Νερό σε δεξαμενή μαζί με αέρα υπό πίεση

Το σχήμα δείχνει μια μεγάλη κλειστή κυλινδρική δεξαμενή που περιέχει νερό. Αρχικά, ο αέρας που παγιδεύεται πάνω από την επιφάνεια του νερού έχει ύψος h_o και πίεση 2p_o, όπου p_o είναι η ατμοσφαιρική πίεση. Ένας μακρύς κατακόρυφος σωλήνας περιέχει νερό σε ύψος h₂ πάνω από το επίπεδο καπάκι της δεξαμενής, που επικοινωνεί με το νερό της δεξαμενής.

α. Να βρείτε το ύψος h₂ του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα  

β. Ανοίγουμε μια τρύπα στα τοιχώματα της δεξαμενής σε βάθος h₁ κάτω από το καπάκι. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από την τρύπα.

γ. Σε ποιο ύψος θα σταθεροποιηθεί η στάθμη του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα, όταν σταματήσει η ροή του από την τρύπα;

 (Τα μεγέθη Ρ_ο , h_o­, h₁, η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυνση βαρύτητας g θεωρούνται γνωστά).

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word

Οριζόντια ράβδος στερεωμένη σε δύο ανόμοια ελατήρια

Μια ομοιόμορφη (ομογενής και ισοπαχής) ράβδος AB βάρους w και μήκους L = 20 cm αναρτάται από δύο κατακόρυφα ελατήρια Χ και Υ προσαρτημένα στα άκρα της Α και Β. Τα άνω άκρα των ελατηρίων είναι στερεωμένα σε οριζόντιο ακλόνητο στήριγμα. Όταν τα ελατήρια δεν είναι εκτεταμένα έχουν το ίδιο μήκος. Η σταθερά του ελατηρίου Χ είναι ίση με 3k και του Υ ίση με k.

α. Σε ποια απόσταση από το Α πρέπει να τοποθετήσουμε πάνω στη ράβδο ένα σώμα Σ βάρους 5W ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια;

β. Αντικαθιστούμε το ελατήριο Χ με ένα άλλο παρόμοιο με το ελατήριο Υ και τοποθετούμε το σώμα Σ στο μέσον της ράβδου. Μετατοπίζουμε προς τα κάτω τη ράβδο, παράλληλα προς τη θέση ισορροπίας της, με το σώμα στην παραπάνω θέση, και αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα ράβδος – σώμα Σ να εκτελέσει ταλάντωση. Αν w = 2 Ν και k = 150 N/m, να βρείτε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος της ταλάντωσης ώστε να μη χαθεί η επαφή του σώματος Σ με τη ράβδο.

γ. Να προσδιορίσετε στη θέση όπου χάνεται η επαφή της ράβδου με το σώμα τη συνολική ροπή των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στη ράβδο, ως προς το άκρο της Α.

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Δακτύλιος και δύο τροχοί εκτελούν στροφική κίνηση διατηρώντας «στενές επαφές τρίτου τύπου»

[Μια απλή άσκηση συνδυασμού στροφικής κίνησης τριών σωμάτων].

Το σύστημα σωμάτων του σχήματος αποτελείται από δύο όμοιους ομογενείς κατακόρυφους τροχούς Α, Β και έναν ομογενή δακτύλιο Δ. Οι τροχοί Α και Β ακτίνας r = 4 cm μπορούν να περιστρέφονται γύρω από ακλόνητους οριζόντιους άξονες κάθετους στο κέντρο τους. Ο δακτύλιος Δ, με εσωτερική ακτίνα R_εσ = 11 cm και εξωτερική ακτίνα R_εξ = 12 cm, είναι τοποθετημένος ανάμεσα στους δύο τροχούς. Γνωρίζοντας ότι ο τροχός Α περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, με τη βοήθεια ενός κινητήρα κατάλληλα προσαρμοσμένου στον άξονά του, με σταθερή συχνότητα f_A = 3 c/s και ότι δεν λαμβάνει χώρα ολίσθηση να βρείτε:

α. Τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β.

β. Την επιτάχυνση των σημείων των τροχών Α και Β τα οποία είναι σε επαφή με τον δακτύλιο.

γ. Tη στροφορμή του δίσκου ως προς το κέντρο του και την κινητική του ενέργεια αν Ι_Δ = 0,004 kg·m².

