Ένα τέταρτο θέμα με ράβδο που κινείται κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο

Δύο παράλληλοι αγωγοί Αχ και Γψ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ℓ = 1 m. Τα άκρα Α και Γ των δύο αγωγών, οι οποίοι έχουν αμελητέα ωμική αντίσταση, συνδέονται με σύρμα ωμικής αντίστασης R₁ = 1 Ω. Κατά μήκος των δύο αγωγών και καθέτως προς τη διεύθυνσή  τους μπορεί να ολισθαίνει μια πρισματική μεταλλική ράβδος μήκους ℓ = 1 m, με μάζα m = 0,1 kg και ωμική αντίσταση R₂ = 1 Ω, έχοντας συνεχώς τα άκρα της σε επαφή με αυτούς. Κατά την κίνησή της εμφανίζεται δύναμη τριβής Τ= 2 Ν. Η διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. H ράβδος ηρεμεί και τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται πάνω της σταθερή εξωτερική δύναμη F = 3 Ν, παράλληλη προς τους αγωγούς. Η ταχύτητα της ράβδου αυξάνεται και αφού διανύσει διάστημα s = 1,6 m αποκτά μια μέγιστη σταθερή (οριακή) τιμή. Να υπολογιστούν:

α. Το μέτρο της οριακής ταχύτητας της ράβδου.

β. Το ποσό θερμότητας που αναπτύχθηκε σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος από τη στιγμή t = 0 μέχρις ότου η ράβδος αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

γ. Το φορτίο που διακινήθηκε μέσα από μια διατομή της ράβδου μέχρι να σταθεροποιηθεί η ταχύτητά της.

δ. Ο χρόνος κίνησης της ράβδου μέχρι να αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

ε. Η τάση στα άκρα της ράβδου όταν η ταχύτητά της σταθεροποιηθεί.

 στ. Ο ρυθμός με τον οποίο ελευθερώνεται θερμότητα στο όλο σύστημα όταν η ράβδος  κινείται με ταχύτητα υ =υ_ορ/2. 

8. Αναζητώντας τη στιγμή όπου η δύναμη Laplace σε αγωγό, που κινείται ισοταχώς, παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή

Σε ένα ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο πλάτους ℓ και πολύ μεγάλου μήκους, η μία πλευρά του, μήκους ℓ, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές με τα άκρα της σε διαρκή επαφή με τις γειτονικές της πλευρές. Το πλαίσιο είναι τοποθετημένο κάθετα σε ένα ομογενές Μ.Π. έντασης Β. Κάθε μέτρο από το σύρμα του πλαίσιου παρουσιάζει ωμική αντίσταση r. Τοποθετούμε την κινητή πλευρά του πλαίσιου σε αμελητέα απόσταση από την απέναντι της και τη στιγμή t = 0, με κατάλληλο μηχανισμό, τη θέτουμε σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ κατά μήκος των δύο άλλων.

α. Να δείξετε ότι το πλαίσιο θα αρχίσει να διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα και, με γνωστά τα μεγέθη που αναφέρονται στην εκφώνηση, να βρείτε τη σχέση με το χρόνο t της δύναμης Laplace πάνω στην κινούμενη πλευρά.

β. Ποια χρονική στιγμή το μέτρο της δύναμης Laplace θα γίνει ίσο με το μισό του μέτρου της αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t = 0; 

6. Αρμονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο και επαγόμενο εναλλασσόμενο ρεύμα

Η ένταση του ομογενούς Μ.Π. του σχήματος έχει φορά κάθετη προς την επιφάνεια του κυκλικού αγωγού και μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με τη σχέση:

                              Β = 2ημ50πt  (τo Β σε mTesla και το t σε sec)

Α) Ποια είναι η φορά και το μέτρο του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση R = 10 Ω

α. τη χρονική στιγμή t₁ = 0

β. τη χρονική στιγμή t₂ = 20 msec

γ. τη χρονική στιγμή t₃ = 30 msec

Β) Δείξτε ότι η ωμική αντίσταση R διαρρέεται από αρμονικά εναλλασσόμενο ρεύμα και να υπολογίσετε το ποσό θερμότητας που αποδίδει στο περιβάλλον σε χρόνο t = 10 min.

