Αντλία – έμβολο - ελατήριο

Με τη βοήθεια μιας αντλίας πρόκειται να μεταγγίσουμε νερό από μια μεγάλη δεξαμενή Δ₁ σε μια μικρή κυλινδρική δεξαμενή Δ₂, που η βάση της έχει εμβαδό Α_ε = 0,8 m².

Πριν την έναρξη λειτουργίας της αντλίας, υπάρχει  μικρή ποσότητα νερού στη δεξαμενή Δ₂, ίση με 80 L, καθώς και σε όλο το μήκος του σωλήνα μεταφοράς του νερού, το οποίο, όσο δε λειτουργεί η αντλία, εμποδίζεται να κατέλθει προς τη δεξαμενή Δ₁ από μια ειδική βαλβίδα στο κάτω άνοιγμα του σωλήνα (βαλβίδα αντεπιστροφής).

Ένα κυλινδρικό έμβολο, βάρους 1100 Ν και εμβαδού Α_ε = 0,8 m², κλείνει ερμητικά το νερό στη δεξαμενή Δ₂. Το έμβολο, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 1000 N/m και ισορροπεί στην επιφάνεια του νερού, με τη βοήθεια της πιεστικής δύναμης του νερού και της δύναμης του ελατηρίου, το οποίο είναι τεντωμένο κατά Δl = 0,3 m.

Θέτουμε σε λειτουργία την αντλία, η βαλβίδα ανοίγει και το νερό αρχίζει να ρέει με σταθερή ταχύτητα υ = 3 m/s μέσα στο σωλήνα μεταφοράς, ο οποίος έχει σταθερή διατομή, ίση με A_σ = 4 cm².

Το έμβολο αρχίζει να ανέρχεται και η επιμήκυνση του ελατηρίου να μειώνεται. Μέσω ενός αυτοματισμού, η λειτουργία της αντλίας διακόπτεται όταν το ελατήριο ανακτά το φυσικό του μήκος.

Έργο για τη μεταφορά υγρού από ένα δοχείο σε ένα άλλο

Σε δύο συγκοινούντα δοχεία της ίδιας κυκλικής διατομής A = 10 cm² περιέχεται νερό μέχρι το ύψος h = 10 cm. Στο ένα δοχείο τοποθετούμε αβαρές έμβολο και αρχίζουμε σιγά-σιγά, με τη βοήθεια κατακόρυφης δύναμης F, να το σπρώχνουμε προς τα κάτω, μέχρις ότου όλο το νερό που υπάρχει μέσα σ’ αυτό να το μετατοπίσουμε στο άλλο δοχείο. 

3. Ένα αντεστραμμένο κυλινδρικό δοχείο, ένα έμβολο, δύο φλέβες υγρού και μια δύναμη.

Το ορθό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος έχει ύψος Η = 1 m, είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο και είναι γεμάτο με νερό. Η βάση του είναι ένα αβαρές έμβολο με εμβαδόν Α = 100 cm², το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές με τα τοιχώματα. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε ύψος h₁ = 0,8 m από τη βάση του υπάρχει μια μικρή τρύπα την οποία την έχουμε κλείσει σφικτά με ένα πώμα.

Αφαιρούμε το πώμα και ταυτόχρονα ασκούμε στο κέντρο του εμβόλου μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη F, της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση του εμβόλου, με τέτοιο τρόπο, ώστε το νερό να τρέχει από την τρύπα με σταθερή ταχύτητα υ₁ = 2m/s. (Μέχρις ότου το έμβολο φτάσει στο ύψος της τρύπας).

α) Να υπολογίσετε την πίεση σε ένα σημείο Ζ της πάνω βάσης του δοχείου.

β) Να υπολογίσετε το βεληνεκές της φλέβας του υγρού που εξέρχεται από την τρύπα.

γ) Αμέσως μετά την έναρξη της κίνησης του εμβόλου ανοίγουμε, στην ίδια κατακόρυφο με την πρώτη τρύπα, και δεύτερη τρύπα ίδιας διατομής με την πρώτη, και παρατηρούμε

2. Άδειασμα δοχείου με μετατόπιση εμβόλου

Το ανοικτό κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο του σχήματος έχει ύψος h και είναι γεμάτο με νερό. Η βάση του είναι ένα αβαρές έμβολο με εμβαδόν 20 cm², που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Αρχικά, το έμβολο ισορροπεί με τη βοήθεια κατακόρυφης δύναμης F = 8 N. Αρχίζουμε να μετατοπίζουμε το έμβολο με σταθερή ταχύτητα, διαμορφώνοντας κατάλληλα το μέτρο της F.

