Πτώση μαγνήτη μέσα από πηνίο

Ένας κυλινδρικός μαγνήτης αφήνεται ελεύθερος από κάποιο ύψος. Όπως φαίνεται στο σχήμα, ο βόρειος πόλος του μαγνήτη βρίσκεται στο κάτω άκρο του και ο νότιος πόλος στην κορυφή. Ο μαγνήτης κινείται προς τα κάτω κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα ενός ακλόνητα στερεωμένου πηνίου. Τα άκρα του πηνίου  συνδέονται με ένα αμπερόμετρο. Υποθέστε ότι ο μαγνήτης ξεκινάει από μεγάλη απόσταση από το πηνίο, διέρχεται μέσα από αυτό και συνεχίζει την πτώση του μέχρι να απομακρυνθεί σε μεγάλη απόσταση από το πηνίο. Σε όλη τη διάρκεια της πτώσης του διατηρείται κατακόρυφα προσανατολισμένος, όπως ακριβώς τον αφήσαμε, με τον νότιο πόλο στην κορυφή του και τον βόρειο πόλο στο κάτω μέρος.

α) Αν θεωρήσουμε θετική την προς τα πάνω ροή των μαγνητικών γραμμών, και θετικό το ρεύμα στις σπείρες αν είναι αντίθετο προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, (όπως το βλέπουμε από πάνω), ποιο από τα παρακάτω γραφήματα, 

 αντιπροσωπεύει καλύτερα:

i. Τη γραφική παράσταση της μαγνητικής ροής μέσα από το πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο;

ii. Τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος στο πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο;

β) Υποθέστε ότι στη συνέχεια ανεβάζουμε με σταθερή ταχύτητα τον μαγνήτη, μετατοπίζοντάς τον πάνω στην ίδια, με αυτήν της πτώσης του, κατακόρυφο, από μια θέση πολύ πιο κάτω από το πηνίο ως μια θέση πολύ πιο πάνω από αυτό, χωρίς να του αλλάξουμε προσανατολισμό. Ποιο από τα προηγούμενα γραφήματα αντιπροσωπεύει καλύτερα:

i. Τη γραφική παράσταση της μαγνητικής ροής μέσα από το πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο;

ii. Τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος στο πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο;

γ) Αν διπλασιάσουμε τον αριθμό των σπειρών του πηνίου, χωρίς να αλλάξουμε την ταχύτητα, πώς θα αλλάξει το γράφημα της έντασης του ρεύματος με το χρόνο στην πιο πάνω περίπτωση;

Απάντηση:

α) Επειδή κατά την κάθοδό του ο μαγνήτης πλησιάζει το πηνίο με το βόρειο πόλο του προς τα κάτω, θα αναπτυχθεί στο πηνίο, κάτω από τον μαγνήτη, επαγόμενο ρεύμα, το οποίο, σύμφωνα με τον κανόνα του Lenz,
θα ρέει αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού (καθώς κοιτάζουμε από πάνω προς τα κάτω το πηνίο) δημιουργώντας μαγνητική ροή που ωθεί τον μαγνήτη προς τα επάνω. Όταν ο μαγνήτης αρχίσει να εξέρχεται από το πηνίο και να απομακρύνεται από αυτό, θα αναπτυχθεί δεξιόστροφο επαγόμενο ρεύμα, το μαγνητικό πεδίο του οποίου θα ασκεί μια προς τα πάνω έλξη στον μαγνήτη. Παρακολουθώντας τις ενδείξεις του αμπερομέτρου θα δούμε, καθώς πέφτει ο μαγνήτης, ένα ρεύμα που ρέει προς μία κατεύθυνση ακολουθούμενο από ένα ρεύμα που ρέει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η επαγόμενη ΗΕΔ είναι ίση με το χρονικό ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής που διαρρέει το σύνολο των σπειρών του πηνίου. Καθώς ο βόρειος πόλος του μαγνήτη πλησιάζει προς το πηνίο, η ροή των μαγνητικών γραμμών μέσα από αυτό αρχικά αυξάνεται. Η ροή αποκτά μέγιστη τιμή όταν το μέσον του μαγνήτη είναι στη μέση του πηνίου, σταδιακά όμως, καθώς ο μαγνήτης απομακρύνεται, μειώνεται στο μηδέν.

i. Επειδή, σύμφωνα με την εκφώνηση, η προς τα πάνω ροή των μαγνητικών γραμμών είναι θετική, και επειδή εδώ σε όλη τη διάρκεια της πτώσης του μαγνήτη η φορά των δυναμικών γραμμών στο εσωτερικό του πηνίου είναι προς τα κάτω, το πρόσημό της ροής είναι αρνητικό. Ο μαγνήτης όμως επιταχύνεται προς τα κάτω, άρα θα διανύσει το δεύτερο μισό του πηνίου σε λιγότερο χρόνο. Επομένως, το σωστό διάγραμμα μεταβολής της ροής με το χρόνο είναι το (1).

