Ρυμούλκηση (Μια "εύκολη" και μια "εκκεντρική")

1. Ένα βαγόνι τραίνου (η … εύκολη)

Ένα βαγόνι τραίνου, φορτωμένο με αυτοκίνητα, έχει μάζα 6000 kg και ρυμουλκείται σε ένα λείο ανηφορικό δρόμο με κλίση 1:30 (ημθ = 1/30), με τη βοήθεια ενός σχοινιού, που τυλίγεται χωρίς να γλιστράει γύρω από ένα κυλινδρικό τύμπανο με διάμετρο 1 m και ροπή αδράνειας 200 kg·m².

Στο τύμπανο ενεργεί σταθερή ροπή τ = 3000 Ν·m και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, ο οποίος είναι ακλόνητα στερεωμένος, χωρίς τριβές, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.

2. Μια μαρμάρινη κυλινδρική κολώνα (η … εκκεντρική)

Στη δεύτερη αυτή άσκηση ρυμουλκείται, όπως φαίνεται στο σχήμα, μια ομογενής μαρμάρινη κυλινδρική κολώνα, όπως  πριν, με τις εξής αλλαγές και προσθήκες:

i. Ο δρόμος δεν είναι λείος και ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

ii. Η κολώνα έχει μάζα Μ = 6000 kg, ακτίνα R₁ = 0,5 m και ροπή αδράνειας Ι₁ = 750 kg·m², ως προς τον γεωμετρικό της άξονα.

Η δύναμη από το σχοινί ενεργεί στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου, κάθετα στον άξονα, και παράλληλα προς το δρόμο. Όλα τα άλλα μεγέθη είναι ίδια.

Η απάντηση στο παράδοξο της συνολικής στροφορμής δύο δίσκων

Δεν έχουμε εδώ διατήρηση της στροφορμής του συστήματος των δύο δίσκων. Αν ίσχυε, θα είχαμε: Ι₁ω₀ = Ι₁ω₁ – Ι₂ω₂, δηλαδή Ι₁ω₁ = Ι₁ω₀ + Ι₂ω₂, οπότε ω₁ > ω₀ και άρα η κινητική ενέργεια κάθε δίσκου θα αύξαινε, άρα και του συστήματος. Φυσικά, αυτό αντίκειται στην Α.Δ.Ε. συστήματος.

Τι συμβαίνει λοιπόν; 

Κοιτάξτε το αριστερό σχήμα (α): Θεωρήστε τους δύο δίσκους πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Είναι η στιγμή που φέρνουμε σε επαφή τις περιφέρειες των  δύο δίσκων. Έχουν σχεδιαστεί οι δύο τριβές ολίσθησης (με κόκκινο χρώμα) στις περιφέρειες των δύο δίσκων. Είναι δύο δυνάμεις αντίθετες (δράση – αντίδραση), που δρουν στα σημεία επαφής των περιφερειών των δύο δίσκων. Επειδή οι εξωτερικές δυνάμεις, βάρος -  αντίδραση δαπέδου, έχουν συνισταμένη μηδέν, κάθε δίσκος δέχεται μια καθαρή δύναμη Τ, που παρουσιάζει ροπή ως προς το κέντρο μάζας του. Το αποτέλεσμα είναι γνωστό: Ο δίσκος 2 θα εκτελέσει μια σύνθετη κίνηση, μεταφορική κατά τη διεύθυνση της Τ και στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του, κατά τη φορά της ροπής της Τ. Αντίστοιχα, ο δίσκος 1 θα εκτελέσει και αυτός μια μεταφορική κίνηση κατά τη φορά της Τ, ενώ η στροφική κίνηση θα περιοριστεί και θα μειωθεί (λόγω της ροπής της Τ) η γωνιακή του ταχύτητα. Έτσι, σε ελάχιστο χρονικό διάστημα, οι δύο δίσκοι θα απομακρυνθούν κινούμενοι όπως στο σχήμα (β).

Όμως, στο πρόβλημά μας, υπάρχουν δύο ακλόνητοι άξονες περιστροφής κάθετοι στα κέντρα των δύο δίσκων   και, όπως φαίνεται από την παραπάνω ανάλυση, αυτοί οι δύο άξονες δε θα επιτρέψουν τη μεταφορική κίνηση των δύο δίσκων. Πρέπει, λοιπόν, στη διάρκεια που οι δύο περιφέρειες ασκούν τριβή η μία στην άλλη, ο άξονας κάθε δίσκου να ασκεί δύναμη αντίθετη της τριβής που δέχεται, (στο σχήμα γ φαίνονται με μπλε χρώμα), ώστε να ισχύει σε καθένα δίσκο η συνθήκη ΣF = 0*. 

Οι δυνάμεις αυτές των αξόνων είναι εξωτερικές δυνάμεις, και για το σύστημα των δύο δίσκων αποτελούν ζεύγος εξωτερικών δυνάμεων. Αν γνωρίζουμε τις τριβές Τ, τότε στο σύστημα των δύο δίσκων ενεργεί μια εξωτερική ροπή -Τ(r₁ + r₂) κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αρνητική).

Επειδή η εξωτερική ροπή έχει φορά αντίθετη από την αρχική στροφορμή του συστήματος, η στροφορμή του συστήματος μειώνεται.

* Ουσιαστικά, η ροπή Tr₁ ή Tr₂, σε κάθε δίσκο, είναι η ροπή του ζεύγους των δυνάμεων Τ που ενεργεί σε καθένα από αυτούς.

Στο σύστημα των δύο δίσκων ενεργούν, επίσης, και άλλα δύο ζεύγη δυνάμεων με μηδενική ροπή, αφού οι άξονές τους ταυτίζονται. Είναι οι οριζόντιες δυνάμεις Ν με τις οποίες οι άξονες κρατούν σε επαφή τους δύο δίσκους (οι κόκκινες, που είναι εσωτερικές στο σύστημα των δύο δίσκων, απαραίτητες για την εμφάνιση των τριβών, Τ = μΝ) και οι μπλε που είναι εξωτερικές δυνάμεις από τους δύο άξονες προς τους δίσκους, με συνισταμένη μηδέν.  

Είναι, λοιπόν, φανερό ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε καμία από τις αρχές διατήρησης (ενέργειας ή στροφορμής).

Τότε, πώς θα λύσουμε την άσκηση;

Μόνο με τη βοήθεια του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης:

Έστω Δt το χρονικό διάστημα ολίσθησης των περιφερειών των δύο δίσκων. Όταν οι περιφέρειες σταματήσουν να ολισθαίνουν μεταξύ τους, τότε τα σημεία επαφής τους θα έχουν ίσες ταχύτητες (υ₁ = υ₂  → ω₁r₁ = ω₂r₂) και έτσι θα σταματήσουν να τρίβονται μεταξύ τους (Τ = 0).

Για κάθε δίσκο ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης (Στ = ΔL/Δt) παίρνει τη μορφή:

                                 -Τr₁ = I₁(ω₁ – ω₀)/Δt,   για τον δίσκο 1, και

                                  Τr₂ = I₂(ω₂ – 0)/Δt,     για το δίσκο 2

Διαιρούμε:                 

                                  - r₁/r₂ = [I₁(ω₁ – ω₀)]/I₂ω₂

Από την ισότητα των ταχυτήτων προκύπτει ότι ω₂ = ω₁r₁/r₂ και αν θέσουμε αυτή την τιμή του ω₂ στην παραπάνω σχέση, θα βρούμε τελικά:

                                      ω₁ = (Ι₁ω₀)/[Ι₁ + (r₁/r₂)²I₂]

Το παράδοξο της συνολικής στροφορμής δύο δίσκων

 Ένας μαθητής, μου έστειλε το παρακάτω πρόβλημα που τους έδωσε ο καθηγητής τους:

«Οι δύο οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι 1 και 2 μπορούν να περιστρέφονται, ο καθένας, γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα κάθετο στην επιφάνειά τους, που διέρχεται από το κέντρο τους, χωρίς τριβές. Οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα περιστροφής τους είναι Ι₁ και Ι₂, αντίστοιχα, και οι ακτίνες τους r₁ και r₂ .

Αρχικά ο δίσκος 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω₀ , ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Χωρίς να αλλάξουμε τον προσανατολισμό των αξόνων τους, πλησιάζουμε τους δύο δίσκους και τους φέρνουμε σε επαφή. Οι περιφέρειες των δύο δίσκων  γλιστρούν αρχικά η μια ως προς την άλλη, αλλά τελικά η ολίσθηση αυτή σταματά, λόγω της μεταξύ τους τριβής. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω₁ του δίσκου 1 ».  

Μου γράφει: « Σκέφτηκα πως δεν μπορώ να πάρω Α.Δ.Μ.Ε για το σύστημα, γιατί οι τριβές μεταξύ των δύο δίσκων θα μετατρέψουν μέρος της κινητικής ενέργειας του δίσκου 1 σε θερμότητα.

