10. Ανίχνευση κύματος, ορισμένης συχνότητας, με πλάτος πάνω από μια ελάχιστη τιμή 

Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή  πολύ μεγάλου μήκους,  προσανατολισμένη  στη διεύθυνση του άξονα xx΄, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος λ = 10 m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση x = 0 και ξεκινάει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση:

 ψ =2ημ(0,5πt)  (οι μονάδες των μεγεθών στο S.I).

 Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση x=100 m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος, η οποία μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας f_s = 3393 Ηz.

 Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με -2,5 m/s² (από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).

 Ένας δέκτης A βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά αυτή ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσης του:

Α. Ποια είναι η εξίσωση του κύματος που παράγεται πάνω στη χορδή;

Β. Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει το κύμα στη μικροσυσκευή;                          

Γ. Ποια στιγμή αρχίζει να εκπέμπει η μικροσυσκευή;

Δ. ....

Ε.  ....

ΣΤ.  ....

•   Όλη η εκφώνηση με τις απαντήσεις εδώ, και 

•   μια προτεινόμενη Λύση εδώ

Η ΤΡΙΒΗ ΣΤΑ ΚΑΛΥΤΕΡΑ ΤΗΣ! ΠΏΣ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΙ ΜΙΑ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΘΕΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Μου πήρε πολύ χρόνο, αλλά τελικά βγήκε! Φθίνουσα ταλάντωση με τριβή σταθερού μέτρου… Μια εργασία που την προετοίμαζα σιγά-σιγά, μαζεύοντας και επεξεργαζόμενος προσεκτικά το σχετικό υλικό. Δεν αποφάσιζα όμως να στρωθώ και να αποδώσω το θέμα με τον δικό μου τρόπο. Έβλεπα ότι ήθελε πολύ κουράγιο και πολλές ώρες δουλειάς.

   Ώσπου ένα … προσκλητήριο γάμου και μια θύμηση με ενεργοποίησε.  Μου το ενεχείρησε μια παλιά μου μαθήτρια, η Χρύσα, μετά από μια συνάντηση για καφέ, όπου με γνώρισε στον μέλλοντα σύζυγό της. Μου θύμισε πολλά που τα 'χα ξεχάσει, ανάμεσα σ’ αυτά και το περιστατικό με τη φθίνουσα. Όμως αυτό το θυμόμουν αρκετά καλά, γιατί ως ανταμοιβή στην προσφορά της, της είχα φτιάξει μια άσκηση που την έδινα κάθε χρόνο στους  επόμενους μαθητές της Τρίτης. (Πολλούς μαθητές μου τους θυμάμαι μ’ αυτό τον τρόπο: Από μια απορία που διατύπωσαν, ή από μια άσκηση που δημιουργήθηκε εξαιτίας τους). Το μάζευα το υλικό αυτό και το έδινα στους νεότερους, έτσι για να βλέπουν τα κατορθώματα των «παλιών». 

    Όταν την πληροφόρησα ότι στις τελευταίες εξετάσεις το 3^ο θέμα μπορούσε να λυθεί με βάση την άσκηση αυτή, έσκασε στα γέλια.

   -Έχω ένα αδελφάκι, μου λέει, φέτος  αυτό είναι στη Γ΄ Λυκείου, κρίμα που δε θα τη χρειαστεί.

   Πέρασαν από τότε δύο μήνες, … ο μήνας του Μέλητος για το νέο ζευγάρι κι άλλος ένας ακόμη. Το πήρα απόφαση και στρώθηκα στη δουλειά. Έπρεπε να ολοκληρώσω ό,τι είχε, πριν χρόνια, αρχίσει με τη Χρύσα.  

Οι μαθητές μας είναι η έμπνευσή μας!

Οι μαθητές μας είναι η έμπνευσή μας. Διαβάστε αυτήν την ιστορία και ετοιμαστείτε ... 

