Αντλία – έμβολο - ελατήριο

Με τη βοήθεια μιας αντλίας πρόκειται να μεταγγίσουμε νερό από μια μεγάλη δεξαμενή Δ₁ σε μια μικρή κυλινδρική δεξαμενή Δ₂, που η βάση της έχει εμβαδό Α_ε = 0,8 m².

Πριν την έναρξη λειτουργίας της αντλίας, υπάρχει  μικρή ποσότητα νερού στη δεξαμενή Δ₂, ίση με 80 L, καθώς και σε όλο το μήκος του σωλήνα μεταφοράς του νερού, το οποίο, όσο δε λειτουργεί η αντλία, εμποδίζεται να κατέλθει προς τη δεξαμενή Δ₁ από μια ειδική βαλβίδα στο κάτω άνοιγμα του σωλήνα (βαλβίδα αντεπιστροφής).

Ένα κυλινδρικό έμβολο, βάρους 1100 Ν και εμβαδού Α_ε = 0,8 m², κλείνει ερμητικά το νερό στη δεξαμενή Δ₂. Το έμβολο, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 1000 N/m και ισορροπεί στην επιφάνεια του νερού, με τη βοήθεια της πιεστικής δύναμης του νερού και της δύναμης του ελατηρίου, το οποίο είναι τεντωμένο κατά Δl = 0,3 m.

Θέτουμε σε λειτουργία την αντλία, η βαλβίδα ανοίγει και το νερό αρχίζει να ρέει με σταθερή ταχύτητα υ = 3 m/s μέσα στο σωλήνα μεταφοράς, ο οποίος έχει σταθερή διατομή, ίση με A_σ = 4 cm².

Το έμβολο αρχίζει να ανέρχεται και η επιμήκυνση του ελατηρίου να μειώνεται. Μέσω ενός αυτοματισμού, η λειτουργία της αντλίας διακόπτεται όταν το ελατήριο ανακτά το φυσικό του μήκος.

α) Πόση πίεση επικρατεί στην κάτω επιφάνεια του εμβόλου πριν την έναρξη λειτουργίας της αντλίας; Τι συμβαίνει με την πίεση αυτή όταν τεθεί σε λειτουργία η αντλία;

β) Πόση είναι η διαφορά πίεσης στα σημεία Λ και Μ του σωλήνα προώθησης του νερού; (Λ είναι ένα σημείο  αμέσως μετά την αντλία και Μ ένα σημείο αμέσως πριν την είσοδο του σωλήνα στη  δεξαμενή). Να την υπολογίσετε πριν και κατά τη λειτουργία της αντλίας. Δίνεται η υψομετρική διαφορά h = 3,5 m.

γ) Με πόση ταχύτητα v ανέρχεται η στάθμη του νερού στη δεξαμενή Δ₂;

δ) Ποια στιγμή θα διακοπεί η λειτουργία της αντλίας; Πόσο είναι τότε το ύψος του νερού μέσα στη δεξαμενή Δ₂;

ε) Η αντλία αποδίδει ωφέλιμη ισχύ 89,4 W και λειτουργεί με ηλεκτροκινητήρα με απόδοση 29,8%. Αν το κόστος της δαπανώμενης ηλεκτρικής ενέργειας είναι 0,6 ευρώ/kwh, να βρείτε το κόστος για την παραπάνω λειτουργία της αντλίας.

Δίνονται: P_atm = 10⁵ N/m², ρ = 10³ kg/m³, g = 10 m/s² και ότι 1 kWh = 3,6·10⁶ J.

  Να θεωρήσετε ότι αρχικά η αντλία νερού λειτουργεί χωρίς απώλειες ενέργειας, ότι το νερό συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό και ότι  ροή του πριν και μετά την αντλία είναι στρωτή.

Λύση: