Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Παρασκευή, 27 Απριλίου 2018

Το παράδοξο της συνολικής στροφορμής δύο δίσκων


 Ένας μαθητής, μου έστειλε το παρακάτω πρόβλημα που τους έδωσε ο καθηγητής τους:

«Οι δύο οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι 1 και 2 μπορούν να περιστρέφονται, ο καθένας, γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα κάθετο στην επιφάνειά τους, που διέρχεται από το κέντρο τους, χωρίς τριβές. Οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα περιστροφής τους είναι Ι1 και Ι2, αντίστοιχα, και οι ακτίνες τους r1 και r2 .

Αρχικά ο δίσκος 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω0 , ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Χωρίς να αλλάξουμε τον προσανατολισμό των αξόνων τους, πλησιάζουμε τους δύο δίσκους και τους φέρνουμε σε επαφή. Οι περιφέρειες των δύο δίσκων  γλιστρούν αρχικά η μια ως προς την άλλη, αλλά τελικά η ολίσθηση αυτή σταματά, λόγω της μεταξύ τους τριβής. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω1 του δίσκου 1 ».  

Μου γράφει: « Σκέφτηκα πως δεν μπορώ να πάρω Α.Δ.Μ.Ε για το σύστημα, γιατί οι τριβές μεταξύ των δύο δίσκων θα μετατρέψουν μέρος της κινητικής ενέργειας του δίσκου 1 σε θερμότητα.
Γνωρίζω όμως ότι, εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Εδώ, το σύστημα των δύο δίσκων είναι μονωμένο. Οι εξωτερικές δυνάμεις είναι τα βάρη των δύο δίσκων και οι δυνάμεις από τα στηρίγματα των αξόνων περιστροφής. Αυτές όμως εξουδετερώνονται αφού το σύστημα δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα, άρα εξουδετερώνονται και οι ροπές τους. Οι δυνάμεις των τριβών ανάμεσα στις περιφέρειες των δύο δίσκων είναι εσωτερικές δυνάμεις και η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική, αφού αυτές απαντούν κατά ζεύγη και έτσι έχουν αντίθετες ροπές. Αποφάσισα λοιπόν να εφαρμόσω Α.Δ.Σ:

                                                          Ι1ω0 = Ι1ω1 – Ι2ω2     (1)

Το (-) γιατί ο δίσκος 2 θα στραφεί δεξιόστροφα. Όταν παύουν να ολισθαίνουν μεταξύ τους, τα σημεία των περιφερειών των δύο δίσκων έχουν ίδια ταχύτητα, δηλ. 
                                           υ1 = υ2  ή ω1r1 = ω2r2  →  ω2 = ω1r1/ r2
οπότε από την (1) έχουμε τελικά:

                                                        ω1 = Ι1ω0/(Ι1  – Ι2r1/r2)


Όμως ο καθηγητής μου, λέει ότι η λύση αυτή είναι λάθος γιατί το σύστημα δεν είναι μονωμένο  καθώς υπάρχει μια εξωτερική ροπή που ενεργεί πάνω του. Δεν καταλαβαίνω ποια είναι η εξωτερική ροπή στη συγκεκριμένη περίπτωση.
Μπορείτε να μου εξηγήσετε σας παρακαλώ;

Δεν υπάρχουν σχόλια :

Δημοσίευση σχολίου