γιατί στο τέλος της ακολουθεί μια πολύ ενδιαφέρουσα και πρωτότυπη ανάρτηση 

ΜΙΑ ΕΥΚΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ ΚΑΙ ΜΙΑ «ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΗ» ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΤΗΣ

• Α. Η άσκηση

Ένα σώμα μάζας 1 kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. Κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0), ασκούμε στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F₀ =10 Ν, όπως στο σχήμα, οπότε αρχίζει να ολισθαίνει κατά μήκος του ημιάξονα Οx.
α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. και να προσδιορίσετε τη σχέση της μετατόπισής του από τη θέση Ο σε συνάρτηση με το χρόνο. (Θεωρείστε την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική και x = 0 στο θέση Ο).
β. Να βρείτε την εξίσωση της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τη θέση του και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

• Δείτε την απάντηση 

•  
  Β. Η «επικίνδυνη» παραλλαγή της

Ένα σώμα μάζας m ηρεμεί αρχικά στη θέση Ο του άξονα xOx΄. Με τη βοήθεια κατάλληλου μηχανισμού αρχίζει, τη στιγμή t = 0, να κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα με επιτάχυνση α = α₀ – βx, όπου α₀ και β γνωστές σταθερές ποσότητες και x η απόστασή  του από την αρχή Ο.

α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ.

β. Να προσδιορίσετε τις ακραίες θέσεις και τη θέση ισορροπίας της  ταλάντωσης.

 γ. Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα και η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος;

 δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα σταματήσει για πρώτη φορά; 

ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Ένας μαθητής μου έστειλε την ακόλουθη επιστολή:

Γεια σας.

Λέγομαι Δήμος και είμαι μαθητής της Γ τάξης του Γενικού Λυκείου, από την Καβάλα. Αρχικά θα ήθελα να σας συγχαρώ για την ιστοσελίδα σας και το εξαιρετικό υλικό που προσφέρει. Δεύτερον, και κύριος λόγος που σας στέλνω αυτό το μήνυμα είναι γιατί έχω μια απορία όσον αφορά την σύνθεση ταλαντώσεων. 

Έχω λοιπόν ένα σώμα που εκτελεί ταυτόχρονα δυο αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια ευθεία. Οι δυο αυτές ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και ίδια φάση. Επομένως, εάν δεν κάνω λάθος το τελικό αποτέλεσμα της σύνθεσης είναι ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με πλάτος 2Α. Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι τι γίνεται με την ενέργεια.  Εννοώ ότι οι δυο ταλαντώσεις έχουν η καθεμία ενέργεια Ε (γιατί τα πλάτη είναι ίσα), το σώμα όμως εκτελεί ταλάντωση με ενέργεια 4Ε (τουλάχιστον αυτό νομίζω εγώ).Τελικά πού βρέθηκε η επιπλέον ενέργεια 2Ε, πώς προέκυψε;  Θα το εκτιμούσα πολύ εάν γινόταν να μου απαντήσετε. Ευχαριστώ για τον κόπο σας. 

 Είναι αλήθεια ότι το ερώτημα αυτό το δέχονται πολλοί συνάδελφοι. Η συνήθης απάντηση που δίνουμε είναι ...

Συνέχεια ...

Πέντε πρωτότυπες ερωτήσεις για Θέμα Β στις Α.ΑΤ.

 

• 1. Προσοχή, μην ξεχνάτε την αρχική φάση!

• 2. Δύο κινητά, διαφορετικές κινήσεις, ίσες διαδρομές, ίσοι χρόνοι, (1η)

• 3. Δύο κινητά, διαφορετικές κινήσεις, ίσες διαδρομές, ίσοι χρόνοι, (2η)

• 4. Μέγιστο και ελάχιστο μήκος διαδρομής σε χρόνο Τ/3 στις α.α.τ.

