Ελαστική κρούση σε δυο διαστάσεις.

                         Δύο παραλλαγές της 5.41 του σχολικού

 1η 

Μια σφαίρα Α ακτίνας R κινείται με ταχύτητα v και συγκρούεται ελαστικά με μια άλλη όμοια σφαίρα Β που αρχικά ηρεμεί. Το κέντρο της σφαίρας Β βρίσκεται σε απόσταση b από την ευθεία στην οποία κινείται το κέντρο της Α.

Να βρείτε τις ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση.

2η 

Ένα μικρό σφαιρικό σώμα, αμελητέων διαστάσεων, προσπίπτει με ταχύτητα v πάνω σε μια αρχικά ακίνητη σφαίρα ακτίνας R. Τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες. Το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται σε απόσταση b (b<R) από την ευθεία πάνω στην οποία κινείται αρχικά η μικρή σφαίρα.

Αν η κρούση είναι ελαστική, τότε η ταχύτητα της μικρής σφαίρας μετά την κρούση θα είναι: 

	_______
α.  v√	1- (b/R)2 ,       β. vb⁄R ,       γ.  vb⁄2R

Απάντηση:

Το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή

Η συνέχεια του θεωρητικού σημειώματος σε pdf εδώ

Απλή αρμονική ταλάντωση συστήματος "ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου - μάζας" σε πεδίο βαρύτητας

   Το παρακάτω άρθρο, είναι η συνέχεια της ανάρτησης  "το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή". Είχε δημοσιευτεί πέρσι τον Αύγουστο. Το ξαναδίνω αναθεωρημένο στην κυκλοφορία σε τέσσερα μέρη και εμπλουτισμένο με δύο σχετικές ασκήσεις. 

• Το πρώτο μέρος είναι αρκετά τυπικό και περιέχει βασικές γνώσεις α.α.τ. 
• Το δεύτερο περιγράφει πώς δυο καλοί μαθητές μπορούν εύκολα να μπλέξουν "σαν τον Ηρακλή με τις κουβαρίστρες", ακριβώς επειδή είναι καλοί. Ευτυχώς που είναι δύο! 
• Στο τρίτο μέρος οι συμμαθητές "γεννούν" μια ιδέα που ξεκαθαρίζει τη σχέση μεταξύ των τριών δυναμικών ενεργειών: βαρύτητας, ελαστικότητας και ταλάντωσης. 
• Στο τέταρτο μέρος γίνεται αναλυτική παρουσίαση δύο σχετικών ασκήσεων.

Το άρθρο διαβάζεται εύκολα και από μαθητές. Απαιτεί, ίσως, λίγο παραπάνω συγκέντρωση, θα ωφεληθούν όμως και κάποια από αυτά ίσως τα βρουν μπροστά τους!

• ΜΕΡΟΣ 1^ο: Τα βασικά (μαζί με μια εφαρμογή)

• ΜΕΡΟΣ 2^ο:  Όπου δυο μαθητές, προσπαθούν να δώσουν απάντηση σε μια απλή αλλά ενδιαφέρουσα ερώτηση. 

• ΜΕΡΟΣ 3^ο: Όπου οι δυο μαθητές κάνουν μια "σημαντική ανακάλυψη" για τη Μηχανική ενέργεια ταλάντωσης συστήματος "κατακόρυφου ελατηρίου – μάζας".

• ΜΕΡΟΣ 4^ο: Όλες οι δυναμικές ενέργειες μαζί. (Δύο ασκήσεις με τη λύση τους)

Απλή Αρμονική Ταλάντωση. Δέκα ερωτήσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Θέμα Α

1. Στην α.α.τ το πηλίκο της επιτάχυνσης του σώματος προς την απομάκρυνσή του από το κέντρο της ταλάντωσης  είναι, κάθε στιγμή, μέτρο της

α.  σταθεράς επαναφοράς

β.  γωνιακής συχνότητας

γ. (γωνιακής συχνότητας)²

δ. δύναμης επαναφοράς

2. Για ένα σώμα που εκτελεί α.α.τ η κινητική ενέργεια Κ δίνεται από τη σχέση Κ = Κ_οσυν²ωt. Η μέγιστη τιμή της δυναμικής  του ενέργειας είναι:

α.  Κ_ο

β.  μηδέν

γ.  Κ_ο/2

δ. αδύνατο να εκτιμήσουμε.

3.  Η δυναμική  ενέργεια ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι συνάρτηση της απομάκρυνσή  του x από την κεντρική θέση της τροχιάς του. Αν λ είναι θετική σταθερά, η κίνησή του θα είναι α.α.τ  όταν:

α. U = λx²

β. U = -λx²/2

γ. U = k

δ. U = λx

8. Ελαστική κρούση τριών σωμάτων. Ολική μεταφορά.

Είναι γνωστό ότι στην περίπτωση της ελαστικής κρούσης του διπλανού σχήματος, η κινητική ενέργεια του σώματος Α θα μεταφερθεί, τελικά, μέσω του Β, στο Γ. Υπάρχει άλλη περίπτωση ελαστικής κρούσης τριών σωμάτων, όπου τελικά έχουμε ολική μεταφοράς της κινητικής ενέργειας σε ένα μόνο από αυτά;

Η απάντηση είναι, ΝΑΙ, και όχι μόνο μια, αλλά άπειρες. Αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα μάζες και ταχύτητες. Δείτε για παράδειγμα την παρακάτω απλή εφαρμογή.

Τρεις τέλεια λείες ελαστικές σφαίρες Α, Β και Γ, με μάζες m_A = 2 kg, m_B = 4kg και m_Γ = 8 kg, κινούνται κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα τους και προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες μέτρων 4 m/s, 1m/s και 0,75 m/s, αντίστοιχα, όπως δείχνει το σχήμα. Αν πρώτα συγκρουστεί η σφαίρα Α με τη Β, και στη συνέχεια η Β με τη Γ, τότε:

Ελαστική κρούση και ανατροπή

Ένα σώμα Β  σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, μάζας 4m, είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα οριζόντιο σταθερό τραπέζι. Πάνω του τοποθετούμε ένα όμοιων διαστάσεων σώμα Α μάζας 2m, όπως στο σχήμα.

Μεταξύ της βάσης του σώματος Β και του τραπεζιού υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής ολισθήσεως μ. Δεν υπάρχει τριβή μεταξύ των δύο σωμάτων Α και Β.

Μια μικρή ελαστική σφαίρα μάζας m κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα v κατά μήκος μιας νοητής ευθείας, που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος Β και είναι κάθετη στην κατακόρυφη πλευρά του, συγκρούεται ελαστικά με το σώμα Β, σε ύψος d πάνω από την επιφάνεια του τραπεζιού.

α. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας v (ας την συμβολίσουμε με υ₀)  για να ανατραπεί το σώμα Α είναι:

                                    α. 5√ 6μgd   ,     β.   ⁵⁄₂ √ 6μgd   ,    γ. 5√ 3μgd  

β.  Αν v = 2υ₀, η απόσταση L (από το σημείο Λ της επιφάνειας του τραπεζιού) του σημείου όπου θα πέσει το μικρό σφαιρικό σώμα μετά την κρούση, είναι:  

                                  α. 6d√ 3μ   ,      β. 12d√ 3μ   ,          γ. 3d√ 6μ   

Σε κάθε ερώτηση να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στην ορθή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Αγνοήστε το ρόλο της τριβής στον αμελητέο χρόνο που διαρκεί η κρούση. Θεωρείστε απεριόριστη την έκταση της επιφάνειας του τραπεζιού. 

(Θέμα από τις κρατικές εξετάσεις  Jee-Advanced των Ινδιών,  διασκευασμένο και προσαρμοσμένο στις απαιτήσεις των Πανελληνίων). 

Απάντηση:

Ταχύτητα απομάκρυνσης προς ταχύτητα προσέγγισης

Δύο σφαιρικές χάντρες Α και Β με μάζες 2m και m, αντίστοιχα, είναι περασμένες σε ένα κατακόρυφο λείο κυκλικό σύρμα ακτίνας 10 m, κατά μήκος του οποίου μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές. Η χάντρα Β βρίσκεται ακίνητη στο κατώτερο σημείο του σύρματος, ενώ η χάντρα Α αρχικά συγκρατείται σε μια θέση, που βρίσκεται στην ίδια οριζόντιο ευθεία με το κέντρο του κυκλικού σύρματος. Αν δώσουμε στην Α μια αρχική ταχύτητα ίση με √60 m/s προς τα κάτω θα συγκρουστεί με τη Β, η οποία, στη συνέχεια, θα ανέλθει ως το αντιδιαμετρικό σημείο από το οποίο ξεκίνησε η Α.

α. Να δείξετε ότι η παραπάνω κρούση δεν είναι ελαστική.

β. Να βρείτε το πηλίκο της ταχύτητας, με την οποία οι χάντρες στο τέλος της κρούσης απομακρύνονται η μία από την άλλη, προς την ταχύτητα της μεταξύ τους προσέγγισης ελάχιστα πριν την κρούση.

γ. Αν η κρούση ήταν ελαστική ποια θα ήταν η τιμή του παραπάνω πηλίκου;

Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 9,8 m/s². 

