Δυο σώματα, δύο ελατήρια, μια πλαστική κρούση και ένα κύμα

Οι σταθερές των δύο ελατηρίων του σχήματος είναι k₁= 100 N/m και k₂ = 300 N/m, ενώ οι μάζες των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ είναι m₁ = 1 kgr και m₂ = 3 kgr, αντίστοιχα.

 Αρχικά, τα σώματα Σ₁ και Σ₂ ισορροπούν εφαπτόμενα στη θέση Ι χωρίς να ασκούν δύναμη το ένα στο άλλο. Στο Σ₁ είναι στερεωμένο ένα τεντωμένο οριζόντιο σχοινί Οx μεγάλου μήκους. Η ακλόνητα στηριγμένη κατακόρυφη ράβδος ΑΒ και οι δακτύλιοι δ₁ και δ₂ που είναι περασμένοι σ’ αυτήν και είναι στερεωμένοι στα σώματα, χρησιμεύουν στο να εξουδετερώνεται η τάση του σχοινιού και οι άξονες των δύο ελατηρίων να διατηρούνται κατακόρυφοι.

Απομακρύνουμε προς τα κάτω το Σ₂ κατά 20 cm και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Ανέρχεται, και στη θέση Ι συγκρούεται πλαστικά με το Σ₁. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει αρχίζει να ταλαντώνεται παρασύροντας το άκρο Ο του σχοινιού σε μια παρόμοια κίνηση. Έτσι, πάνω στο σχοινί ξεκινάει η διάδοση ενός εγκάρσιου κύματος με ταχύτητα 10 cm/s.

Α. Να αποδείξετε η ταλάντωση του συσσωματώματος είναι απλή αρμονική με σταθερά επαναφοράς  D = k₁ + k₂ .

Β. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος και να γράψετε τη σχέση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο.

Γ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ …

Δείτε:

·         Ολόκληρη την άσκηση με τις απαντήσεις

·         Τη λύση της 

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

 Πώς μια κρούση στην κατάλληλη θέση καθιστά το πλάτος ταλάντωσης μέγιστο.  

Το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου έχει στερεωθεί στην οροφή ενός δωματίου, ενώ στο κάτω άκρο του έχει προσδεθεί σφαιρικό σώμα Σ₁ μάζας m.  

   Υποβαστάζουμε το σώμα ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος ℓ₀, και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο. Το σώμα Σ₁ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Παρατηρούμε ότι το χαμηλότερο σημείο στο οποίο φτάνει, απέχει από το σημείο που το αφήσαμε 20 cm.

Α.  Υπολογίστε τη συχνότητα της ταλάντωσης και το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν περνάει από τη θέση που βρίσκεται 10 cm πιο κάτω από τη θέση που το αφήσαμε. Δίνεται: g = 10 m/sec².

Β. Κάτω από το Σ₁ και σε απόσταση h = 50 cm από τη θέση που το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί,  βρίσκεται ένα άλλο σφαιρικό σώμα Σ₂ ίδιας μάζας με το Σ₁. Το κέντρο του Σ₂ βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που ταλαντώνεται το κέντρο του Σ₁. Κάποια στιγμή το Σ₂ βάλλεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ₀ = 3 m/sec και συγκρούεται κεντρικά κι ελαστικά με το Σ₁. Σε ποια θέση πρέπει να βρίσκεται το Σ₁ τη στιγμή της κρούσης, ώστε μετά από αυτή, το πλάτος της ταλάντωσής του να είναι το μέγιστο δυνατό; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Γ. Πόσο είναι .... 

                                                                          

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση (με τις απαντήσεις)
• Την προτεινόμενη λύση

ΑΝΕΒΑΙΝΕΙ Ή ΚΑΤΕΒΑΙΝΕΙ;

Το σώμα Σ του πλαϊνού σχήματος είναι δεμένο στο άκρο ενός λεπτού αβαρούς σχοινιού (σχοινί 1) τυλιγμένου στο περιμετρικό αυλάκι μιας τροχαλίας η οποία  μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα. Στην ίδια τροχαλία υπάρχει και ένα άλλο αυλάκι, ομοαξονικό με το πρώτο, με ακτίνα r = R/2, στο οποίο είναι τυλιγμένο το σχοινί 2.

Η άλλη μεριά αυτού του σχοινιού είναι τυλιγμένη γύρω από μια κεντρική εγκοπή ενός κυλινδρικού τροχού που μπορεί να κυλίεται πάνω σε ένα πλάγιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει, όπως στο σχήμα. Οι ακτίνες της εγκοπής του τροχού και της περιφέρειάς του είναι, αντίστοιχα, r και R, ίσες με τις ακτίνες των δύο αυλακιών της τροχαλίας.

Τη στιγμή t = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί και παρατηρούμε ότι το  σχοινί 2 τυλίγεται στο αυλάκι της τροχαλίας με τη μικρή ακτίνα. Το σώμα Σ κατέρχεται με σταθερή επιτάχυνση 1,8 m/s²,  ενώ ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Α. Να εξετάσετε αν ο κύλινδρος ανέρχεται ή κατέρχεται στο πλάγιο επίπεδο.

Β. Να βρείτε την επιτάχυνση, την ταχύτητα και τη μετατόπιση του κυλίνδρου τη ...
 ..........................................................................................................................
Δείτε:

• Όλη την άσκηση (με απαντήσεις)
• Την προτεινόμενη λύση της

ΜΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

Μια προέκταση της άσκησης 5.41 σελ. 180 του σχολικού βιβλίου

Α.  Να δείξετε ότι μετά την πλάγια ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ίδιας μάζας που το ένα αρχικά ήταν ακίνητο, τα δύο σώματα θα κινηθούν προς κάθετες μεταξύ τους κατευθύνσεις.

Β. Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο τραπέζι ηρεμεί ένα σφαιρίδιο Σ₂ μάζας m = 1 kgr στερεωμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, του οποίου το άλλο άκρο συγκρατείται από ακλόνητο στήριγμα. Ένα δεύτερο σφαιρίδιο Σ₁ ίδιας μάζας με το Σ₂ κινείται με ταχύτητα υ₁ = √ 2 m/sec πάνω σε μια ευθεία που δε διέρχεται από το κέντρο του Σ₂ και σχηματίζει γωνία φ = 135⁰ με τον άξονα του ελατηρίου.  Ακολουθεί πλάγια ελαστική κρούση στο τέλος της οποίας διαπιστώνεται ότι το Σ₂ κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κάνοντας απλή αρμονική ταλάντωση.

   1.  Ποια είναι η διεύθυνση κίνησης του Σ₁ μετά την κρούση;  Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του μετά την κρούση;                                                             

   2.  Να υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα, το πλάτος της ταλάντωσης, και τη μέγιστη επιτάχυνση του Σ₂.                                                                

   3. Να παραστήσετε σε κοινό ορθογώνιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την ταχύτητα.      

Δείτε:

• Την άσκηση, με τις απαντήσεις, σε PDF
• Την προτεινόμενη λύση της                                                               

Το «ταυ».

Ένα εκκρεμές (σχήμα 1) αποτελείται από δύο παρόμοιες ομογενείς λεπτές ράβδους α και β, με ίδιο μήκος L = 0,6 m και ίδια μάζα m = 2/3 kgr, συγκολλημένες κάθετα μεταξύ τους έτσι ώστε το ένα άκρο της α να συμπίπτει με το μέσον της β. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζουν ένα Τ το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το άλλο άκρο Ο της α και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τις ράβδους. Έτσι, το «Τ» συμπεριφέρεται ως εκκρεμές  που μπορεί να ταλαντώνεται  πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο που ορίζεται από αυτό.

Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του «Τ» γύρω από τον άξονα περιστροφής του.

Β. Στο σχήμα 2, το «Τ» ισορροπεί μαζί με ένα στερεό, το οποίο αποτελείται από δύο ομόκεντρες, κολλημένες μεταξύ τους, ομογενείς τροχαλίες. Η κοινή ισορροπία επιτυγχάνεται με τη βοήθεια δύο κατακόρυφων λεπτών σχοινιών που είναι τυλιγμένα στα αυλάκια των τροχαλιών του στερεού. H ακτίνα R της μεγάλης τροχαλίας είναι 0,2 m, ενώ της μικρής είναι r = 0,1 m.

Να υπολογίσετε τη μάζα m₁ του στερεού.

Γ. Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί με το οποίο συνδέονται τα δύο σώματα και έτσι το «Τ» αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το Ο, ενώ το στερεό αρχίζει να κατεβαίνει προς τα κάτω και το σχοινί που είναι τυλιγμένο στη μικρή τροχαλία να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει.

Να βρείτε τη μέγιστη κινητική ενέργεια του «Τ».                                                        

Δ.  Αν ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του στερεού είναι 5 kgr.m², να υπολογίσετε: 

Δείτε:

• Ολόκληρο το Θέμα με τις απαντήσεις
• Τη λύση 

ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΙΣ ...΄Η ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Vs Θ.Μ.Κ.Ε

Συχνά λέμε στους μαθητές «αν σε ένα πρόβλημα κινηματικής δεν αναφέρονται χρόνοι, λύστε το με το θεώρημα έργου – ενέργειας ή Θ.Μ.Κ.Ε». Η συμβουλή αυτή μπορεί να παγιδεύσει τους μαθητές αν οι κινήσεις που αναφέρονται στο πρόβλημα αφορούν δύο κινητά και είναι ομαλές.

Όταν δύο κινητά συναντιούνται, υπάρχει μια σχέση που δεν μπορεί να αξιοποιηθεί με την ενεργειακή μελέτη της κίνησής τους. η σχέση των χρόνων κίνησής τους. Π.χ. αν τα κινητά ξεκινούν ταυτόχρονα, οι χρόνοι κίνησής τους θα είναι ίσοι. 

Παρακάτω παρουσιάζονται δύο παραδείγματα.

1. Κυλιόμενη σφαίρα και κυβικό σώμα σε πλάγιο επίπεδο

Μία ομογενής σφαίρα, μάζας Μ = 3 kgr και ακτίνας R = 0,07 m, ανέρχεται πάνω σε  ένα πλάγιο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ = 30⁰, κυλιόμενη χωρίς να ολισθαίνει. Κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης των χρόνων, η σφαίρα περνά από ένα σημείο Α του πλάγιου επιπέδου με ταχύτητα υ₀ = 10 m/sec. Τη στιγμή αυτή αφήνουμε ένα κυβικό σώμα μάζας m = 1kgr, να ολισθήσει χωρίς αρχική ταχύτητα από ένα σημείο Γ του πλάγιου επιπέδου που βρίσκεται ψηλότερα από το Α.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας και του ρυθμού μεταβολής της ορμής του κύβου.

Σας δίνεται ότι η τριβή ολίσθησης που ασκείται στο κυβικό σώμα είναι ίση με τη στατική τριβή που δέχεται η σφαίρα.

β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΓ, ώστε τα δύο σώματα να συγκρουστούν τη στιγμή που η ταχύτητα της σφαίρας μηδενίζεται.

 γ) Αν η κρούση είναι μετωπική κι ελαστική, να υπολογίσετε την ταχύτητα του κάθε σώματος αμέσως μετά την κρούση. (Θεωρείστε ότι όλη η ενέργεια που μεταφέρεται στη σφαίρα κατά τη διάρκεια της κρούσης μετατρέπεται αποκλειστικά σε μεταφορική κινητική ενέργεια).

  Δίνεται ότι η ακτίνα της σφαίρας και η ακμή του κύβου είναι αμελητέες σε σχέση με την απόσταση ΑΓ και ότι: g = 10 m/sec², Ι_{c.m, σφ} = 2ΜR²/5.                   

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF
• Τη λύση της

2. Δύο κυλιόμενες μπάλες 

 Δύο μικρές σφαιρικές μπάλες με ίσες ακτίνες και μάζες, βρίσκονται αρχικά ακίνητες πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση L = 46 m η μία από την άλλη, πολύ μεγάλη σε σύγκριση με τις ακτίνες τους. Η μια σφαίρα είναι συμπαγής, με ροπή αδράνειας  (2/5)mR² ενώ η άλλη είναι κούφια (σφαιρικός φλοιός) με ροπή αδράνειας (2/3)mR².

Υποθέστε ότι κάποια στιγμή (t=0) στα κέντρα των δύο σφαιρών ενεργούν δύο αντίθετες οριζόντιες δυνάμεις (μια σε κάθε σφαίρα), σταθερού μέτρου F, εξαιτίας των οποίων οι δύο σφαίρες αρχίζουν να πλησιάζουν η μία προς την άλλη.

α) Αν η κίνησή τους είναι κύλιση χωρίς ολίσθηση, να βρείτε σε ποια θέση θα συναντηθούν.

β) Αν ελάχιστα πριν την κρούση η συνολική κινητική ενέργεια της συμπαγούς σφαίρας είναι 125 J, πόσο είναι το μέτρο της F και πόση είναι η μεταφορική και η στροφική κινητική ενέργεια της άλλης σφαίρας;

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF
• Τη λύση της

ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ – ΘΕΜΑ Β

Μια ερώτηση, σε δύο πολύ διαφορετικές εμφανίσεις.

Πώς μια ερώτηση, εύκολη για μαθητές, μπορεί να γίνει δύσκολη ακόμη και για καθηγητές.

α. Δυο ποδηλάτες πάνω σε περιστρεφόμενη πλατφόρμα.(Η «εύκολη» εμφάνιση).

Δύο ποδηλάτες  Α και Β με ίσες μάζες (m_Α = m_B = m)  κινούνται πάνω σε μια οριζόντια κυκλική εξέδρα που στρέφεται αριστερόστροφα με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Στο σχήμα 1 φαίνονται οι τροχιές που διαγράφουν. είναι ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων r₁ και r₂  (r₁ > r₂) με κέντρο το κέντρο της εξέδρας. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο ποδηλατών είναι ίσα (υ_Α = υ_Β = υ). Αρχικά, η φορά περιστροφής του ποδηλάτη Β είναι ομόρροπη με τη φορά περιστροφής της εξέδρας, ενώ του A αντίρροπη.

Κάποια στιγμή αποφασίζουν να ανταλλάξουν τις τροχιές που διαγράφουν χωρίς να αλλάξουν τη φορά κίνησής τους. Ο ποδηλάτης Α πλησιάζει προς το εσωτερικό της εξέδρας και συνεχίζει, χωρίς να αλλάξει την ταχύτητά του, να κινείται πάνω στο κύκλο ακτίνας r₂ που διέγραφε ο Β. Ταυτόχρονα ο Β εξέρχεται και συνεχίζει με την ίδια ταχύτητα να κινείται πάνω στον κύκλο ακτίνας r₁ (σχήμα 2).

Να εξετάσετε τι θα συμβεί στην περίοδο περιστροφής της εξέδρας.

Οι τριβές με τον άξονα θεωρούνται αμελητέες. Οι ταχύτητες έχουν μετρηθεί από παρατηρητές ακίνητους ως προς το έδαφος.


Δείτε:

• Την Ερώτηση σε PDF
• Την απάντηση

β. Από την “από αριστερά οδήγηση” στην “οδήγηση από δεξιά”. (Η «δύσκολη» εμφάνιση).

Είναι αλήθεια ότι, αν οι Βρετανοί αποφάσιζαν να αλλάξουν μια συνήθειά τους, ο ήλιος θα στεκόταν περισσότερο χρόνο πάνω από κάθε τόπο στη διάρκεια μιας μέρας;

Όπως είναι γνωστό, στη Μ. Βρετανία υπάρχει ο κανονισμός οι οδηγοί να οδηγούν το όχημά τους στην αριστερή πλευρά των δρόμων (οδήγηση από αριστερά). Αν κάποια μέρα αποφάσιζαν να αλλάξουν τη συνήθειά τους και επέβαλλαν την οδήγηση από δεξιά, θα είχε αυτή η αλλαγή κάποια επίπτωση στη διάρκεια της ημέρας; 

Δείτε:

• Την ερώτηση σε pdf
• Την απάντηση

ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ ΚΑΙ … ΑΝΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

1. Η ελάχιστη δύναμη

Μια μεταλλική ράβδος κόβεται σε τρία κομμάτια ΑΒ, ΒΓ και ΓΔ, τα οποία συγκολλούνται έτσι ώστε να φτιάχνουν το ένα με το άλλο ορθή γωνία και να βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Μεταξύ των μηκών των τριών κομματιών ισχύει η σχέση:

2ΑΒ = ΒΓ = 2ΓΔ = 2L

Με αυτό το σχήμα η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο Ο της ΒΓ. Μια οριζόντια δύναμη F_A = 10√ 2  Ν εφαρμόζεται στο άκρο Α κάθετα στο ΑΒ όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να βρείτε την ελάχιστη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στο άλλο άκρο Δ ώστε η ράβδος να ισορροπεί. Αγνοείστε το βάρος.  


Δείτε:

• Την ερώτηση σε PDF
• Μια αναλυτική απάντηση

2.  Μια σκάλα που δεν ισορροπεί

Προσπαθούμε να στηρίξουμε μια σκάλα, της οποίας το κέντρο μάζας ταυτίζεται με το μέσον της, πάνω σε ένα απολύτως λείο οριζόντιο δάπεδο και σε ένα λείο κατακόρυφο τοίχο με τη βοήθεια ενός σχοινιού που το δένουμε ακριβώς στη μέση της και στην κορυφή της γωνίας Α μεταξύ δαπέδου και τοίχου. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή και γιατί;

α)  Η σκάλα είναι δυνατό να ισορροπήσει με μια κατάλληλη τιμή της τάσης του σχοινιού που εξαρτάται από τη γωνία σκάλας - δαπέδου.

β)  Η σκάλα είναι αδύνατο να ισορροπήσει για οποιαδήποτε τιμή της τάσης του σχοινιού (δηλαδή όσο τεντωμένο κι αν είναι το σχοινί) και για οποιαδήποτε γωνία με το δάπεδο. 

Δείτε:

• Την ερώτηση σε PDF
• Μια αναλυτική απάντηση και μια επιπλέον ερώτηση

3. Ένα κρεβάτι σπρώχνεται με μια οριζόντια δύναμη

Ένα κρεβάτι σπρώχνεται με μια οριζόντια δύναμη F = 200 Ν, που εφαρμόζεται στο σημείο Β όπως φαίνεται στο σχήμα. Το κρεβάτι μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από την κορυφή Α. Ποια είναι η ροπή της F ως προς τον άξονα;

ΟΔΗΓΙΑ

Αναλύστε την F σε δύο διευθύνσεις από τις οποίες η μια να είναι κάθετη στη διαγώνιο ΑΒ, ή προσδιορίστε την απόσταση του Α από το φορέα της F.

Δείτε:

• Την ερώτηση σε PDF
• Μια αναλυτική απάντηση

4. Ισορροπία μεταλλικού τόξου

Το στερεό Σ του σχήματος είναι μια καμπυλωμένη πρισματική ράβδος η οποία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητα στερεωμένο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α.

Το στερεό συγκρατείται στη θέση που φαίνεται στο σχήμα με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης F= 20 Ν που ενεργεί στο άλλο άκρο του Β. Η δύναμη που ασκεί ο άξονας στο άκρο Α του στερεού σχηματίζει γωνία 30^ο με τον κατακόρυφο τοίχο.

α) Να υπολογίσετε τη μάζα του στερεού.

β) Αν το κέντρο μάζας του στερεού βρίσκεται πάνω στην οριζόντια ευθεία (ε) του σχήματος και η διαφορά ύψους  των άκρων του είναι h = 2 m, να προσδιορίσετε τη θέση του πάνω στην ευθεία αυτή.