• 5. Μέγιστη απόσταση από σημείο όπου είναι γνωστή η ταχύτητα ταλάντωσης

ΣΥΣΤΗΜΑ «ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΜΑΖΑ» ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ «ΣΥΛΛΗΦΘΗKΑΝE» ΣΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ ΜΑΖΙ ΜΕ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ

Αν νομίζετε ότι στις κρούσεις με σύστημα οριζόντιο ελατήριο – σώμα τα πράγματα είναι πιο απλά … ίσως πρέπει να το ξανασκεφτείτε!

1η: ΔΥΟ «ΦΟΡΤΩΜΕΝΟΙ ΜΕ ΒΑΡΗ» ΑΠΛΟΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΟΥΟΝΤΑΙ

Αρχικά, τα κάτω άκρα των σχοινιών είναι ελεύθερα χωρίς βάρη και τα σώματα Σ₁ και Σ₂ ισορροπούν ευρισκόμενα σε επαφή στη θέση Φ πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στην κατάσταση αυτή τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Κρεμάμε στα ελεύθερα άκρα των σχοινιών σώματα με μάζες ίσες με των σωμάτων που είναι δεμένα στο άλλο άκρο τους και τα αφήνουμε σιγά - σιγά ώσπου όλα τα σώματα να ισορροπήσουν στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα.
    Κάποια στιγμή κόβουμε ταυτόχρονα και τα δύο σχοινιά.
Α. Να βρείτε σε ποια θέση και ποια χρονική στιγμή θα συγκρουστούν τα Σ₁ και Σ₂.
Β. Να δείξετε ότι στην παραπάνω θέση καθένα από τα σώματα Σ₁ και Σ₂ έχει (μια στιγμή αμέσως πριν την κρούση) ταχύτητα ίση με 2/π φορές την ταχύτητα που έχουν την ίδια στιγμή τα σώματα που πέφτουν ελεύθερα.
Γ. Αν η κρούση είναι πλαστική,
Γ.1. Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα θα κάνει α.α.τ. και να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς.
Γ.2. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει …

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση με τις απαντήσεις
• Την προτεινόμενη λύση της 

• Σύστημα “οριζόντιο ελατήριο – Μάζα” και ανελαστική κρούση

                   2η:  ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΗ Θ.Ι ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΚΡΟΥΣΗ ΣΤΗΝ ΑΚΡΑΙΑ ΘΕΣΗ                        

 Στην ταυτόχρονη κίνηση δύο κινητών που καταλήγει σε συνάντηση, αξιοποιούμε δύο σχέσεις:

•  Της ισότητας των χρόνων κίνησης και
• Τη σχέση των διανυθέντων διαστημάτων.

Τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν μάζες 2m και m, αντίστοιχα. Αρχικά το Σ₂ ισορροπεί στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου, όπως στο σχήμα, ενώ το Σ₁ κινείται προς αυτό κατά μήκος της προέκτασης του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₁ = 10 m/s . Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται. Τριβές δεν υπάρχουν.

Α. Αν μετά την κρούση οι ταχύτητες των δύο σωμάτων είναι τέτοιες ώστε να ξανασυγκρουστούν στη θέση μέγιστης συμπίεσης του ελατηρίου, να βρείτε τα μέτρα τους.
Β. Αν μεταξύ 1^ης και 2^ης κρούσης μεσολαβεί χρόνος (π/20) sec να βρείτε τη θέση όπου γίνεται η 2^η κρούση.
Γ. Αν μετά την 1^η κρούση η φυσική κατάσταση των σωμάτων …

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση με τις απαντήσεις.
• Μια προτεινόμενη λύση.

• Σύστημα “οριζόντιο ελατήριο – Μάζα” και ανελαστική κρούση

                     3η:  ΣΥΓΚΡΟΥΣΗ – ΜΕΓΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ                                              

Παρακολουθείστε τη συζήτηση δύο μαθητών στην προσπάθειά τους να λύσουν ένα πρόβλημα φυσικής. Ο ακροατής, εν προκειμένω ο αναγνώστης, έχει τη ευκαιρία να παρακολουθήσει και τις σκέψεις των μαθητών που δεν μπορούν να καταγραφούν σε μια επίσημη λύση. Να γνωρίσει δηλαδή πώς αντιπαρέρχονται μια λάθος σκέψη, πώς ο ένας διορθώνει ή συμπληρώνει τον άλλον, τον τρόπο που ανταλλάσσουν τις εμπειρίες τους, τα κόλπα που χρησιμοποιεί ο ένας ή ο άλλος, πώς θα προτιμούσαν να είναι η άσκηση, τι δεν τους αρέσει στην εκφώνηση, πώς ο «δυνατός» μαθητής βοηθάει τον «αδύνατο» κ.λπ.  Έχει ενδιαφέρον. Απολαύστε τους!

• Στις ανελαστικές κρούσεις, μετά την εφαρμογή Α.Δ.Ο και Α.Δ.Ε, προκύπτει σύστημα εξισώσεων που ανάγονται στη λύση εξίσωσης 2^ου βαθμού. Η επίλυση οδηγεί συνήθως σε δύο ζεύγη τιμών από τα οποία το ένα πολλές φορές, εδώ στη Φυσική, πρέπει να αποκλειστεί.

• Όταν μας ζητούν τη μέγιστη ή ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο κινητών, αφού μελετήσουμε την κίνηση του καθενός καταλήγουμε πάντα στο ίδιο συμπέρασμα: η απόσταση  γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη όταν οι ταχύτητες εξισώνονται.

 

Το σώμα Σ₂ έχει μάζα m = 1kgr και ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο στερεωμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, όπως στο σχήμα.  Ένα άλλο σώμα Σ₁ μάζας 2m κινούμενο στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου προσπίπτει στο πρώτο με ταχύτητα υ₁ = 10 m/s. Αμέσως μετά τη σύγκρουση το σύστημα έχει, λόγω απωλειών, κινητική ενέργεια μικρότερη, ίση με τα ¾ της κινητικής ενέργειας πριν την κρούση, ενώ το Σ₂ ξεκινά μια α.α.τ.

Α. Να βρείτε τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.

Β. Να εξηγήσετε γιατί κάποια στιγμή η απόσταση των δύο σωμάτων …

Δείτε:

• Ολόκληρη την Άσκηση με τις Απαντήσεις.
• Τη Λύση της από τους Μαθητές.

ΑΠΩΛΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ «ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΝΑΠΟΔΗ»

• Απώλεια επαφής δύο σωμάτων, που το ένα είναι δεμένο σε ελατήριο θα συμβεί, ο κόσμος να χαλάσει, στη θέση όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος. Εκεί, η ΣF σε κάθε σώμα είναι ίση με το βάρος του και η επιτάχυνση ίση με g.

Το σώμα Σ₂ του σχήματος είναι δεμένο στο κάτω άκρο  ενός αβαρούς σχοινιού το οποίο διέρχεται από μια  κατακόρυφη οπή του Σ₁. Το Σ₁ είναι δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες m₁ = m₂ = m = 1 kg και ισορροπούν ευρισκόμενα σε επαφή, χωρίς να είναι κολλημένα μεταξύ τους,  σε μια θέση όπου το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά Δℓ με τη βοήθεια δύναμης F =100 N που ασκείται στο άλλο άκρο του σχοινιού.

(Στο σχήμα, τα Φ και Ι είναι δυο σημεία από τα οποία διέρχεται το κέντρο του Σ₁ όταν, αντίστοιχα, το ελατήριο έχει μηδενική παραμόρφωση και όταν τα δύο σώματα ισορροπούν).

Κάποια στιγμή το σχοινί κόβεται και τα δύο σώματα αρχίζουν να κινούνται προς τα κάτω.

Α.  Εξηγείστε γιατί η επαφή των δύο σωμάτων δεν χάνεται αμέσως, αλλά αφού πρώτα διανύσουν κάποιο διάστημα. Σε ποια θέση χάνεται η επαφή και πόσο είναι αυτό το διάστημα;

Β. Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης του Σ₁ μετά το αποχωρισμό των σωμάτων.

Γ. Σε ποια θέση βρίσκεται το Σ₁ …

Δείτε:

• Ολόκληρη την Άσκηση με την απάντηση.
• Την προτεινόμενη Λύση της.

Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση. 5η περίπτωση

•  (Χρήση βαθμολογημένου άξονα - Επίπεδο δυσκολίας 5, «ψυχραιμία!»)
• Το συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση 3π/2  

Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 400 Ν/m είναι στερεωμένο και ισορροπεί στη θέση Ι ένα σώμα μάζας Μ = 1 kgr (σχήμα α).       Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι μόνιμα στερεωμένο στο έδαφος.

 Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d = 0,1√ 2 m, ως τη θέση Β (σχήμα β) και το αφήνουμε ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα, οπότε ξεκινά να κάνει α.α.τ.

 Ένα δεύτερο σώμα ίδιας μάζας m = 3 kgr  κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω και στην πορεία  του συναντάει το ταλαντευόμενο σώμα στη θέση x₁ = -0,1 m κάτω από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα υ₀  (σχήμα γ) και συγκρούεται πλαστικά με αυτό.

Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα που προέκυψε ξεκινάει, χωρίς αρχική ταχύτητα, μια α.α.τ. (σχήμα δ).

Α. Να υπολογίσετε ….

     Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση με τις απαντήσεις.
• Την προτεινόμενη λύση.

Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση

• 4η περίπτωση: (Επίπεδο δυσκολίας 4, «όχι και τόσο φοβερή!»)
• ΟΠΟΥ Το συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση π και τετραπλάσια ενέργεια

 
Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k είναι στερεωμένο και ισορροπεί στη θέση Ι ένα σώμα Σ₁ μάζας Μ = 1 kgr (σχήμα α). Το κάτω άκρο είναι στερεωμένο στο έδαφος.

Ανεβάζουμε το σώμα ως τη θέση Φ, όπου το ελατήριο έχει μηδενική παραμόρφωση, (σχήμα β) και το αφήνουμε ελεύθερο να πέσει με μηδενική αρχική ταχύτητα. Το σώμα αρχίζει να κάνει α.α.τ. (σχήμα γ).

Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ μάζας m κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω και στην πορεία  του συναντάει το Σ₁ στην κάτω ακραία θέση του με ταχύτητα υ₀  (σχήμα δ) και συγκρούεται πλαστικά με αυτό.

Κατά την κρούση μετατρέπεται σε θερμότητα το 50% της κινητικής ενέργειας που είχε το σύστημα αμέσως πριν την κρούση.

Μετά την κρούση (που θεωρούμε ότι συμβαίνει τη στιγμή t=0) το συσσωμάτωμα που προέκυψε ξεκινάει μια α.α.τ. με γωνιακή συχνότητα ω = 10 r/s και ενέργεια ταλάντωσης τετραπλάσια της αντίστοιχης του Σ₁ πριν την κρούση.

Να υπολογίσετε: ....

• Η συνέχεια εδώ, και
• Η Λύση εδώ

Απλή αρμονική ταλάντωση συστήματος "ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου - μάζας" σε πεδίο βαρύτητας

   Το παρακάτω άρθρο, είναι η συνέχεια της ανάρτησης  "το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή". Είχε δημοσιευτεί πέρσι τον Αύγουστο. Το ξαναδίνω αναθεωρημένο στην κυκλοφορία σε τέσσερα μέρη και εμπλουτισμένο με δύο σχετικές ασκήσεις. 

• Το πρώτο μέρος είναι αρκετά τυπικό και περιέχει βασικές γνώσεις α.α.τ. 
• Το δεύτερο περιγράφει πώς δυο καλοί μαθητές μπορούν εύκολα να μπλέξουν "σαν τον Ηρακλή με τις κουβαρίστρες", ακριβώς επειδή είναι καλοί. Ευτυχώς που είναι δύο! 
• Στο τρίτο μέρος οι συμμαθητές "γεννούν" μια ιδέα που ξεκαθαρίζει τη σχέση μεταξύ των τριών δυναμικών ενεργειών: βαρύτητας, ελαστικότητας και ταλάντωσης. 
• Στο τέταρτο μέρος γίνεται αναλυτική παρουσίαση δύο σχετικών ασκήσεων.

Το άρθρο διαβάζεται εύκολα και από μαθητές. Απαιτεί, ίσως, λίγο παραπάνω συγκέντρωση, θα ωφεληθούν όμως και κάποια από αυτά ίσως τα βρουν μπροστά τους!

• ΜΕΡΟΣ 1^ο: Τα βασικά (μαζί με μια εφαρμογή)

• ΜΕΡΟΣ 2^ο:  Όπου δυο μαθητές, προσπαθούν να δώσουν απάντηση σε μια απλή αλλά ενδιαφέρουσα ερώτηση. 

• ΜΕΡΟΣ 3^ο: Όπου οι δυο μαθητές κάνουν μια "σημαντική ανακάλυψη" για τη Μηχανική ενέργεια ταλάντωσης συστήματος "κατακόρυφου ελατηρίου – μάζας".

• ΜΕΡΟΣ 4^ο: Όλες οι δυναμικές ενέργειες μαζί. (Δύο ασκήσεις με τη λύση τους)

Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση 3η περίπτωση:

•  (Επίπεδο δυσκολίας 3, +μια απορία!)
• ΟΠΟΥ Tο συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση Π/2. (ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΠΕΙΤΑ ΑΠΟ ΟΛΙΚΗ ΑΠΩΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΤΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ)

Το σώμα Σ₁ μάζας Μ = 1 kgr ισορροπεί στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (σχήμα α). Το τραβάμε προς τα κάτω και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα (σχήμα β). Το σώμα τότε ξεκινάει μια απλή αρμονική ταλάντωση (σχήμα γ) με τα εξής χαρακτηριστικά:

1. Ο ελάχιστος χρόνος μετάβασης από τη μία ακραία θέση στην άλλη είναι 0,1π sec.

2. Η πάνω ακραία θέση είναι η Φ, όπου η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι μηδέν.

Α. Να βρείτε τη σταθερά k του ελατηρίου και το πλάτος της ταλάντωσης του Σ₁.

    Κάποια στιγμή καθώς το σώμα Σ₁ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, προσπίπτει πάνω του και συγκολλιέται με αυτό, ένα άλλο σώμα Σ₂ μάζας m που κινείται προς τα πάνω κατακόρυφα στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₀ τέτοια, ώστε το συσσωμάτωμα που δημιουργείται να έχει αμέσως μετά την κρούση ταχύτητα μηδέν.

Β.  Αν η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος  είναι ίση με 64% της αρχικής ενέργειας ταλάντωσης του Σ₁, να βρείτε τη μάζα m του Σ₂.

Γ. Εξηγείστε γιατί το υπόλοιπο 36% της αρχικής ενέργειας ταλάντωσης του Σ₁, δεν .......

• Ολόκληρη η άσκηση εδώ, και
• Η Λύση εδώ.
  
  
  

Εισαγωγικές εξετάσεις ομογενών 2013 στη Φυσική κατεύθυνσης

• ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2013

• ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ 
  

*ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

• Σχόλια από  YLIKONET

Διαγράμματα U – t και K - t σε α.α.τ. με αρχική φάση. (Μια πραγματική ιστορία)

• Οι Φυσικοί οφείλουμε να γνωρίζουμε ποια Μαθηματικά διδάσκονται οι μαθητές μας. Έτσι, σε πρώτη ευκαιρία, θα τους ενθαρρύνουμε να τα χρησιμοποιούν στην επεξεργασία θεμάτων Φυσικής. Και οι μαθητές μας θα αντιληφθούν πόσο εύκολο είναι να πορευθούν μέσα στο χώρο της φυσικής έχοντας ένα ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο.

     Συζητούσα με το μαθητή μου τον Αλέξανδρο για τις γραφικές παραστάσεις των U = f(t) και K = f(t) στην α.α.τ. Σκέφτηκα, αρχικά να μην τον μπλέξω με αρχικές φάσεις κι έτσι καταλήξαμε στις σχέσεις U = Eημ²ωt και K = Eσυν²ω t, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις αποδίδονται από το διάγραμμα:

    Του είπα να προσέξει στο σχεδιασμό των καμπυλών, ώστε αυτές να τέμνονται ακριβώς στο ύψος Ε/2. Να προσέξει επίσης τη συμμετρία των καμπυλών, απ’ όπου προκύπτει ότι οι ενέργειες  εξισώνονται τις χρονικές στιγμές Τ/8, 3Τ/8, 5Τ/8, 7Τ/8 (4 φορές) στη διάρκεια της 1ης περιόδου.

    Ήρθε και η απορία στο μυαλό του Αλέξανδρου: κι αν έχουμε αρχική φάση π/2;  Φυσικά τότε  U = Eημ²(ωt+π/2) και K = Eσυν²(ω t+ π/2). Προσέξαμε ότι τη στιγμή t= 0 είναι U = E και  Κ= 0, οπότε στο νέο διάγραμμα οι καμπύλες θα είναι αντεστραμμένες:

    Και αν φ₀ = π;  Εύκολα προκύπτει ότι ακολουθεί και δεύτερη αντιστροφή των καμπυλών οπότε καταλήγουμε στο 1­^ο­ διάγραμμα, όπου φ₀ = 0. Όμοια, αν φ₀ =3π/2 ακολουθεί άλλη μια περιστροφή ακόμη και καταλήγουμε στο 2^ο διάγραμμα, κ.λπ.

    Και ήταν τότε που μου ήρθε η «φαεινή» ιδέα να δώσω στον Αλέξανδρο να σχεδιάσει τις καμπύλες με φ₀ = π/6 και να βρει, μάλιστα, τις χρονικές στιγμές όπου U = K ...

• Δείτε τί έγινε στη συνέχεια

Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” και πλαστική κρούση 2η περίπτωση

 (Επίπεδο δυσκολίας 2, «η πιο έξυπνη!»)

ΌΠΟΥ Το συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν

  Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k είναι στερεωμένο και ισορροπεί στη θέση Ι ένα σώμα μάζας Μ = 1 kgr (σχήμα α).

 Ανεβάζουμε το σώμα ως τη θέση Φ, όπου το ελατήριο έχει μηδενική παραμόρφωση (σχήμα β) και το αφήνουμε ελεύθερο να πέσει με μηδενική αρχική ταχύτητα. Το σώμα αρχίζει να κάνει α.α.τ.

   Ένα δεύτερο σώμα μάζας m  κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και στην πορεία του συναντάει το ταλαντευόμενο σώμα στην κάτω ακραία θέση του με ταχύτητα υ₀  (σχήμα γ) και συγκρούεται πλαστικά με αυτό. Μετά την κρούση (που θεωρούμε ότι συμβαίνει τη στιγμή t=0) το συσσωμάτωμα που προέκυψε ξεκινάει μια α.α.τ. με εξίσωση  ψ = Α΄ημ5t και με ανώτερη θέση τη Φ.