Θεωρείστε ότι π² ≈ 10.

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Ελεύθερη κίνηση οριζόντιου δίσκου σε λείο οριζόντιο επίπεδο

Κάποια στιγμή t₁ δύο σημεία Α και Β ενός ελεύθερα σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούμενου λεπτού ομογενούς δίσκου μάζας m = 1 kg και ακτίνας R = 0,4 m, έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 30^ο και 60^ο, αντίστοιχα,  με το ευθύγραμμο τμήμα AB που τα συνδέει. Η ταχύτητα υ_cm του κέντρου μάζας του δίσκου έχει διεύθυνση κάθετη στο ΑΒ.

Α. Η κίνηση του δίσκου μπορεί να είναι:

α. μεταφορική,   

β. στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του, 

γ. μεταφορική και στροφική γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του.                                     Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Β. Αν ΑΒ = CA = CB = d = 0,3 m και υ₁ = 0,6 m/s, να υπολογίσετε :

2α. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας και τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου.

2β. Την ταχύτητα υ₂ του σημείου Β τη στιγμή t₁.

Γ. Την κινητική ενέργεια του δίσκου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του:

Ι_cm =   ½  mR²

Απάντηση σε pdf:  

Απάντηση σε word:

Παρατήρηση: 

Αξιοποιώντας δυο "κρυφές" βασικές ιδιότητες της έννοιας «στερεό σώμα»

1. [Η γωνιακή ταχύτητα συνδέεται με τη  γωνία στροφής, δηλαδή με την αλλαγή του προσανατολισμού του στερεού η οποία είναι ίδια, ανεξάρτητη από τον άξονα ή κέντρο περιστροφής].

2. [Στα ελεύθερα κινούμενα μηχανικά στερεά, οι προβολές των ταχυτήτων δύο σημείων τους στην ευθεία που τα ενώνει είναι ίσες]

Κάποια στιγμή t δύο σημεία Α και Β ενός επίπεδου λεπτού δίσκου έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 60^ο και 30^ο, αντίστοιχα,  με το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει.

① Μια μόνο από τις δυο παραπάνω απεικονίσεις, (Ι) και (ΙΙ), των ταχυτήτων είναι δυνατή. Να την επιλέξετε αιτιολογώντας την επιλογή σας. 

② Στην επιλεγμένη απεικόνιση, η κίνηση του δίσκου τη στιγμή t μπορεί να είναι:

α. μεταφορική,   

β. στροφική με κέντρο το Κ, 

γ. μεταφορική με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα υ₂ του Β και στροφική με κέντρο το Β και με γωνιακή ταχύτητα ω

③ Αν ΑΒ = d, η γωνιακή ταχύτητα ω ισούται με:                                                                                                                           α. υ₂/d,      β. √3υ₁/d,     γ.(υ₁√3 – υ₂)/d                                                                             Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 
Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:
Παρατηρήσεις

Ένας κυλιόμενος αλλά μη μετατοπιζόμενος κύλινδρος

Ένας ομογενής κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια σανίδα, η οποία ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε ένα πλάγιο επίπεδο. Η επιτάχυνση της σανίδας προκειμένου ο κύλινδρος να μην μετατοπίζεται (να μην ανέρχεται, ούτε να κατέρχεται) πρέπει να έχει μέτρο:

α) gημθ,     β) (1/2)gημθ,     γ) 2gημθ   

Να επιλέξετε, με αιτιολόγηση, την ορθή τιμή.

Δίνεται Ι_c = (1/2)MR² για τον κύλινδρο. 

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word:

Σανίδα πάνω σε δυο κυλίνδρους σε πλάγιο επίπεδο

Μια σανίδα βρίσκεται πάνω από 2 ομοιόμορφους κυλίνδρους που βρίσκονται σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης θ = 30⁰ . Η σανίδα έχει μάζα Μ και καθένας από τους κυλίνδρους έχει μάζα Μ/2. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Εάν δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ των επιφανειών επαφής, να βρείτε την επιτάχυνση της σανίδας. 

Δίνονται g =10 m/s² και Ι_c = (1/2)MR².

Απάντηση σε pdf:  
Απάντηση σε word:
Μια σημαντική παρατήρηση:
Σχόλια για βαθύτερη κατανόηση του προβλήματος: