυρόσβεσης, και τελειώνει σε ένα ακροφύσιο που έχει εσωτερική διατομή A₂ = 8 cm².

α. Υποθέτοντας αμελητέες τις τριβές κατά την κίνηση του νερού στο σωλήνα, να υπολογίσετε την πίεση Ρ₁ του νερού στην αρχή του  σωλήνα.

Πυροσβεστήρας νερού

(Ένα εύκολο θέμα Β για τη γνωριμία με αυτού του είδους πυροσβεστήρα)

Σε έναν πυροσβεστήρα νερού, ο εγκλωβισμένος, υπό υψηλή πίεση αέρας, εξαναγκάζει το νερό να εκτοξεύεται από το ακροφύσιό του με μεγάλη ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θέτουμε σε λειτουργία έναν τέτοιο πυροσβεστήρα και διαπιστώνουμε ότι το νερό εκτοξεύεται με ταχύτητα v = 30 m/s όταν η στάθμη του νερού στο δοχείο είναι 0,5 m κάτω από το ακροφύσιο.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η πίεση του αέρα μέσα στον πυροσβεστήρα είναι κατά

Σύγκριση των ισχύων δύο αντλιών, ένα Β΄ ΘΕΜΑ

Στο σχήμα διακρίνουμε μια αντλία νερού, στην οποία η διατομή του σωλήνα απορρόφησης νερού είναι Α₁=25 cm², ενώ η διατομή του σωλήνα στον οποίο οδηγείται το νερό είναι Α₂ = 10 cm².

Τα δύο μανόμετρα δείχνουν διαφορά πίεσης Ρ₂ – Ρ_1­ = 280 kPa, όταν η αντλία αντλεί το νερό με ρυθμό Π = 36m³/h. 

Να επιλέξετε, σε καθεμιά από τις τρεις προτάσεις που ακολουθούν, το σωστό και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ι. Αν υ₁, υ₂ είναι οι ταχύτητες ροής του νερού  στους σωλήνες απορρόφησης και εκροής, αντίστοιχα, τότε για την ισχύ Ρ_αντλ της αντλίας ισχύει:

α) Ρ_αντλ = (Ρ₂– Ρ₁)Π + ½ρΠ(υ₂²– υ₁²),   β) Ρ_αντλ = (Ρ₂– Ρ₁)Π,    γ)  Ρ_αντλ = ½ρΠ(υ₂²– υ₁²)

Όπου μια αντλία συνδέεται με σωλήνες διαφορετικής διατομής, (ή με πόσους τρόπους, τελικά, μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ μιας αντλίας;)

(Βελτιωμένη παρουσίαση)

Με τη βοήθεια μιας αντλίας επιφανείας πρόκειται να αντλήσουμε νερό με έναν αναρροφητικό σωλήνα, σταθερής εγκάρσιας διατομής Α₁ = 4 cm², από μια μεγάλη δεξαμενή της οποίας η ελεύθερη στάθμη βρίσκεται χαμηλότερα από την αντλία, σε βάθος Η=3,2 m. Κατά τη λειτουργία της αντλίας, ένα μανόμετρο δείχνει ότι η πίεση σε ένα σημείο Λ, στο εσωτερικό του σωλήνα και κοντά στην είσοδο της αντλίας, είναι ίση με 50 kpa. Το νερό μετά την αντλία εισέρχεται σε έναν οριζόντιο σωλήνα μικρότερης διατομής Α₂ = 2 cm², και από εκεί εξέρχεται στον αέρα.

Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

α) Πόσα κυβικά μέτρα νερού θα αφαιρέσει η αντλία από τη δεξαμενή σε μια ώρα;

Αντλία – έμβολο - ελατήριο

Με τη βοήθεια μιας αντλίας πρόκειται να μεταγγίσουμε νερό από μια μεγάλη δεξαμενή Δ₁ σε μια μικρή κυλινδρική δεξαμενή Δ₂, που η βάση της έχει εμβαδό Α_ε = 0,8 m².

Πριν την έναρξη λειτουργίας της αντλίας, υπάρχει  μικρή ποσότητα νερού στη δεξαμενή Δ₂, ίση με 80 L, καθώς και σε όλο το μήκος του σωλήνα μεταφοράς του νερού, το οποίο, όσο δε λειτουργεί η αντλία, εμποδίζεται να κατέλθει προς τη δεξαμενή Δ₁ από μια ειδική βαλβίδα στο κάτω άνοιγμα του σωλήνα (βαλβίδα αντεπιστροφής).

Ένα κυλινδρικό έμβολο, βάρους 1100 Ν και εμβαδού Α_ε = 0,8 m², κλείνει ερμητικά το νερό στη δεξαμενή Δ₂. Το έμβολο, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 1000 N/m και ισορροπεί στην επιφάνεια του νερού, με τη βοήθεια της πιεστικής δύναμης του νερού και της δύναμης του ελατηρίου, το οποίο είναι τεντωμένο κατά Δl = 0,3 m.

Θέτουμε σε λειτουργία την αντλία, η βαλβίδα ανοίγει και το νερό αρχίζει να ρέει με σταθερή ταχύτητα υ = 3 m/s μέσα στο σωλήνα μεταφοράς, ο οποίος έχει σταθερή διατομή, ίση με A_σ = 4 cm².

Το έμβολο αρχίζει να ανέρχεται και η επιμήκυνση του ελατηρίου να μειώνεται. Μέσω ενός αυτοματισμού, η λειτουργία της αντλίας διακόπτεται όταν το ελατήριο ανακτά το φυσικό του μήκος.