  Να υπολογίσετε: …

• Κάντε λήψη ολόκληρης της άσκησης από εδώ.
• Αναλυτική λύση εδώ.

Ο Feynman συνέχισε:

• Στην πραγματικότητα αυτό που κάνουμε είναι να ασχολούμαστε σε υπερβολικό βαθμό μ’ ένα συγκεκριμένο θέμα που δείχνει απόλυτα φυσιολογικό και συνηθισμένο. Οι άνθρωποι αναμφίβολα έχουν φαντασία, μόνο που δεν τη χρησιμοποιούν τόσο εντατικά. Όλοι μας διαθέτουμε δημιουργικότητα, αλλά οι επιστήμονες κάνουν χρήση της σε μεγαλύτερο βαθμό. Αυτό που δεν είναι συνηθισμένο είναι να τη χρησιμοποιείς με τόση ένταση ώστε όλη εκείνη η εμπειρία που συσσωρεύεται με τα χρόνια να αφορά στο ίδιο πάντα περιορισμένο θέμα.

Απόσπασμα από το “ουράνιο τόξο του Φάυνμαν” (Feynman’s Rainbow) του Leonard Mlodinow, σε μετάφραση Δημοσθένη Κοντού εκδόσεις Αλεξάνδρεια.

ΚΑΛΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ!

  Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι εύχομαι με καινούργια διάθεση και ανανεωμένες δυνάμεις να ξεκινήσετε άλλη μια φορά τη δημιουργική σας προσπάθεια για να κάνετε ακόμα φωτεινότερη μέσα σας τη σφαίρα της γνώσης, εσείς οι μαθητές, και να βελτιώσετε ως τα όρια της σοφίας την εμπειρία σας, εσείς οι συνάδελφοι.

  Είναι σίγουρο ότι από αυτήν εδώ τη γωνιά θα προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη δημιουργικότητα και τη φαντασία μας πέρα από το συνηθισμένο, ώστε η συσσωρευμένη με τα χρόνια εμπειρία μας να έχει να προσθέσει κάτι νέο στα ίδια πάντα περιορισμένα θέματα.

                                                                                                               Τάσος Τζανόπουλος

Σύστημα “κατακόρυφο ελατήριο - σώμα” 1η περίπτωση

•  (Επίπεδο δυσκολίας 1, η πιο εύκολη!)
• α.α.τ φορτισμένου σφαιριδίου σε βαρυτικό και ηλεκτρικό πεδίο

Το μεταλλικό σφαιρίδιο του σχήματος έχει θετικό φορτίο q και μάζα m = 0,4 kgr. Το ελατήριο είναι ιδανικό (δηλ., έχει αμελητέα μάζα και υπακούει στο νόμο του Hooke) και έχει σταθερά k = 10 N/m. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές Η.Π. έντασης τέτοιας ώστε το σώμα να ισορροπεί στη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

  Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και προς τα κάτω κατά d = 0,3m και μετά το αφήνουμε ελεύθερο, χωρίς αρχική  ταχύτητα.

Α. Να αποδειχτεί ότι το σφαιρίδιο θα κάνει α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς D = k.

Β. Να υπολογίσετε το πλάτος και τη γωνιακή συχνότητα της α.α.τ.

Γ. Να γραφεί η σχέση της δύναμης ελατηρίου με το χρόνο θεωρώντας t =0 τη στιγμή που αφήνουμε τη σφαίρα.

Δ. Αν τη στιγμή που η σφαίρα περνά από τη θέση ισορροπίας της καταργήσουμε το Η.Π., ποιο θα είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης;

Θεώρησε τις απομακρύνσεις πάνω από τη θέση ισορροπίας θετικές και τις διαστάσεις του σφαιριδίου αμελητέες. Δίνεται g = 10 m/s².

Μπορείτε να κάνετε λήψη της άσκησης σε PDF εδώ

Αναλυτική Λύση της Άσκησης θα βρείτε εδώ