Το παράδοξο της συνολικής στροφορμής δύο δίσκων

 Ένας μαθητής, μου έστειλε το παρακάτω πρόβλημα που τους έδωσε ο καθηγητής τους:

«Οι δύο οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι 1 και 2 μπορούν να περιστρέφονται, ο καθένας, γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα κάθετο στην επιφάνειά τους, που διέρχεται από το κέντρο τους, χωρίς τριβές. Οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα περιστροφής τους είναι Ι₁ και Ι₂, αντίστοιχα, και οι ακτίνες τους r₁ και r₂ .

Αρχικά ο δίσκος 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω₀ , ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Χωρίς να αλλάξουμε τον προσανατολισμό των αξόνων τους, πλησιάζουμε τους δύο δίσκους και τους φέρνουμε σε επαφή. Οι περιφέρειες των δύο δίσκων  γλιστρούν αρχικά η μια ως προς την άλλη, αλλά τελικά η ολίσθηση αυτή σταματά, λόγω της μεταξύ τους τριβής. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω₁ του δίσκου 1 ».  

Μου γράφει: « Σκέφτηκα πως δεν μπορώ να πάρω Α.Δ.Μ.Ε για το σύστημα, γιατί οι τριβές μεταξύ των δύο δίσκων θα μετατρέψουν μέρος της κινητικής ενέργειας του δίσκου 1 σε θερμότητα.

Γνωρίζω όμως ότι, εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Εδώ, το σύστημα των δύο δίσκων είναι μονωμένο. Οι εξωτερικές δυνάμεις είναι τα βάρη των δύο δίσκων και οι δυνάμεις από τα στηρίγματα των αξόνων περιστροφής. Αυτές όμως εξουδετερώνονται αφού το σύστημα δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα, άρα εξουδετερώνονται και οι ροπές τους. Οι δυνάμεις των τριβών ανάμεσα στις περιφέρειες των δύο δίσκων είναι εσωτερικές δυνάμεις και η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική, αφού αυτές απαντούν κατά ζεύγη και έτσι έχουν αντίθετες ροπές. Αποφάσισα λοιπόν να εφαρμόσω Α.Δ.Σ:

                                                          Ι₁ω₀ = Ι₁ω₁ – Ι₂ω₂     (1)

Το (-) γιατί ο δίσκος 2 θα στραφεί δεξιόστροφα. Όταν παύουν να ολισθαίνουν μεταξύ τους, τα σημεία των περιφερειών των δύο δίσκων έχουν ίδια ταχύτητα, δηλ. 

                                           υ₁ = υ₂  ή ω₁r₁ = ω₂r₂  →  ω_{2 =} ω₁r_1/ r₂ , 

οπότε από την (1) έχουμε τελικά:

                                                        ω₁ = Ι₁ω₀/(Ι₁  – Ι₂r₁/r₂)

Όμως ο καθηγητής μου, λέει ότι η λύση αυτή είναι λάθος γιατί το σύστημα δεν είναι μονωμένο  καθώς υπάρχει μια εξωτερική ροπή που ενεργεί πάνω του. Δεν καταλαβαίνω ποια είναι η εξωτερική ροπή στη συγκεκριμένη περίπτωση.

Μπορείτε να μου εξηγήσετε σας παρακαλώ;