Θεωρείστε θετική την προς τα εσάς φορά της έντασης του Μ.Π. και το εμβαδόν A της επιφάνειας του κυκλικού αγωγού ίσο με 100π cm². Με προσέγγιση π² = 10. 

Απάντηση:

5. Ράβδος απομακρύνεται από ρευματοφόρο αγωγό

Μια αγώγιμη ράβδος μήκους ℓ απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα κάθετη σε έναν ευθύγραμμο αγωγό απείρου μήκους, που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I όπως φαίνεται στο σχήμα. Κατά την απομάκρυνσή της η ράβδος διατηρείται παράλληλη προς τον ρευματοφόρο αγωγό. Ποια είναι η σχέση που δίνει την Η.Ε.Δ. που επάγεται στα άκρα  της ράβδου; 

4. Ρεύμα μεταβλητής έντασης σε ευθύγραμμο αγωγό που περιβάλλεται από τρεις κυκλικούς

α) Χρησιμοποιώντας το νόμο του Lenz, προβλέψτε την κατεύθυνση του επαγόμενου ρεύματος στους αγωγούς 1, 2 και 3, όταν το ρεύμα στο σύρμα μειώνεται σταθερά. (Το επίπεδο του αγωγού 3 είναι κάθετο στον ευθύγραμμο αγωγό του οποίου το μήκος να θεωρηθεί πολύ μεγάλο).

β) Αν οι αγωγοί 1 και 2 βρίσκονται μαζί με τον ευθύγραμμο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, να εξετάσετε αν θα πλησιάσουν ή θα απομακρυνθούν μεταξύ τους.

3. Αναζητώντας τον γεωγραφικό προσανατολισμό της δύναμης Laplace

Ένα ευθύ κατακόρυφο σύρμα φέρει ρεύμα 2,0 Α με φορά προς τα κάτω σε μια περιοχή μεταξύ των πόλων ενός μεγάλου υπεραγώγιμου ηλεκτρομαγνήτη, όπου το μαγνητικό πεδίο είναι ομογενές, έχει ένταση Β = 1 Τ και είναι οριζόντιο. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για το μέτρο και την κατεύθυνση της μαγνητικής δύναμης σε ένα τμήμα 1,00 cm του σύρματος, εάν η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου είναι (α) προς την  ανατολή β) προς το νότο  γ) 30° νότια από τη δύση. 

Μέτρο	Κατεύθυνση
α)
β)
γ)

2. Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο και ομογενές κυλινδρικό μαγνητικό πεδίο

Τμήμα ενός τετράγωνου συρμάτινου πλαίσιου βρίσκεται μέσα σε ένα κυλινδρικό ομογενές μαγνητικό πεδίο, ακτίνας r = 10 cm, με την επιφάνειά του κάθετη στις δυναμικές του γραμμές. Κάθε πλευρά του πλαίσιου έχει ωμική αντίσταση R = 10 Ω. Η ένταση του Μ.Π. ελαττώνεται με σταθερό ρυθμό dB/dt = 0,02 T/s.

α) Να εξηγήσετε γιατί το πλαίσιο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα.

β) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος και να σχεδιάσετε τη φορά του. 

Μερικά Β Θέματα ηλεκτρομαγνητισμού

1. Ευθύγραμμος αγωγός απείρου μήκους και κυκλικός αγωγός αμελητέας ακτίνας

Ένας πολύ μικρός κυκλικός αγωγός εμβαδού Α = 1 mm² βρίσκεται σε απόσταση ℓ = 20 cm από ευθύγραμμο πολύ μεγάλου μήκους αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα έντασης i = 10 A για χρόνο 0,1 s. Να βρείτε την ΗΕΔ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο κυκλικό πλαίσιο.

7. Κυκλικός αγωγός κινείται μέσα σε Ο.Μ.Π και παραμορφώνεται

Ο κυκλικός συρμάτινος αγωγός έχει ακτίνα r = 10 cm, αντίσταση R = 10 Ω και κρέμεται από το σταθερό σημείο Α, έχοντας το επίπεδό του κατακόρυφο και κάθετο στις δυναμικές γραμμές οριζόντιου ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης Β = 0,1 Τ. Κάποια στιγμή αρχίζουμε να τραβάμε προς τα κάτω το σημείο Γ με σταθερή ταχύτητα υ = 10 m/s, όπως στο σχήμα. Ποια είναι η μέση τιμή του επαγωγικού ρεύματος που θα δημιουργηθεί; Δίνεται π = 3,14. 

Κινούμενη ράβδος – δύο διακόπτες

Οι μεταλλικοί αγωγοί ΑΒ και ΓΔ του σχήματος έχουν πολύ μεγάλο μήκος, αμελητέα αντίσταση και είναι παράλληλοι με το επίπεδό τους κατακόρυφο. Συνδέουμε τα άκρα τους Α και Γ μέσω ανοικτού διακόπτη δ₁ με σύρμα αντίστασης R = 10 Ω. Το ίδιο κάνουμε και με τα άκρα Β και Δ. Πάνω στο επίπεδο των δύο αγωγών είναι τοποθετημένος, κάθετα προς τη διεύθυνση τους, άλλος ευθύγραμμος αγωγός ΜΝ μήκους ℓ = 1 m, ο οποίος μπορεί να ολισθαίνει με τα άκρα του σε συνεχή επαφή με αυτούς, χωρίς τριβές. Η μάζα του αγωγού ΜΝ είναι m = 0,6 kg και η αντίσταση του ασήμαντη. Το σύστημα όλων των αγωγών βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο, του οποίου η μαγνητική επαγωγή (ένταση) Β = 2T είναι κάθετη στο επίπεδό τους. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 ο αγωγός ΜΝ τίθεται σε κίνηση με την επίδραση κατακόρυφης προς τα πάνω σταθερής δύναμης F = 10 Ν και λίγο μετά, τη χρονική στιγμή t₁, κλείνουμε τον διακόπτη δ₁. Διαπιστώνουμε τότε ότι από τη στιγμή t₁ κι έπειτα ο αγωγός κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₁, ίση με εκείνη που είχε τη στιγμή t₁ .

α) Να βρείτε: τη χρονική στιγμή t₁, την ταχύτητα υ₁ και την ένταση του ρεύματος Ι₁.

β) Τη στιγμή t₂ = 2t₁ κλείνουμε και τον διακόπτη δ₂. Να κάνετε το διάγραμμα Ε_επ-t για το χρονικό διάστημα από τη στιγμή 0 ως τη στιγμή t₂ και να υπολογίσετε το φορτίο που διακινήθηκε μέσα στο κύκλωμα στο ίδιο χρονικό διάστημα.

γ) Να περιγράψετε την κίνηση του αγωγού μετά τη στιγμή αυτή και να δείξετε ότι θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα την οποία και να υπολογίσετε.

δ) Να υπολογίσετε τη θερμότητα που ελευθερώνεται σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος στο χρονικό διάστημα 0 → t₂.

ε) Κάποια χρονική στιγμή t₃, κι ενώ ο αγωγός κινείται με την παραπάνω οριακή ταχύτητα, καταργούμε τη δύναμη F.  Να μελετήσετε την κίνηση του αγωγού μετά τη στιγμή t₃ και να υπολογίσετε τη μέγιστη μεταβολή στην ορμής του από τη στιγμή t₃ και έπειτα.

Το μέτρο της επιτάχυνσης βαρύτητας είναι g = 10 m/s². 

Κινούμενη ράβδος σε Ο.Μ.Π. από μεταβλητή δύναμη

Τα άκρα δύο παράλληλων οριζόντιων σιδηροτροχιών συνδέονται με σύρμα αντίστασης R = 2 Ω. Αγωγός μήκους ℓ = 1 m, όση είναι και η απόσταση των σιδηροτροχιών, μάζας M = 0,5 kg και αμελητέας αντίστασης θέλουμε να ολισθαίνει με σταθερή επιτάχυνση α = 4 m/s², πάνω στις σιδηροτροχιές. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 ο αγωγός είναι ακίνητος:

α) Να γίνει η γραφική παράσταση της εξωτερικής δύναμης, που πρέπει να ασκούμε κάθετα στο μέσον του αγωγού για την κίνηση του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Τη χρονική στιγμή t1 = 1 s να υπολογιστούν:

Ι.  Ο  ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στη  ράβδο, μέσω του έργου της δύναμης F, καθώς και η αντίστοιχη ισχύς της δύναμης Laplace.

ΙΙ. Η ηλεκτρική ισχύς που εμφανίζεται στο κύκλωμα, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

Λύση:

Κινούμενη ράβδος σε Ο.Μ.Π. με τριβή 2η

Μεταλλική ράβδος μάζας m = 2 kg μήκους ℓ = 1 m και αντίστασης r = 2 Ω μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε δύο παράλληλα σύρματα που βρίσκονται σε οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση ℓ. Τα άκρα των συρμάτων συνδέονται με αντίσταση R = 8 Ω και όλη η διάταξη βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. αν δώσουμε στη ράβδο αρχική ταχύτητα υ₀ = 20 m/s και η ράβδος σταματήσει μετά από διαδρομή s = 5 m, να βρεθούν:

α) Η αρχική ΗΕΔ από επαγωγή στα άκρα της ράβδου

β) Η αρχική επιβράδυνση της ράβδου και

γ) Η θερμότητα ου παράγεται σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος.

Δίνεται ότι κατά την κίνηση της ράβδου υπάρχει τριβή Τ = 40 N.

Λύση:

Κινούμενη ράβδος σε Ο.Μ.Π. με τριβή 1η

Στα άκρα Α και Γ των μεταλλικών ράβδων ΑΒ και ΓΔ συνδέεται αντίσταση R= 1,5 Ω. Μια τρίτη ράβδος ΜΝ με μήκος ℓ = 0,4m και αντίσταση r = 0,1 Ω. σύρεται με σταθερή δύναμη F = 1 Ν, που είναι παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο το οποίο ορίζουν οι ράβδοι AΒ και ΓΔ. Κατά την κίνηση η ράβδος MΝ διατηρείται κάθετη στις άλλες ράβδους και έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου υ= 10 m/sec. Το οριζόντιο επίπεδο των ράβδων είναι κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, με ένταση Β = 0,8 Tesla και οι αντιστάσεις των ράβδων ΑΒ και ΓΔ είναι αμελητέες,

α) Να δείξετε εμφανίζεται  δύναμη τριβής κατά την κίνηση της ράβδου MΝ και να υπολογίσετε το μέτρο της.

β) Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο προσφέρει ενέργεια στο σύστημα ο εξωτερικός παράγοντας που κινεί τη ράβδο MΝ.  

γ) Με ποιο ρυθμό μετατρέπεται ενέργεια εξαιτίας της τριβής και των αντιστάσεων R. r του κυκλώματος,

δ) Ποια μετατροπή ενέργειας μετράει το έργο που αντιστοιχεί στη δύναμη Laplace,

ε) Ποια είναι η διαφορά δυναμικού στα άκρα της ράβδου ΜΝ και γιατί αυτή διαφέρει από την επαγωγική ΗΕΔ Ε_επ; 

Λύση:

Παράλληλα ρεύματα κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο

Στο σχήμα δίνονται δύο παράλληλοι, μεγάλου μήκους, ευθύγραμμοι αγωγοί σε απόσταση d = 5 cm μεταξύ τους. Το επίπεδο που ορίζουν είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης Β =1,6·10^-4Τ. Οι αγωγοί διαρρέονται από αντίρροπα ρεύματα έντασης Ι =20 Α. 

α)  Υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται κάθε 1,5 m των αγωγών.

β) Τι θα συμβεί με τις παραπάνω δυνάμεις αν αντιστρέψουμε τα ρεύματα που διαρρέουν τους δύο αγωγούς;

Απάντηση:

Μαγνήτης, πηνίο, πυξίδα

Προς ποια κατεύθυνση πρέπει να κινηθεί ο μόνιμος μαγνήτης στην προέκταση του  άξονα ενός σωληνοειδούς, ώστε η μαγνητική βελόνα να έχει τον προσανατολισμό που φαίνεται στο σχήμα; 

Απάντηση:

Οι πόλοι ενός ηλεκτρομαγνήτη

Στον ηλεκτρομαγνήτη του σχήματος,

α. το άκρο Α είναι βόρειος μαγνητικός πόλος και το Β νότιος.

β. το άκρο Α είναι νότιος μαγνητικός πόλος και το Β βόρειος.

γ.  και τα δύο άκρα είναι βόρειοι μαγνητικοί πόλοι.

δ. και τα δύο άκρα είναι νότιοι μαγνητικοί πόλοι. 