ii. Στο διάγραμμα (1) ο ρυθμός μεταβολής ΔΦ/Δt (η κλίση της καμπύλης) τη στιγμή τ, που το μέσον του μαγνήτη συμπίπτει με το μέσον του πηνίου, είναι μηδέν, άρα και η ΗΕΔ και, επομένως, το ρεύμα. Επειδή η ροή αρχικά αυξάνει και στη συνέχεια μειώνεται (αρνητικά), το ρεύμα θα αλλάξει κατεύθυνση, έχοντας τις μέγιστες τιμές όταν η ροή αλλάζει πιο γρήγορα. Σύμφωνα με την εκφώνηση και την προηγηθείσα ανάλυση, το ρεύμα κατά την προσέγγιση του μαγνήτη στο πηνίο είναι θετικό και αρνητικό κατά την απομάκρυνσή του. Λαμβάνοντας υπόψη την επιτάχυνση του μαγνήτη πρέπει να επισημάνουμε δύο πράγματα:

·       Η έξοδος του μαγνήτη από το πηνίο διαρκεί λιγότερο χρόνο από την είσοδό του.

·       Επειδή η  διάρκεια απομάκρυνσης του μαγνήτη από το πηνίο είναι μικρότερη, η ροή μεταβάλλεται πιο γρήγορα και έτσι η μέγιστη στιγμιαία ένταση του ρεύματος είναι μεγαλύτερη κατά την έξοδο (κατ’ απόλυτη τιμή) απ’ ότι κατά την είσοδο. Επομένως το σωστό διάγραμμα της έντασης του ρεύματος με το χρόνο είναι το (3)

β) Η ροή είναι αρνητική και σε αυτή την περίπτωση, αφού οι δυναμικές γραμμές, καθώς ο μαγνήτης ανέρχεται με το νότιο πόλο του προς τα πάνω, έχουν φορά προς τα κάτω. Όμως, τώρα, η ταχύτητα δίνεται σταθερή και άρα το χρονικό διάστημα προσέγγισης του μαγνήτη προς το πηνίο είναι ίσο με το χρονικό διάστημα απομάκρυνσης.

i.Σωστό, επομένως, είναι το διάγραμμα (2).

ii. Πάλι, η ροή αρχικά αυξάνει και στη συνέχεια μειώνεται (αρνητικά) και άρα το ρεύμα θα αλλάξει κατεύθυνση, έχοντας μέγιστες τιμές όταν η ροή αλλάζει πιο γρήγορα. Καθώς ο μαγνήτης προσεγγίζει με το νότιο πόλο του προς το πηνίο, αναπτύσσεται σε αυτό ρεύμα εξ’ επαγωγής, που το μαγνητικό του πεδίο (κανόνας Lenz) εμποδίζει την προσέγγιση εμφανίζοντας στο κάτω άκρο του πηνίου νότιο πόλο και ως εκ τούτου το επαγόμενο ρεύμα έχει φορά αντίθετη με τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. Συνεπώς, καθώς ο μαγνήτης πλησιάζει και εισχωρεί στο κάτω άκρο του πηνίου επάγεται σε αυτό ρεύμα θετικό. Αντίστοιχα, όταν ο μαγνήτης αρχίσει να εξέρχεται και να απομακρύνεται από το πηνίο, το επαγόμενο ρεύμα είναι αρνητικό. Τη στιγμή τ ο ρυθμός μεταβολής της ροής είναι μηδέν, άρα και το ρεύμα. Επειδή η ταχύτητα ανόδου του μαγνήτη διατηρείται σταθερή, τα χρονικά διαστήματα προσέγγισης και απομάκρυνσης του μαγνήτη από το πηνίο είναι ίσα.

Σωστό, λοιπόν, για την περίπτωση αυτή είναι το διάγραμμα (4).

γ) Αν διπλασιάσουμε τον αριθμό των σπειρών του πηνίου, θα διπλασιάσουμε τη συνολική ροή και επομένως την ΗΕΔ εξ’ επαγωγής.  Θα διπλασιάσουμε, όμως, και την ωμική αντίσταση, (R = ρℓ/S), και αφού δεν αλλάζουμε την ταχύτητα, το διάγραμμα του ρεύματος με το χρόνο κατά την ισοταχή άνοδο παραμένει το (4). 

Σημείωση: Η δυσκολία όμως προσέγγισης και απομάκρυνσης του μαγνήτη προς και από το πηνίο, θα διπλασιαστεί, αφού το μαγνητικό του πεδίο κατά μέσο όρο θα διπλασιαστεί, λόγω διπλασιασμού των σπειρών του. 
Η άσκηση σε pdf: