ΜΙΑ ΕΥΚΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ ΚΑΙ ΜΙΑ «ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΗ» ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΤΗΣ

• Α. Η άσκηση

Ένα σώμα μάζας 1 kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. Κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0), ασκούμε στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F₀ =10 Ν, όπως στο σχήμα, οπότε αρχίζει να ολισθαίνει κατά μήκος του ημιάξονα Οx.
α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. και να προσδιορίσετε τη σχέση της μετατόπισής του από τη θέση Ο σε συνάρτηση με το χρόνο. (Θεωρείστε την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική και x = 0 στο θέση Ο).
β. Να βρείτε την εξίσωση της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τη θέση του και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

• Δείτε την απάντηση 

•  
  Β. Η «επικίνδυνη» παραλλαγή της

Ένα σώμα μάζας m ηρεμεί αρχικά στη θέση Ο του άξονα xOx΄. Με τη βοήθεια κατάλληλου μηχανισμού αρχίζει, τη στιγμή t = 0, να κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα με επιτάχυνση α = α₀ – βx, όπου α₀ και β γνωστές σταθερές ποσότητες και x η απόστασή  του από την αρχή Ο.

α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ.

β. Να προσδιορίσετε τις ακραίες θέσεις και τη θέση ισορροπίας της  ταλάντωσης.

 γ. Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα και η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος;

 δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα σταματήσει για πρώτη φορά; 

Απάντηση

α. Είναι:   α = α₀ – βx ↔ mα = mα₀ – mβx ↔ ΣF = F₀ – Dx

(όπου D=mβ και F₀=mα₀ ).

Έστω Ι η θέση ισορροπίας και x₁ η απόστασή της από την αρχή Ο. Στη θέση αυτή θα ισχύει                    

                                     ΣF = 0 ↔ x₁ = F₀/D                                        (1)

Σε μια τυχαία θέση σε απόσταση x΄ δεξιά από τη θέση Ι (προς τη θετική φορά) θα ισχύει:
                           ΣF = F₀ – D(x΄ + x₁) = (λόγω της σχέσης 1)= -Dx΄

Δηλαδή, για να κινηθεί το  σώμα με την επιτάχυνση που μας δίνεται, πρέπει να ασκηθεί πάνω του συνισταμένη δύναμη ανάλογη με τη μετατόπισή  του από τη θέση μηδενισμού της επιτάχυνσης και αντίθετη με αυτήν. Άρα θα εκτελέσει α.α.τ.

β. Η αριστερή ακραία θέση είναι προφανώς η αρχή Ο και η δεξιά βρίσκεται σε απόσταση 2F₀/D = 2mα₀/mβ = 2α₀/β  από αυτήν. Η Θέση ισορροπίας είναι η Ι, σε απόσταση x₁ = F₀/k = α₀/β από την Ο (όσο και το πλάτος Α της ταλάντωσης).

γ. Είναι: D = mω² ↔ mβ = mω² ↔ ω = √ β   και Α = α₀/β, άρα η μέγιστη ταχύτητα ισούται με υ_μεγ = ωΑ = (√ β )α₀/β = α₀/√ β .

δ. Είναι Τ = 2π√ m/D  = 2π√ m/mβ  = 2π/√ β . Συνεπώς θα σταματήσει για πρώτη φορά τη στιγμή t = π/√ β .