Απάντηση:

Μαγνητικό πεδίο δύο ημικυκλικών ρευμάτων

Ένα σταθερό ηλεκτρικό ρεύμα Ι διατρέχει έναν κεντρικό αγωγό ο οποίος διακλαδίζεται σε δύο ομοιόμορφους ημικυκλικούς αγωγούς, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Πόση είναι η συνολική ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται στο κοινό κέντρο Ο από τα δύο ημικυκλικά ρεύματα; 




Απάντηση:

Ορθογώνιο πλαίσιο περιστρέφεται σε ομογενές Μ.Π. 1ο

Ένα ορθογώνιο πλαίσιο περιστρέφεται μέσα σε ομογενές  μαγνητικό πεδίο γύρω από έναν άξονα παράλληλο με τις γραμμές μαγνητικού πεδίου. Αναπτύσσεται σε αυτή την περίπτωση ΗΕΔ από επαγωγή στο πλαίσιο; 

Απάντηση:

Ορθογώνιο πλαίσιο περιστρέφεται σε ομογενές Μ.Π. 2ο

Το ορθογώνιο πλαίσιο του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα ΟΟ΄ που διέρχεται από τα μέσα των δύο οριζοντίων πλευρών του.

α) Τι πρόσημο πρέπει να έχουν οι μαγνητικοί πόλοι του σχήματος, ώστε όταν τοποθετήσουμε το ορθογώνιο πλαίσιο παράλληλα στις δυναμικές γραμμές και διαβιβάσουμε μέσα σε αυτό σταθερό ρεύμα κατά τη φορά που φαίνεται στο σχήμα, αυτό να περιστραφεί αριστερόστροφα, όπως στο σχήμα;

β) Υπολογίστε το έργο που θα εκτελεστεί από το μαγνητικό πεδίο ώσπου το πλαίσιο να γίνει για πρώτη φορά κάθετο στις δυναμικές γραμμές του.

Απάντηση:

Ευθύγραμμος αγωγός και ορθογώνιο πλαίσιο 2ο

Ένα ορθογώνιο πλαίσιο ABΓΔ εκτελεί μεταφορική κίνηση στο μαγνητικό πεδίο ενός ρεύματος που ρέει κατά μήκος ευθύγραμμου αγωγού ΟΟ΄ μεγάλου μήκους. Αγωγός και πλαίσιο βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Βρείτε την κατεύθυνση του ρεύματος που προκαλείται στο πλαίσιο αν απομακρύνεται από τον αγωγό. 





Απάντηση:

Ευθύγραμμος αγωγός και ορθογώνιο πλαίσιο 1ο

Ένα ελαφρύ ορθογώνιο πλαίσιο από χάλκινο σύρμα αιωρείται με τις πλευρές του ΑΔ και ΒΓ οριζόντιες, κρεμασμένο από ένα αβαρές νήμα κοντά σε έναν κατακόρυφο ευθύγραμμο αγωγό απείρου μήκους, ο οποίος διαρρέεται από συνεχές ρεύμα. Πώς θα συμπεριφερθεί το πλαίσιο αν περάσει μέσα από αυτό ρεύμα προς την κατεύθυνση που υποδεικνύεται από τα βέλη;

Αλληλεπίδραση ρευμάτων ευθύγραμμων αγωγών, 1ο

Δίνονται δύο ελεύθεροι ευθύγραμμοι αγωγοί διατεταγμένοι υπό ορθή γωνία όπως φαίνεται στο σχήμα. Συνδέουμε τον καθένα με πηγή σταθερής τάσης οπότε διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα.

Πώς θα επηρεάσει η αλληλεπίδραση των μαγνητικών πεδίων των ρευμάτων τη θέση των αγωγών μεταξύ τους; 

Απάντηση:

Αλληλεπίδραση ρευμάτων ευθύγραμμων αγωγών, 2ο

Ένας απείρου μήκους ακίνητος ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός ΑΒ έχει κοντά του έναν ελεύθερο να κινηθεί ευθύγραμμο και ομογενή αγωγό ΓΔ πεπερασμένου μήκους, που βρίσκεται ολόκληρος στη μία πλευρά του ΑΒ και σε διεύθυνση κάθετη στον ΑΒ. Οι δύο αγωγοί βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Τι θα συμβεί με τον αγωγό ΓΔ εάν διαβιβάσουμε σ’ αυτόν ρεύμα προς στην κατεύθυνση που δείχνει το βέλος;