Κούνια και διατήρηση στροφορμής, η άσκηση

                              

Έστω ότι το κέντρο μάζας (σημείο B) ενός παιδιού, που κάθεται πατώντας με λυγισμένα τα γόνατα σε μια ελαφριά κούνια, βρίσκεται σε ύψος 1,2 m πάνω από το έδαφος. Το βάρος του παιδιού είναι 400 Ν και το κέντρο μάζας του, με λυγισμένα τα γόνατα, απέχει 3,7 m από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία, και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄, κατά 0,6 m ψηλότερα. Να βρείτε:

Ένα παιδικό παιχνίδι με μάλλον απρόσμενη συμπεριφορά. ( Η άσκηση)

 Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz΄.

Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg, φέρει οπή κατά μήκος  του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ.

Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ = 3/8 m από το Β.

Ένα παιδικό παιχνίδι με μάλλον απρόσμενη συμπεριφορά. (Η ερώτηση)

Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz΄.

Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg, φέρει οπή κατά μήκος  του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ.

Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ από το Β και η στροφορμή του ως προς τον άξονα zz΄ έχει τιμή L.

Αν το σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω΄= 2ω, τότε το σώμα ισορροπεί σε μια θέση όπου:

Όπου οι τριβές είναι στο όριό τους

Δύο παρόμοιοι ξύλινοι κύβοι, βάρους w = 15 N, υποστηρίζονται από μια αβαρή ράβδο με κλίση 45^ο ως προς το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν και οι δύο κύβοι βρίσκονται σε κατάσταση οριακής ισορροπίας* και ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής (μ_w) μεταξύ του κύβου Β και το τοίχου είναι 0,5, τότε:

“Υγρή” ταλάντωση

Ο ανοικτός και στις δύο βάσεις  του κατακόρυφος κυλινδρικός σωλήνας του σχήματος, σταθερής διατομής Α, συγκρατείται ημιβυθισμένος σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α).

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα.

Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα, να δείξετε ότι:

α. Υπάρχει θέση, όπου η ταχύτητα του σώματος Σ γίνεται μέγιστη και να βρείτε την απόστασή της από την αρχική του θέση.

Αναρρόφηση νερού σε μέγιστο ύψος με τη βοήθεια εμβόλου

Αναφερόμαστε στην  προηγούμενη άσκηση, με τη διαφορά ότι τώρα το κάτω ανοικτό άκρο του κατακόρυφου σωλήνα συγκρατείται ημιβυθισμένο σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας, γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α).

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα.

Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα σε σχέση με τη μάζα m του σώματος Σ, τότε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το νερό στο σωλήνα, μετρούμενο από την επιφάνεια

Άντληση νερού και ισορροπία

Το έμβολο του σχήματος εφαρμόζει αεροστεγώς στα εσωτερικά τοιχώματα ενός κατακόρυφου κυλινδρικού σωλήνα, που είναι ανοικτός και στα δύο του άκρα και μπορεί να κινείται μέσα σε αυτόν χωρίς τριβές. Στην αρχή ισορροπεί στη θέση που φαίνεται στο σχήμα (α), με τη βοήθεια ενός σχοινιού στην άλλη άκρη του οποίου έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ μάζας m. Αρχικά συγκρατούμε το σώμα για να μην κινηθεί προς τα κάτω. Ο σωλήνας είναι ημιβυθισμένος μέσα σε ένα δοχείο που περιέχει νερό όγκου 2L. Αφήνουμε σιγά – σιγά το σώμα Σ να κατέβει, με αποτέλεσμα το έμβολο να ανέβει και να εισέλθει νερό μέσα στο σωλήνα.