Αγώγιμος κυκλικός βρόχος πέφτει σε μαγνητικό πεδίο

Ένας αγώγιμος κυκλικός βρόχος, κατασκευασμένος από σύρμα αντίστασης R και μάζας m, πέφτει από μεγάλο ύψος μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο του οποίου οι δυναμικές γραμμές  παρουσιάζουν τη συμμετρία που βλέπετε στο σχήμα. Σε αυτό το μαγνητικό πεδίο, η κατακόρυφη συνιστώσα έχει σταθερή φορά προς τα πάνω και μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση B_z = B₀(1 + λz), όπου λ είναι κάποια σταθερά. Ο βρόχος, με εμβαδόν επιφάνειας S, σε όλη τη διάρκεια της πτώσης του παραμένει οριζόντιος, παράλληλος  προς το επίπεδο xy. 
Να δείξετε ότι ο βρόχος θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα και να την υπολογίσετε.
Αγνοείστε την αντίσταση του αέρα και το μαγνητικό πεδίου του επαγόμενου ρεύματος. 
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.  

Απάντηση:

Κατά την πτώση του βρόχου, η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνειά του αυξάνει επειδή αυξάνεται η ένταση Β του μαγνητικού πεδίου. Έτσι, αναπτύσσεται σε αυτόν ΗΕΔ σύμφωνα με το νόμο της επαγωγής του Faraday: 
                                                             Ε_επ = -dΦ/dt
όπου Φ η μαγνητική ροή, που δίνεται από τη σχέση: 
                                                        Φ = BS = B₀(1+λz)S
Άρα:      

Εεπ = -dΦ/dt = -B0 λS	dz
	dt

Κι επειδή το κλάσμα dz/dt είναι η ταχύτητα του βρόχου:

                                                      Ε_επ = -dΦ/dt = -B₀λSυ     και   

Ιεπ = Εεπ/R ή Ιεπ = -	B0 λSυ
	R

Παρατηρούμε ότι η ένταση του επαγόμενου ρεύματος αυξάνεται καθώς αυξάνει η ταχύτητα καθόδου του βρόχου.  Η φορά του επαγόμενου ρεύματος είναι δεξιόστροφη, έτσι ώστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί να έχει φορά προς τα κάτω για να εμποδίζει την αύξηση της μαγνητικής ροής του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου.  Γνωρίζουμε, πειραματικά, ότι η δύναμη του μαγνητικού πεδίου σε ένα ρευματοφόρο αγωγό είναι ανάλογη με την ένταση του ρεύματος που τον διαρρέει. Όμως αυτή, σύμφωνα με την τελευταία παραπάνω σχέση, είναι ανάλογη προς την ταχύτητα. Γι' αυτό, καθώς ο κυκλικός βρόχος πέφτει κινούμενος μέσα στο μαγνητικό πεδίο, αυξάνεται η δύναμη του μαγνητικού πεδίου πάνω του. Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε

στοιχειώδους μήκους κομμάτι του βρόχου, τότε η δύναμη Laplace σε αυτό είναι κάθετη πάνω του και κάθετη στην τοπική ένταση του Μ.Π., με κατακόρυφη συνιστώσα προς τα πάνω. Λόγω της συμμετρίας που παρουσιάζει το μαγνητικό πεδίο ώς προς τον κατακόρυφο άξονα του βρόχου, οι δυνάμεις Laplace σε κάθε ζεύγος αντιδιαμετρικών στοιχειωδών τμημάτων του βρόχου έχουν ίδια κατακόρυφη συνιστώσα και ταυτόχρονα αντίθετες οριζόντιες συνιστώσες. Έτσι, αφενός οι κατακόρυφες αντιδιαμετρικές συνιστώσες έχουν αντίθετες ροπές ως προς το κέντρο του βρόχου, με αποτέλεσμα να διατηρείται οριζόντιος, και αφετέρου οι αντιδιαμετρικές οριζοντιες συνιστώσες της μαγνητικής δύναμης αλληλοεξουδετερόνται και ο βρόχος δεν μετατοπίζεται οριζόντια. 

(Δες και το πρόβλημα "μια δύναμη Laplace ιδιαίτερη"). Έτσι, καθώς πέφτει ο κυκλικός βρόχος, δέχεται μια προς τα πάνω κατακόρυφη μαγνητική δύναμη που διαρκώς αυξάνει. Η μοναδική άλλη δύναμη που δρα πάνω του, η βαρύτητα, είναι σταθερή και αντίθετη με τη μαγνητική δύναμη και αρχικά επικρατεί της μαγνητικής δύναμης.  Καθώς όμως η μαγνητική δύναμη αυξάνεται, κάποια στιγμή το μέτρο της θα γίνει ίσο με το μέτρο του βάρους: 
                                                              F_L = mg.

Από τη στιγμή αυτή κι έπειτα η ταχύτητα του βρόχου σταθεροποιείται και το έργο του βάρους μετατρέπεται αποκλειστικά σε θερμότητα Joule στον αγωγό: 

                                                         mgΔz = I_επ²RΔt

                                                     Δz/Δt = I_επ²R/mg  ή

υ =	(-B0 λSυ/R)2R
	mg

                                                     ----------------------

Άρα:              υ =	mgR
	B02λ2S2

                                                     ---------------------

Παρατήρηση: Από το σχήμα φαίνεται ότι οι δυναμικές γραμμές αραιώνουν καθώς ανέρχονται, άρα η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι πιο μικρή σε μεγάλα ύψη. Συνεπώς, η αλγεβρική τιμή της σταθεράς λ πρέπει να είναι αρνητική. 
Ενδεικτικά, αν θέσουμε m = 0,01 kg, R = 10^-3 Ω, Β₀= 1 Τ,  λ = -0,1 m, S = 0,03 m² θα προκύψει οριακή ταχύτητα περίπου 11 m/s. 
Ερώτηση: Θα αποκτούσε ο αγωγός οριακή ταχύτητα αν η σταθερά λ ήταν θετική, όπως στην παρακάτω περίπτωση;

Πηγές: 1. Μια σχετική άσκηση, με σχόλια συναδέλφων, στο ylikonet.gr
            2. Α Guide to Physics Problems, Part 1