Γνωρίζω όμως ότι, εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Εδώ, το σύστημα των δύο δίσκων είναι μονωμένο. Οι εξωτερικές δυνάμεις είναι τα βάρη των δύο δίσκων και οι δυνάμεις από τα στηρίγματα των αξόνων περιστροφής. Αυτές όμως εξουδετερώνονται αφού το σύστημα δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα, άρα εξουδετερώνονται και οι ροπές τους. Οι δυνάμεις των τριβών ανάμεσα στις περιφέρειες των δύο δίσκων είναι εσωτερικές δυνάμεις και η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική, αφού αυτές απαντούν κατά ζεύγη και έτσι έχουν αντίθετες ροπές. Αποφάσισα λοιπόν να εφαρμόσω Α.Δ.Σ:

                                                          Ι₁ω₀ = Ι₁ω₁ – Ι₂ω₂     (1)

Το (-) γιατί ο δίσκος 2 θα στραφεί δεξιόστροφα. Όταν παύουν να ολισθαίνουν μεταξύ τους, τα σημεία των περιφερειών των δύο δίσκων έχουν ίδια ταχύτητα, δηλ. 

                                           υ₁ = υ₂  ή ω₁r₁ = ω₂r₂  →  ω_{2 =} ω₁r_1/ r₂ , 

οπότε από την (1) έχουμε τελικά:

                                                        ω₁ = Ι₁ω₀/(Ι₁  – Ι₂r₁/r₂)

Όμως ο καθηγητής μου, λέει ότι η λύση αυτή είναι λάθος γιατί το σύστημα δεν είναι μονωμένο  καθώς υπάρχει μια εξωτερική ροπή που ενεργεί πάνω του. Δεν καταλαβαίνω ποια είναι η εξωτερική ροπή στη συγκεκριμένη περίπτωση.

Μπορείτε να μου εξηγήσετε σας παρακαλώ;

Κούνια και διατήρηση στροφορμής, η ερώτηση

Το κέντρο μάζας του παιδιού, με λυγισμένα τα γόνατα, βρίσκεται σε απόσταση ΟΒ από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία (θέση 1), και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του (θέση 3) το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄.

Να επιλέξετε το σωστό σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ι. Το μέτρο της στροφορμής του παιδιού, γύρω από το Ο, κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄,

Κούνια και διατήρηση στροφορμής, η άσκηση

                              

Έστω ότι το κέντρο μάζας (σημείο B) ενός παιδιού, που κάθεται πατώντας με λυγισμένα τα γόνατα σε μια ελαφριά κούνια, βρίσκεται σε ύψος 1,2 m πάνω από το έδαφος. Το βάρος του παιδιού είναι 400 Ν και το κέντρο μάζας του, με λυγισμένα τα γόνατα, απέχει 3,7 m από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία, και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄, κατά 0,6 m ψηλότερα. Να βρείτε:

Ένα παιδικό παιχνίδι με μάλλον απρόσμενη συμπεριφορά. ( Η άσκηση)

 Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz΄.

Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg, φέρει οπή κατά μήκος  του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ.

Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ = 3/8 m από το Β.

Ένα παιδικό παιχνίδι με μάλλον απρόσμενη συμπεριφορά. (Η ερώτηση)

Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz΄.

Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg, φέρει οπή κατά μήκος  του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ.

Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ από το Β και η στροφορμή του ως προς τον άξονα zz΄ έχει τιμή L.

Αν το σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω΄= 2ω, τότε το σώμα ισορροπεί σε μια θέση όπου:

Όταν η τριβή δεν επαρκεί για να έχουμε μόνο κύλιση

   

 Ο τροχός του σχήματος είναι ομογενής, έχει μάζα m = 50 kg και ακτίνα R = 100 mm.

 Στην περιφέρειά του υπάρχει εγκοπή βάθους h = 40 mm, μέσα στην οποία είναι τυλιγμένο αβαρές λεπτό νήμα μεγάλου μήκους. Τη στιγμή t = 0, στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε σταθερή δύναμη F με διεύθυνση παράλληλη προς το οριζόντιο επίπεδο, με τη βοήθεια της οποίας ο τροχός τίθεται σε κίνηση χωρίς το νήμα να γλιστράει στο αυλάκι.

Α. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μ_s είναι 0,2 να εξετάσετε αν ο τροχός θα κυλίσει χωρίς ολίσθηση.

Β. Να υπολογίσετε τη επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού και τη γωνιακή του επιτάχυνση. 

Γ. Τη στιγμή t₁ η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίση με 20 m/s. Πόση είναι τότε η στροφορμή του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του;

S.O.S ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ - ΜΕΡΟΣ 2ο

Δύο στερεά σώματα περιστρέφονται ...

9.  Δύο στερεά σώματα περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες ως προς τους οποίους έχουν ίσες στροφορμές  L₁  και  L₂,  ενώ οι ροπές αδράνειάς τους συνδέονται με τη σχέση: Ι₂ = 2Ι₁.

Α.  Με ποια από τις παρακάτω σχέσεις συνδέονται οι κινητικές τους ενέργειες;

    α.  Κ₂ = Κ₁,       β.  Κ₂ = 2 Κ₁,       γ. Κ₁ = 2 Κ₂,       δ.  Κ₂ = 4 Κ₁

Β. Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια ομογενής ράβδος μπορεί να περιστρέφεται...

10. Μια ομογενής ράβδος μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το πάνω άκρο της, χωρίς τριβές.

Αρχικά, η ράβδος ισορροπεί στην κατακόρυφη θέση.  Ασκούμε στο άκρο Α της ράβδου δύναμη σταθερού μέτρου F η οποία διατηρείται διαρκώς κάθετη στη ράβδο.

Α.  Αν η μέγιστη γωνία κατά την οποία η ράβδος εκτρέπεται από την κατακόρυφο με τη βοήθεια της δύναμης F είναι 60^ο, τότε το μέτρο της δύναμης αυτής είναι:

α. 3mg/π,       β. 3mg/4π,      γ.  mg/π

      Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ένα απομονωμένο ομογενές άστρο …

11.  Ένα απομονωμένο ομογενές άστρο περιστρέφεται γύρω από μία διάμετρό του έχοντας κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Κ.

Α.  Αν λόγω  βαρυτικής  κατάρρευσης η ακτίνα του άστρου ελαττωθεί στο μισό της αρχικής της τιμής, τότε το έργο των βαρυτικών δυνάμεων κατάρρευσης είναι:

α.  Κ,       β. 2Κ,        γ. 3Κ

Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Θεωρείστε ότι κατά την κατάρρευση του άστρου δεν εκτινάσσεται ύλη στο διάστημα.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ρυθμοί μεταβολής ορμής και στροφορμής τροχού

12. Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα 1 kgr, ακτίνα R = 0,2 m και κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, με επιτάχυνση α_c.m= 3 m/sec²  πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση της οριζόντιας δύναμης F.

Να υπολογίσετε τα μέτρα των ρυθμών  μεταβολής της ορμής και της στροφορμής του τροχού.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I_c.m= (2/3)mR².  

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων …

13.  Ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τραβάμε το σχοινί και μειώνουμε την ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου στο μισό. Τότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σφαιριδίου γύρω από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς:

α) παραμένει ίδια.

β) διπλασιάζεται.

γ) υποδιπλασιάζεται

δ) τετραπλασιάζεται.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Δύο ομογενείς οριζόντιοι δίσκοι …

14.  Δυο ομογενείς οριζόντιοι δίσκοι μπορούν να περιστρέφονται γύρω από κοινό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα μάζας τους όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά περιστρέφεται μόνο ο δίσκος 1 ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Η ροπή αδράνειας I₁ του δίσκου 1 είναι άγνωστη ενώ του δίσκου 2 είναι  Ι₂= 4 kg.m²_. Κάποια στιγμή ο δίσκος 2 αφήνεται να πέσει πάνω στο δίσκο 1 με τον οποίο και προσκολλάται. Στο διάγραμμα φαίνεται πώς μεταβάλλεται η στροφορμή του δίσκου 1

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου 1 είναι:

α. 1 kg.m²       β. 4 kg.m²      γ. 5 kg.m²        δ. 6 kg.m²

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια γυναίκα κάθεται σε κάθισμα …

15. Μια γυναίκα κάθεται σε κάθισμα που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του. Η γυναίκα κρατά στα χέρια της έναν οριζόντιο περιστρεφόμενο χωρίς τριβές τροχό ποδηλάτου του οποίου η στροφορμή κατά τον κατακόρυφο άξονά του είναι  L₀. Το κάθισμα στην κατάσταση αυτή είναι ακίνητο. Κάποια στιγμή η γυναίκα περιστρέφει τον τροχό γύρω από οριζόντιο άξονα κατά 180⁰, ώστε η πάνω επιφάνεια του τροχού να έρθει από κάτω. Μετά από αυτό το σύστημα γυναίκα – κάθισμα θα έχει αποκτήσει στροφορμή με μέτρο:

α. 2 L₀.   β. L₀.  γ. L₀/2   δ. 0

Α.  Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμα.

Β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

S.O.S ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΙΑ ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ – ΜΕΡΟΣ 1ο

Παράλληλη μεταφορά άξονα περιστροφής …

1. Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους ℓ μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στο ένα άκρο της Α, χωρίς τριβές. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα αυτόν είναι: I_(A)= (1/3)mℓ².  Η ράβδος περιστρέφεται υπό την επίδραση σταθερής κατά μέτρο οριζόντιας δύναμης F η οποία ασκείται στο άλλο άκρο της Β και παραμένει συνεχώς κάθετη σ’ αυτή.

Α. Αν μεταφέρουμε παράλληλα τον άξονα περιστροφής στο μέσο της ράβδου ενώ η δύναμη εξακολουθεί να ασκείται στο άκρο Β με τον ίδιο τρόπο, τότε ο λόγος της αρχικής προς την τελική γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου θα είναι:

   α) 2,     β)  1/2,    γ) 1/3.

Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