6. Ένας πολύ μεγάλος αριθμός κρούσεων ανά sec και η πίεση που προκαλούν

Η παρακάτω ερώτηση πολλαπλής επιλογής έχει πέσει σε δημόσιες εξετάσεις εισαγωγής στην ανώτατη εκπαίδευση κάποιας μεγάλης χώρας.

Η μάζα ενός μορίου υδρογόνου είναι 3,32·10^-27 kg. Αν 10²³ μόρια υδρογόνου προσπίπτουν ανά sec σε μια λεία επίπεδη επιφάνεια 2 cm² υπό γωνία 45⁰ με ταχύτητα 10³ m/s και αναπηδούν ελαστικά, τότε η πίεση στην επιφάνεια είναι:

   α. 2,35·10² Ν/m²,   β.  2,35·10³ Ν/m²,   γ. 4,70·10³ Ν/m²  

Σκέφτηκα να βρω τη συνολική μεταβολή ορμής των μορίων και να διαιρέσω με το χρόνο 1s, δηλαδή, (dP₁+dP₂+dP₃+ … +dP_N)/(1 s), αλλά δε βρίσκω αυτή τη σκέψη σωστή, γιατί το πηλίκο αυτό μπορεί να σπάσει σε Ν κλάσματα με παρονομαστή 1 s και έτσι είναι σα να θεωρώ ότι κάθε μεταβολή διαρκεί 1 s. Κάθε τέτοια όμως μεταβολή διαρκεί όσο και η κρούση κάθε μορίου, δηλαδή απειροελάχιστο χρόνο. Έχω μπερδευτεί. 

Απάντηση: 

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι μπορούμε να μοιράσουμε το χρόνο του 1s σε 10²³ απειροστά μικρά χρονικά διαστήματα dt διάρκειας 10^-23s, κάθε ένα από τα οποία μπορεί να θεωρηθεί ως ο μέσος χρόνος κρούσης κάθε μορίου με την επιφάνεια. Ο χρόνος αυτός είναι πάρα πολύ μικρός, κι έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάθε στιγμή προσπίπτει και ένα μόριο πάνω στην επιφάνεια, ότι δηλαδή κάθε στιγμή η επιφάνεια δέχεται τη δύναμη, που ασκεί πάνω της λόγω κρούσης, ένα μόριο υδρογόνου.  

Από αντίδραση, η μέση δύναμη F΄που ασκεί στην επιφάνεια κάθε μόριο υδρογόνου είναι ίση με τη δύναμη F, που δέχεται από την επιφάνεια.

Τη μέση δύναμη F θα την υπολογίσουμε από το 2^ο νόμο του Νεύτωνα F = dP/dt, όπου dP η μεταβολή ορμής κάθε μορίου .

Είναι dP = dP_x + dP_y. Επειδή η επιφάνεια είναι λεία, η συνιστώσα P_x της ορμής θα παραμείνει σταθερή, άρα dP  = dP_y και με θετική φορά προς τα πάνω η αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής του μορίου είναι: 

                                      dΡ = Ρ_y,τελ – (-Ρ_y,αρχ) = 2mυσυν45^ο = mυ√2

Άρα: F = dP/dt = (mυ√2)/dt = (3,32·10^-27 kg)(10³ m/s)√2/10^-23s = 0,47 N

Επομένως, F΄= F = 0,47 N (κάθετη στην επιφάνεια) και η πίεση θα είναι: 

                                            P = F΄/A = (0,47 Ν)/(2·10^-4 m²) = 2,35·10³ N/m²

Άρα σωστή είναι η τιμή β.