Έμβολα και έργα

1. Εκτόξευση υγρού διαλύματος από σύριγγα

Μια υποδερμική σύριγγα είναι γεμάτη με ένα φαρμακευτικό διάλυμα το οποίο έχει πυκνότητα, πρακτικά, ίση με του νερού. Ο κύλινδρος της σύριγγας έχει μήκος L = 8 cm και εγκάρσια διατομή A₁ = 2,5·10^-4 m²_, ενώ η βελόνα Α₂ = 0,1·10^-4 m². Αν δεν ασκούμε δύναμη στο έμβολο, η πίεση παντού είναι ίση με Ρ_atm. Εφαρμόζουμε μια δύναμη F = 3,12 Ν κάθετα στο έμβολο με αποτέλεσμα το υγρό να εξέρχεται με ταχύτητα υ₂ από τη βελόνα. Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα υ₂ με την οποία εξέρχεται το διάλυμα από τη βελόνα.

Το ροόμετρο Venturi με μανόμετρο υδραργύρου και το απλό ροόμετρο Venturi

Στο ροόμετρο Venturi του σχήματος, που διααρρέεται από νερό, έχουμε προσαρμόσει ένα μανόμετρο υδραργύρου. Κάνοντας χρήση των δεδομένων που βλέπετε στο σχήμα, καθώς και ότι Δh = 8 cm, να υπολογίσετε:
α) Το W που προσφέρεται από το περιβάλλον ρευστό σε κάθε m³ νερού, για να μεταβεί από την περιοχή διατομής  Α₁, στη στενή περιοχή διατομής Α₂.

β) Την κινητική ενέργεια κάθε m³ νερού που διέρχεται από τη διατομή Α₁.

γ) Την κινητική ενέργεια κάθε m³ νερού που διέρχεται από τη διατομή Α2 του σωλήνα.

δ) Την παροχή του νερού στο σωλήνα.

Δίνεται ότι το νερό ειναι ασυμπίεστο και ότι η ροή του στο σωλήνα είναι στρωτή και χωρίς απώλειες ενέργειας λόγω φαινομένων τριβής.

4. Ταχύτητα μετατόπισης στάθμης υγρού σε δεξαμενή κι εκτόπιση αέρα

Στην κυλινδρική δεξαμενή του σχήματος, διαμέτρου D = 2m, εισάγεται νερό μέσω του σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3. Με τη βοήθεια αντλιών το νερό εισχωρεί με σταθερή ταχύτητα υ­­₁ = 8 m/s από τον σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3 με σταθερές ταχύτητες υ₂ = 3,75 m/s και υ₃ = 4 m/s, αντίστοιχα. Ο σωλήνας 4 είναι ανοιχτός και μέσω αυτού επικοινωνεί ελεύθερα ο αέρας που βρίσκεται μέσα στο δοχείο με τον ατμοσφαιρικό. Οι εσωτερικές διάμετροι των σωλήνων είναι d₁ = 6 cm, d₂ = 4 cm, d₃ = 5 cm και d₄ = 4 cm. Το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη δεξαμενή είναι πάνω από τον σωλήνα 1 και η ροή του νερού είναι στρωτή.

 Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται η ελεύθερη στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή.

3. Αιώρηση επίπεδης πλάκας πάνω σε πίδακα νερού

Από κατακόρυφο σωλήνα διατομής Α₁ = 2 cm²  βγαίνει φλέβα νερού με ταχύτητα υ₁ = 10 m/s.