Δίνονται: g = 10 m/s² και ημ30^ο = 0,5.


Δείτε:

• Την ερώτηση σε PDF
• Μια αναλυτική απάντηση

ΔΥΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ

1. Ένα παιδί διασχίζει μια γέφυρα

Το παιδί με τα πατίνια, ξεκινάει τη στιγμή t = 0 από την αρχή ενός γεφυριού και τρέχει πάνω του με ταχύτητα υ = 5 m/sec. Το γεφύρι, βάρους w₂ = 8000 Ν και μήκους L = 40 m, στηρίζεται πάνω σε δύο στηρίγματα καθένα από τα οποία απέχει 10 m από το πλησιέστερο άκρο του γεφυριού. Το βάρος του γεφυριού εφαρμόζεται ακριβώς στο μέσο του. 

Να εξάγετε, σε συνάρτηση με το χρόνο, τις σχέσεις που παρέχουν τις αντιδράσεις Ν₁ και Ν­₂ των δύο στηριγμάτων και να τις παραστήσετε γραφικά. 

Δίνεται το βάρος του παιδιού: w₁ = 400 N.

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF
• Τη λύση της

2. Κρούση – ταλάντωση και ισορροπία

Στο σχήμα, μια ομογενής άκαμπτη ράβδος μεγάλου μήκους ισορροπεί οριζόντια συγκρατημένη στα άκρα της με μια άρθρωση κι ένα κατακόρυφο σχοινί. Πάνω της ηρεμεί, αρχικά, ένα σώμα μάζας Μ στερεωμένο στο άκρο ενός ελατηρίου σταθεράς k, που έχει το φυσικό του μήκος. Ένα βλήμα μάζας  m κινούμενο με οριζόντια ταχύτητα υ, στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα. Τριβές δεν υπάρχουν.

α) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος .

β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη κι ελάχιστη τάση του σχοινιού.

Εφαρμογή για: w = 60 N, ℓ = 4 m, k = 100 N/m, M = 3 kgr,  m = 1 kgr, υ = 20 m/s και  g = 10 m/s²

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF
• Τη λύση της

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο

Μια ράβδος σε ισορροπία συγκρατεί σώμα που ταλαντώνεται

Η ράβδος του σχήματος είναι ομογενής, άκαμπτη και ισοπαχής, μήκους L και μάζας M = 4 kgr. Μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από τον οριζόντιο άξονα μιας άρθρωσης στερεωμένης σε ένα  τοίχο. Με τη βοήθεια ενός μη εκτατού σχοινιού με μεγάλο όριο θραύσης συγκρατείται σε οριζόντια θέση.

  Ένα ελατήριο που έχει σταθερά k = 200 Ν/m είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο της. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου προσαρτάται ένα σώμα Σ μάζας m = 2 kgr. Όλα τα σώματα ισορροπούν.

α) Να υπολογίσετε την τάση του σχοινιού.

β)  Θέτουμε το σώμα Σ σε ταλάντωση. Να βρείτε το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσής του, ώστε το σχοινί που συγκρατεί τη ράβδο να παραμένει τεντωμένο σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης κι έτσι η ράβδος να διατηρείται σε ισορροπία στην οριζόντια θέση.

Δίνονται: (ΟΑ) = L/4 και g = 10 m/sec².

γ) Αν το σώμα κάνει ταλάντωση με το μέγιστο πλάτος που προσδιορίσατε, πόση είναι η μέγιστη τάση του σχοινιού;

   Δίνεται: ημφ = 0,8

• Η άσκηση σε PDF
• Συνοπτική απάντηση
• Δύο μαθητές λύνουν την άσκηση

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3. Ομαλά επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση ράβδου.

(Αξιοποιώντας τη συνθήκη μη περιστροφής σε στερεό που εκτελεί επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση).

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας m = 1,0 kgr εκτελεί, με την επίδραση δύο αντιπαράλληλων δυνάμεων F_Α και  F_Γ = 10 Ν, ευθύγραμμη μεταφορική κίνηση πάνω σε ένα λείο οριζόντιο δάπεδο με επιτάχυνση α = 2 m/s² χωρίς να περιστρέφεται. Η απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Γ, στα οποία εφαρμόζονται οι δύο δυνάμεις, είναι ίση με ℓ = 0,1 m.

Να βρείτε το μήκος L της ράβδου.

• H άσκηση σε PDF
• Αναλυτική λύση - Σχόλια

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΕ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1. Μπορείτε να φανταστείτε τη δοκό της άσκησης 4.56 σελ143 του σχολικού βιβλίου να διατηρεί την ισορροπία της χωρίς να αλλάξει κατεύθυνση ακόμη κι όταν κόψουμε το σχοινί; Αδύνατο; Και όμως γίνεται!

  Ισορροπία δοκού σε επιταχυνόμενο μέσο μεταφοράς

Η δοκός ΟΑ του σχήματος είναι ομογενής και ισοπαχής. Το άκρο της Ο είναι αρθρωμένο στη βάση της καρότσας ενός αυτοκινήτου, ενώ το άλλο της άκρο είναι δεμένο με αβαρές οριζόντιο σχοινί που σχηματίζει με αυτήν γωνία φ. Το όλο σύστημα επιταχύνεται οριζόντια.

α) Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο της επιτάχυνσης ώστε το σχοινί ΑΓ να είναι οριακά τεντωμένο (Τάση = 0);

β) Να δείξετε ότι, με την παραπάνω τιμή επιτάχυνσης, η διεύθυνση της δύναμης που δέχεται η δοκός από την άρθρωση ταυτίζεται με τη διεύθυνση της δοκού και να υπολογίσετε το μέτρο της. Δίνεται η μάζα της δοκού M = 51 kgr.

Θα σας χρειαστούν: εφφ = 0,6,  ημφ = 0,51  και g = 9,9 m/sec².

• Η άσκηση σε PDF
• Η λύση της
•  Παρατήρηση 1η
• Παρατήρηση 2η

2.  Τα τρία αμαξίδια

Στο σχήμα φαίνονται τρία αμαξίδια, ένα μεγάλο και δύο μικρά, που κινούνται σαν ένα σύστημα με την επίδραση της δύναμης F. Δείξτε ότι η σχέση 

F = (M+m1+m2)	m2g
	2m1

δίνει  το μέτρο της δύναμης F για το οποίο τα μικρά αμαξίδια δεν κινούνται σε σχέση με το μεγάλο.

Δίνεται η σχέση r/R = 1/2 των δύο ακτίνων της διπλής τροχαλίας, στα αυλάκια της οποίας είναι τυλιγμένα τα δύο αβαρή σχοινιά που συγκρατούν τα μικρά αμαξίδια. 

Οι τριβές του μεγάλου αμαξιδίου με το έδαφος, των αμαξιδίων μεταξύ τους και της διπλής τροχαλίας με τον άξονά της θεωρούνται αμελητέες.

Η μάζα Μ είναι η μάζα του μεγάλου αμαξιδίου και της τροχαλίας μαζί. 


Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF
• Τη λύση της
• Ένα σχόλιο

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΓΕΦΥΡΑ ΚΑΙ ΜΙΑ … ΠΙΘΑΝΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗ

Εξαιτίας μιας σεισμικής δόνησης κατά μήκος μιας  οριζόντιας, ευθύγραμμης και ελαστικής γέφυρας μήκους  L, που είναι στερεωμένη στα δύο της άκρα, διαδίδονται δύο αντίθετα εγκάρσια αρμονικά κύματα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα, με αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός στάσιμου κύματος όπου τα υλικά σημεία της γέφυρας εκτελούν ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση. Στο κέντρο της γέφυρας (που το θεωρούμε στη θέση x = 0) εμφανίζεται κοιλία του στασίμου κύματος, του οποίου η εξίσωση είναι …

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση
• Μια προτεινόμενη αναλυτική λύση με σχόλια.