Μια δύναμη Laplace ιδιαίτερη

 Ένας ισχυρός ραβδόμορφος μαγνήτης τοποθετείται κάτω από έναν οριζόντιο αγώγιμο δακτύλιο ακτίνας r, που διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο άξονας του μαγνήτη συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του δακτυλίου. Αν η ένταση του μαγνητικού πεδίου του μαγνήτη, στην περιοχή της περιφέρειας του δακτυλίου, έχει μέτρο Β και η κατεύθυνσή της σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, (α) ποιο είναι το μέτρο και (β) ποια είναι η κατεύθυνση της προκύπτουσας μαγνητικής δύναμης στον δακτύλιο;  

Πηγή: Serway/Jewett



Απάντηση:

Γνωρίζουμε σε ένα ευθύγραμμο κομμάτι αγωγού μήκους L που διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι και βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β εφαρμόζεται δύναμη Laplace μέτρου:

                                                                   F_L = BILημθ                                                   (1)

Όπου θ είναι η γωνία ανάμεσα στη διεύθυνση της έντασης του ρεύματος και του μαγνητικού πεδίου.

Προκειμένου να υπολογίσουμε τη δύναμη που ασκεί στον ρευματοφόρο δακτύλιο το μαγνητικό πεδίο του μαγνήτη, το οποίο, αν και δεν είναι ομογενές, έχει σε όλη την περίμετρο του δακτυλίου το ίδιο μέτρο Β, σχηματίζει σταθερή γωνία θ με την κατακόρυφο και είναι κάθετο σε κάθε σημείο του δακτυλίου, θα τον μοιράσουμε σε πολύ μικρά τμήματα ds, τόσο μικρά που με προσέγγιση να μπορούν να θεωρηθούν ευθύγραμμα και θα εφαρμόσουμε για καθένα από αυτά τη σχέση (1) με τη μορφή:  

                                                               dF_L = BI dsημ90^ο = ΒΙ ds.

Λόγω της συμμετρίας που παρουσιάζει ο δακτύλιος, σε κάθε στοιχειώδες τμήμα του αντιστοιχεί και ένα άλλο αντιδιαμετρικό ως προς αυτό, έτσι ώστε να εξουδετερώνονται οι οριζόντιες συνιστώσες των στοιχειωδών δυνάμεων Laplace που ενεργούν σε αυτά σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα:

Η συνολική δύναμη Laplace που δέχεται το πλαίσιο είναι το άθροισμα των κατακορύφων συνιστωσών:

                                  ΣF_L = Σ(dF_Lημθ) = Σ(BI dsημθ) = BI ημθ·Σ(ds) = BI ημθ·2πr

Άρα ο δακτύλιος δέχεται μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη ίση με:

                                                                ΣF_L = 2πrI Bημθ