α) Ποια είναι η ταχύτητα της φλέβας σε α­πόσταση h = 1,8 m από την έξοδο στις δύο περιπτώσεις του σχήματος;

β) Ποιο είναι το εμβαδό της διατομής Α₂ της φλέβας σε απόσταση h από το στόμιο του σωλήνα στην κάθε περίπτωση;

γ) Πόσος όγκος νερού διέρχεται από τη διατομή Α₂ σε χρόνο ίσο με 1 sec σε κάθε περίπτωση;

δ) Πόση είναι η μάζα της υγρής στήλης ύψους h πάνω από το στόμιο του σωλήνα στην περίπτωση (α);

ε) Ένας ομογενής και ισοπαχής δίσκος μάζας m μπορεί να παραμείνει ακίνητος σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια του πίδακα νερού της περίπτωσης (α), ο οποίος προσπίπτει στην κεντρική περιοχή του δίσκου. Πόση είναι η μάζα m του δίσκου; Το νερό αμέσως μετά την πρόσπτωση στο δίσκο, διαχωρίζεται συμμετρικά προς όλες τις διευθύνσεις και κινείται εφαπτομενικά του δίσκου.

Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s² και η πυκνότητα ρ = 10³ kg/m³ = 1 kg/L του νερού. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα.

12. Υγρά σε ισορροπία. Ένα εύκολο αλλά πονηρό θέμα Β

Στο ανοικτό δοχείο περιέχονται δύο διαφορετικά μη αναμίξιμα υγρά Α και Β. Στη μια πλευρά του έχουν προσαρμοστεί δύο πιεσομετρητές (οι δύο σωλήνες Ι και ΙΙ που επικοινωνούν ο καθένας με το ένα από τα δύο υγρά). Οι αποστάσεις των δύο επιφανειών των υγρών από τη βάση του δοχείου είναι 2 m και 0,3 m Να υπολογίσετε

α) Το ύψος της στάθμης κάθε  υγρού μέσα στον αντίστοιχο σωλήνα.

β) Τη συνολική πίεση στον πυθμένα του δοχείου.

Δίνεται g = 10 m/s².

(Στο σχήμα οι στάθμες των υγρών στους δύο σωλήνες έχουν σχεδιαστεί εντελώς αυθαίρετα. Ως επίπεδο αναφοράς για τη μέτρηση των υψών θεωρείστε τον πυθμένα του δοχείου).

2. Εκροή από κλειστό δοχείο

Η κλειστή δεξαμενή του σχήματος έχει ύψος Η = 2m και περιέχει νερό μέχρι το ύψος h = 1,4 m και από εκεί και πάνω αέρα. Τα εμβαδά των καθέτων τομών των σωλήνων στα σημεία Α και Ο είναι αντίστοιχα S_A = 8 cm² και S_o = 2 cm².

H πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο είναι Ρ = 1,5·10 N/m² και η πυκνότητα του νερού ρ = 10³ kg/m³.

α) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άνοιγμα στο Ο.

β) Να βρεθεί το ύψος h₁ του νερού  στον ανοιχτό κατακόρυφο σωλήνα ΑΒ.

(Θεωρείστε αμελητέο το εμβαδό της διατομής στο Ο σε σχέση με το εμβαδό της επιφάνειας του υγρού στο κλειστό δοχείο).

γ)  Σιγά – σιγά η στάθμη του νερού στη δεξαμενή κατέρχεται και μετά πάροδο αρκετού χρόνου σταθεροποιείται σε ένα ύψος h₂. Να το υπολογίσετε.

δ) Να βρείτε την τελική τιμή της πίεσης του αέρα μέσα στο δοχείο. 

Δίνεται ότι: P_atm = 10⁵Ν/m² και g = 10 m/s² και ότι η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή.

ΟΔΗΓΙΑ  Στα ρευστά, ό,που έχω πιέσεις ή και ύψη εφαρμόζω νόμο Bernoulli, ό,που έχω διατομές εφαρμόζω νόμο συνέχειας. Σε σωλήνα με στάσιμο υγρό εφαρμόζω τη σχέση της υδροστατικής.  Αν ένα αέριο εκτονώνεται με σταθερή θερμοκρασία τότε ισχύει PV σταθ.

1. Βεντουρίμετρο και παροχή

Μέσα σε οριζόντιο σωλήνα ρέει νερό. Ο σωλήνας αποτελείται από δύο τμήματα με διατομές Α₁ = 4 cm² και Α₂ = 1 cm² αντίστοιχα. Σε κάθε τμήμα τού σωλήνα υπάρχει ένας κατακό­ρυφος λεπτός σωλήνας. Παρατηρούμε ότι στον πρώτο από αυτούς το νερό σχηματίζει στήλη ύψους h₁ = 15 cm. Η ταχύτητα του νερού στο δεύτερο τμήμα είναι υ₂ = 0,8 m/s. Να βρεθεί:

α) Πόσο είναι το ύψος h₂ της στήλης του νερού στον άλλο σωλήνα και

β) Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει ένα αρχικά άδειο δοχείο όγκου V = 8 L, αν όλο το νερό που εξέρχεται ρίχνεται σε αυτό;

11. Έμβολα και ισορροπία (Απαιτούνται γνώσεις ισορροπίας στερεού)

Το πιστόνι (έμβολο) 1 του σχήματος έχει διάμετρο d = 0,5 cm, ενώ το πιστόνι 2 έχει διάμετρο D = 3 cm και πάνω του στηρίζεται σώμα μάζας m = 36 kg. Οι βάσεις των πιστονιών είναι σε άμεση επαφή με το υγρό και για να βρεθούν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο πρέπει ο μοχλός να διατηρηθεί οριζόντιος, με τη βοήθεια της κατακόρυφης δύναμης F.

10ο. Εμβολο-στήριξη 2ο

Το αβαρές έμβολο εμβαδού Α = 10^-3 m² κλείνει ερμητικά το κάτω μέρος ενός αβαρούς δοχείου γεμάτο με νερό μάζας m = 10 kg και πυκνότητας ρ = 10³ kg/m², χωρίς αέρα, και δεν εμφανίζει τριβές με τα τοιχώματα του δοχείου.

Το έμβολο στηρίζεται κατάλληλα σε σταθερό βάθρο. Στην πάνω βάση του δοχείου ασκούμε μια κατακόρυφη προς τα κάτω δύναμη F = 100 Ν.

9. Εμβολο-στηρίξεις 1ο

Τα δύο αβαρή ισοϋψή δοχεία περιέχουν ίδια ποσότητα νερού πυκνότητας ρ. Δεν περιέχουν αέρα. Κλείνονται ερμητικά από αβαρή έμβολα, με εμβαδά Α₁ και Α₂  ( Α₁> Α₂)  που δεν εμφανίζουν τριβές με τα δοχεία.

Τα έμβολα στηρίζονται κατάλληλα σε σταθερό βάθρο.

Θέλουμε να συγκρίνουμε τις πιέσεις στα σημεία Ε και Δ.

8ο. Έμβολο + δύναμη + τρύπα στο δοχείο

Όπως πριν. Όμως τώρα έχουμε αφαιρέσει το πάνω έμβολο. Αν P_atm = 10⁵ N/m², h = 2 m, εμβαδό επιφάνειας εμβόλου Α = 10^-4 m², πυκνότητα υγρού ρ = 10³ kg/m³ και g = 10 m/s² τότε:

Ι) Το μέτρο της F για να μην μετακινείται το έμβολο πρέπει να είναι:

α) 2 Ν,   β) 12 Ν,   γ) 10 Ν

ΙΙ) Η πίεση στο Ν είναι:

α) 1,2ˑ10⁵ N/m²,   β) 2,2ˑ10⁵ N/m², γ) 2,1ˑ10⁵ N/m²

7ο. Δύο έμβολα + δύο δυνάμεις

Δύο αβαρή έμβολα ίδιας κυκλικής διατομής, εμβαδού Α, κλείνουν ερμητικά τα δύο στόμια του δοχείου του σχήματος, που είναι γεμάτο με νερό. Η διάμετρός τους είναι ασήμαντη σε σχέση με τις διαστάσεις του δοχείου, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πίεση στα σημεία της εσωτερικής επιφάνειας του εμβόλου Ε₂ είναι ίση με την πίεση στο κέντρο του. Το δοχείο στηρίζεται ακλόνητα πάνω σε σταθερά υποστηρίγματα.

Ι. Αν P_atm= 10⁵N/m²,  Α = 10^-4 m², h = 2m, ρ= 10³ kg/m³,  g = 10 m/s²  και F₁ = 10 N, τότε για να ισορροπεί το σύστημα (δηλαδή να μην μετακινούνται τα έμβολα) πρέπει η F₂ να έχει μέτρο:

α) 11 Ν, β)  10 Ν,   γ) 12 Ν

ΙΙ)  Η πίεση στο Ν είναι:

6ο. Έμβολο + δύναμη

Αν F = 2N, P_atm = 10⁵N/m², h = 2m, εμβαδό επιφάνειας εμβόλου Α = 10^-4m², πυκνότητα υγρού ρ = 10³ kg/m³ και g = 10 m/s² τότε:

Ι) Η πίεση στο Ν θα είναι:

α) 10⁵ N/m²,   β) 1,2ˑ10⁵N/m²,  γ) 1,4ˑ10⁵N/m²

ΙΙ) Η πίεση στο Ε θα είναι:

α) 10⁵ N/m²,   β) 1,2ˑ10⁵N/m²,  γ) 1,4ˑ10⁵N/m²

ΙΙΙ) Η πίεση στο Ζ θα είναι:

α) 10⁵ N/m²,   β) 1,2ˑ10⁵N/m²,  γ) 1,4ˑ10⁵N/m² 

5ο. Έμβολο + δύναμη, διάφοροι προσανατολισμοί.

Ίδια με την προηγούμενη, εδώ όμως το έμβολο έχει βάρος w_ε και στην εξωτερική του πλευρά ενεργεί δύναμη F κάθετα πάνω του.

4^ο. Ένα έμβολο, διάφοροι προσανατολισμοί.

Στο στόμιο ενός μπουκαλιού γεμάτο με νερό εισάγουμε ένα αβαρές έμβολο εμβαδού Α, το οποίο μπορεί να γλιστράει χωρίς τριβές με τα τοιχώματά του. Με τη βοήθεια κατάλληλης βαλβίδας αφαιρούμε τον αέρα που τυχόν έχει εγκλωβιστεί, οπότε το έμβολο έρχεται σε επαφή με την ελεύθερη επιφάνεια του νερού (σχήμα α). Στα σχήματα (β), (γ) και (δ) το ίδιο δοχείο το συγκρατούμε σε πλάγια, οριζόντια και αντεστραμμένη, αντίστοιχα, θέση.

Ι) Πόση είναι η πίεση στα σημεία Α και Β σε κάθε περίπτωση;

ΙΙ)  Η δύναμη που ασκεί το νερό στο έμβολο στο σχήμα (δ) είναι:

i. Ίση με το βάρος w του νερού.

ii. Ίση με  W + P_atmA

iii. Ίση με  P_atmA

3ο. Δύο ομοαξονικά έμβολα

  

 Το δοχείο του σχήματος είναι γεμάτο με ιδανικό υγρό και κλείνεται ερμητικά με δύο κυλινδρικά έμβολα Ε₁ και Ε₂ που τα εμβαδά τους Α₁ και Α₂, αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση Α₁ = 4Α₂. Οι άξονες των δύο εμβόλων βρίσκονται πάνω στην ίδια οριζόντια γραμμή, τη διακεκομμένη γραμμή του σχήματος σε απόσταση h από την οροφή. Κάθετα στην επιφάνεια του εμβόλου Ε₁ ασκούμε δύναμη μέτρου F₁, της οποίας ο φορέας ταυτίζεται με τον άξονα του εμβόλου.

Ι) Για να παραμείνουν τα έμβολα ακίνητα στις αρχικές τους θέσεις, πρέπει ταυτόχρονα στο έμβολο  Ε₂ να ασκήσουμε κάθετη δύναμη στο κέντρο του, που έχει μέτρο F₂ για το οποίο ισχύει:

                        α. F₂ = 4F₁,     β.  F₂ = F₁,        γ.   F₂ = F₁/4

ΙΙ)  Η πίεση Ρ_Μ σε ένα σημείο Μ της οριζόντιας γραμμής των αξόνων των δύο εμβόλων είναι:

α. Ρ_Μ= F₁/A1  ή   Ρ_Μ = F₂/A₂,     β.  Ρ_Μ= F₁/A1+F₂/A2,    γ.  Ρ_Μ= F₁/A1+ Ρ_atm
ΙΙΙ) Αν στα σημεία της οροφής επικρατεί πίεση ίση με P_atm τότε:

 α. F₁ = (P_atm – ρgh)Α₁,      β.  F₁ = ρghΑ₁,      γ. F₁ =  (P_atm + ρgh)Α₁