Πού πήγε η ενέργεια που χάθηκε; (Προσέξτε το θέμα αυτό!)

Απορία μαθητή. Μου δόθηκε η εξής άσκηση:

Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Το μήκος της ράβδου είναι L και η μάζα της Μ. Σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m, ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή συχνότητα ω₀. Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι, λόγω αδράνειας, ωθούνται στα άκρα της ράβδου, όπου δεν υπάρχει κανένα εμπόδιο να τους συγκρατήσει κι έτσι πέφτουν στο έδαφος. Να υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος και την κινητική ενέργεια περιστροφής του, τη στιγμή που οι δύο δακτύλιοι φτάνουν στο τέλος της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι  I_ρ = ML²/12.

Γνωρίζω ότι πρέπει να χρησιμοποιήσω την αρχή διατήρησης στροφορμής:

                                         Ι₀ω₀ = Ι_τελω_τελ (=L) →  ω_τελ = Ι₀ω₀/Ι_τελ

Και επομένως: 

                                             ΔΚ_σροφ =  (1/2)Lω_τελ - (1/2)Lω₀ < 0,

δηλαδή, έχουμε απώλεια ενέργειας.

Έχω όμως τις εξής απορίες:

1. Δεν έχουμε εξωτερικές δυνάμεις και ροπές στο σύστημα. Γιατί παραβιάζεται εδώ η αρχή διατήρησης της ενέργειας:

                                                       (1/2)Ι₀ω₀² =  (1/2)Ι_τελω_τελ²

Απ’ όπου προκύπτει αποτέλεσμα:  ω_τελ = ω₀√( Ι₀/Ι_τελ) < ω₀  και ΔΚ = 0, εντελώς διαφορετικό; Πού πήγε η ενέργεια που χάθηκε;

2. Όταν οι δακτύλιοι φύγουν από τη ράβδο, η νέα της γωνιακή ταχύτητα θα υπολογιστεί από τη σχέση 

                                           Ι_ρ· ω_νεα = (Ι_ρ+ 2mL²/4) ω_τελ;

Είναι μια όμορφη απορία, που απ' την εμπειρία μου γνωρίζω ότι την έχουν και άλλοι μαθητές. 

Ας πάρουμε ένα-ένα τα ερωτήματα:

1. Δεν παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας!

Στην εξίσωσή σου  (1/2)Ι₀ω₀² =  (1/2)Ι_τελω_τελ²,  θεωρείς ότι το σύστημα, τόσο στην αρχική όσο και στην τελική του κατάσταση, έχει μόνο κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Όμως, υπάρχει και μια ποσότητα κινητικής ενέργειας  λόγω μεταφορικής κίνησης των δακτυλίων, καθώς αυτοί οδηγούνται, λόγω αδράνειας, προς τα άκρα της ράβδου. Οι δακτύλιοι, και περιστρέφονται και μετατοπίζονται, κι έτσι η συνολική τους ταχύτητα δεν είναι ίδια με την ταχύτητα των σημείων της ράβδου πάνω στα οποία εφάπτονται.

Πρέπει λοιπόν να διορθωθεί η προηγούμενη σχέση στην εξής

                                    (1/2)Ι₀ω₀² =  (1/2)Ι_τελω_τελ²+ 2(1/2)mυ_δ²    (1)

Όπου υ_δ είναι η ταχύτητα λόγω μεταφορικής κίνησης με την οποία φτάνουν οι δακτύλιοι στα άκρα της ράβδου.

Έτσι, στην εξίσωση (1) της Α.Δ.Μ.Ε υπάρχουν δύο άγνωστοι, το ω_τελ και η υ_δ και άρα, αφού το σύστημα είναι μονωμένο, πρέπει να καταφύγεις και σε μια άλλη αρχή διατήρησης, αυτή της Α.Δ.Σ   (Ι₀ω₀ = Ι_τελω_τελ), απ’ όπου άμεσα προκύπτει το ω_τελ. Ύστερα, από την εξίσωση (1), μπορείς να υπολογίσεις και την (ακτινική) ταχύτητα  με την οποία φτάνουν οι δακτύλιοι στα άκρα της ράβδου.

2.  Όχι. Όταν οι δακτύλιοι εγκαταλείψουν τη ράβδο, αυτή θα συνεχίσει να κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω_τελ, (ίση με αυτήν που είχε το σύστημα, τη στιγμή που οι δακτύλιοι έφταναν στα άκρα της ράβδου).

Η εξήγηση είναι απλή:  Μπορεί οι δακτύλιοι να εγκαταλείπουν τη ράβδο, κρατάνε ίδια όμως τη στροφορμή τους, αφού δεν δέχονται κάποια εξωτερική ροπή. Πρέπει όμως να κρατήσει ίδια τη στροφορμή της και η ράβδος, αφού το σύστημα είναι μονωμένο, και αυτό σημαίνει ότι δε θα αλλάξει η γωνιακή της ταχύτητα.  

Στη σχέση, που γράφεις, έχεις παραλείψει τη στροφορμή που έχουν οι δακτύλιοι όταν εγκαταλείψουν τη ράβδο. Πρέπει να διορθωθεί στην εξής:

                         Ι_ρ· ω_νεα + (2mL²/4) ω_τελ = (Ι_ρ+2mL²/4) ω_τελ 

Είναι φανερό ότι από αυτήν προκύπτει ω_νεα = ω_τελ.

Παρατήρηση: Υπόψη ότι, επειδή το σύστημα είναι μονωμένο, δεν συνεπάγεται ότι έχουμε και διατήρηση της μηχανικής του ενέργειας. Αυτό ισχύει μόνο αν οι δυνάμεις μέσα σε αυτό είναι συντηρητικές.  Υπάρχει, για παράδειγμα, η άσκηση 4.60 του σχολικού βιβλίου. Εκεί οι δακτύλιοι σταματάνε στα εμπόδια που υπάρχουν στα δύο άκρα της ράβδου. Είναι φανερό ότι στην άσκηση αυτή δεν ισχύει η Α.Δ.Μ.Ε, αφού οι δακτύλιοι συγκρούονται με τα εμπόδια και θεωρούμε ότι παραμένουν εκεί (πλαστική κρούση). Όλη η κινητική τους ενέργεια λόγω της ακτινικής τους ταχύτητας μετατρέπεται σε θερμική. Όταν όμως το σύστημα είναι μονωμένο, ισχύει πάντα η αρχή διατήρησης της στροφορμής του.