Απάντηση:

Εισαγωγικές εξετάσεις 2018 τέκνων Ελλήνων Εξωτερικού στη Φυσική: Θέματα - Απαντήσεις

                                           Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια

Επαναληπτικές Πανελληνίων 2018 στη Φυσική : Θέματα - Απαντήσεις

                                           Θέματα  -  Αναλυτικές Απαντήσεις

9. Μια κεντρική κρούση όπου υ1,τελ ≤ υ1,αρχ/2

Απορία μαθητή

Μου δόθηκε η εξής ερώτηση:

Θεωρείστε δύο λεία σφαιρικά σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες. Το Σ₂ είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Σ₁ κινείται πάνω στο επίπεδο αυτό και πλησιάζει το Σ₂ με ταχύτητα υ. Υποθέστε ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα, οι οποίες είναι συγγραμμικές με την υ και έχουν την ίδια φορά με αυτήν.

Να δείξετε ότι υ₁ ≤ υ/2 .

     Να πώς σκέφτηκα: Αφού όλες οι ταχύτητες είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά, μπορώ να υποθέσω ότι  υ ≥0, υ₁≥0, υ₂≥0.

    Εφαρμόζω Α.Δ.Ο:                    mυ = mυ₁ + mυ₂ 

                                                     →   υ = υ₁ + υ₂              (1)

   Στη συνέχεια όμως μπερδεύομαι και δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα αποδείξω αυτό που μου ζητούν. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η κρούση είναι κεντρική, δεν δίνεται όμως καμιά άλλη πληροφορία. Γνωρίζω ότι η τιμή των τελικών ταχυτήτων  διαμορφώνεται ανάλογα με το είδος της κρούσης. Έτσι, αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ότι υ = 10 m/s και υ₂ = 4 m/s, τότε από την παραπάνω σχέση  της Α.Δ.Ο. προκύπτει ότι υ₁ = 6 m/s, οπότε δεν έχουμε  υ₁ ≤ υ/2.  (Σε αυτήν την περίπτωση, βέβαια, το Σ₁ πρέπει να περάσει μέσα από το Σ₂, αλλά από την εκφώνηση δεν προκύπτει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο).

Κάνω κάπου λάθος; Μου έχουν πει ότι η παραπάνω ερώτηση έχει μια πολύ εύκολη απάντηση.

Θα χαρώ πολύ αν μου δώσετε τα φώτα σας.

Νίκος Τ.

Απάντηση:

Τρία τετράγωνα κι ένα στρογγυλό πλακάκι. Μια “περίεργη” κρούση

Ένα λείο επίπεδο στρογγυλό πλακάκι κινείται πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και προσπίπτει με ταχύτητα υ σε ένα σύνολο από τρία ίδια τετράγωνα λεία πλακάκια, που βρίσκονται ακίνητα πάνω στο επίπεδο, τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Και τα τέσσερα πλακάκια, το στρογγυλό και τα τρία τετράγωνα, έχουν ίσες μάζες και ίδιο ύψος και η διάμετρος του στρογγυλού είναι ίση με το μήκος της πλευράς κάθε τετράγωνου.

α) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων στη διάρκεια της κρούσης.

β) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα που θα έχει κάθε πλακάκι μετά την κρούση, αν αυτή θεωρηθεί ελαστική.

(Πηγή: SS Krotov, problems In Physics – διασκευή και απόδοση προσαρμοσμένη στις απαιτήσεις των Πανελληνίων) 

Απάντηση:

Δύο σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι. Μια όμορφη συμμετρία

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες Α και Β με μάζες 3m και m, αντίστοιχα, ηρεμούν αρχικά μέσα σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Τη στιγμή t = 0 δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά με σταθερή γραμμική ταχύτητα υ και μετά από χρόνο t₀ = 2 sec συγκρούεται για 1^η φορά, κεντρικά, με τη σφαίρα Β.

Να βρείτε:

α. Ποια χρονική στιγμή και σε ποια θέση οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν για 2^η φορά.

Δύο ελαστικές σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι – πότε θα ξανασυγκρουστούν.

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες ηρεμούν, αρχικά, μέσα σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι, σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, και μετά από χρόνο t₀ συγκρούεται κεντρικά με τη σφαίρα Β.

 Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες θα ξανασυγκρουστούν έπειτα από χρόνο:

α. t₀, αν m_A > m_B, και 2t₀, αν m_A < m_B

Δύο σφαίρες σε λείο κυκλικό αυλάκι και «το παράδοξο της 2ης κρούσης»

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες τοποθετούνται σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι, σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Σπρώχνουμε τις δύο σφαίρες να κινηθούν αντίθετα με ταχύτητες υ_Α και υ_Β, αντίστοιχα. Οι δύο σφαίρες κινούνται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και μετά από χρόνο t₀ συγκρούονται κεντρικά.

α. Σε πόσο χρόνο οι δύο σφαίρες θα ξανασυγκρουστούν;