1ο θεωρητικό σημείωμα

 Δείτε γιατί ...

Ένα σώμα – δύο ελατήρια, σε πλάγιο επίπεδο με μήκος ίσο με το συνολικό μήκος των δύο ελατηρίων.

* Στο σχήμα φαίνονται δύο ελατήρια, που το ένα τους άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο ενώ το άλλο είναι στερεωμένο σε ένα σώμα Σ.  Όλο το σύστημα βρίσκεται πάνω σε ένα λείο πλάγιο επίπεδο. Τα μήκη των (ΑΦ) και (ΓΦ) αντιστοιχούν στα φυσικά μήκη των δύο ελατηρίων του σχήματος. Οι διαστάσεις του σώματος  Σ θεωρούνται αμελητέες.

α) Ποιες είναι οι παραμορφώσεις των δύο ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του σώματος;

β) Τοποθετούμε το σώμα στη θέση Φ και το αφήνουμε ελεύθερο. Δείξτε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ  και υπολογίστε την περίοδο Τ της ταλάντωσης.

γ) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t =Τ/12. Ως αρχή χρόνων να θεωρήσετε τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο.

Δίνονται: η μάζα του σώματος m=1kgr, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/sec², η γωνία φ = 30^ο  και  ότι  k₂ = k₁ = 25 N/m.

Απ. α) 0,05 m,   0,05 m,  γ) 0,2π sec,  -0,25 m/sec, -2,5√ 3  m/sec²

Αναλυτική απάντηση:

ΔΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

A.    Ερωτήσεις

i)   Πολλαπλής επιλογής

(Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον  αριθμό της αρχικής φράσης και, δίπλα, το γράμμα  ή τη σχέση που τη συμπληρώνει σωστά.).

1.  Η επιτάχυνση ενός σώματος, που κάνει α.α.τ, μεταβάλλεται σε σχέση με την ταχύτητα σύμφωνα με το διάγραμμα:

                                                                                                                                 Μονάδες 10

2. Η απομάκρυνση x ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από το πλαϊνό διάγραμμα. Η επιτάχυνση του σώματος και η ταχύτητά του έχουν αντίθετες κατευθύνσεις τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί:

 α.     στο σημείο Α.               β. στο σημείο Β.

 γ.     στο σημείο Γ.                δ. στο σημείο Δ. 

                                                                                                                             Μονάδες 10

Δείτε ολόκληρο το διαγώνισμα εδώ

Δυό διαδοχικές ταλαντώσεις ενός σώματος με την ίδια θετική ακραία θέση.

Δυό διαδοχικές ταλαντώσεις ενός σώματος με την ίδια θετική ακραία θέση.

  Το σώμα μάζας m εκτελεί α.α.τ. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι τέτοιο, ώστε όταν το σώμα φτάνει στην ανώτατη θέση του, το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος.

    Κάποια στιγμή, όταν το σώμα βρίσκεται στην ανώτερη θέση του, ενεργεί πάνω του μια κατακόρυφη σταθερή δύναμη F, τέτοια, ώστε η νέα ταλάντωση που ξεκινά το σώμα, να έχει ως κατώτερη θέση τη θέση ισορροπίας της αρχικής. Να προσδιορίσετε τη φορά και το μέτρο της F, καθώς και τα πλάτη της πρώτης και της δεύτερης ταλάντωσης.

Δίνονται: m = 1 Κgr,   k = 100 N/m,   g = 10 m/sec².

Απάντηση:

Η πάνω ακραία θέση της παλαιάς ταλάντωσης, κάτω ακραία θέση της νέας!

Tο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, είναι στερεωμένο ακλόνητα. Στο κάτω άκρο είναι στερεωμένος ένας δίσκος μάζας  Μ=1kgr πάνω στον οποίο βρίσκεται ένα σώμα μάζας m = 2 kgr. Προσφέρουμε στο σύστημα ενέργεια Ε και το θέτουμε σε α.α.τ  πλάτους Α.  Κάποια στιγμή, που το σύστημα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του, αφαιρούμε το σώμα m.

  α) Πόση ήταν η ενέργεια  Ε που προσφέραμε στο σύστημα, αν δίνεται ότι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που θα κάνει ο δίσκος είναι το ίδιο με της αρχικής  ταλάντωσης του συστήματος σώμα-δίσκος; 

  β) Ποια  είναι η συνάρτηση της απομάκρυνσης του δίσκου με το χρόνο, αν ως αρχή χρόνων θεωρηθεί η στιγμή της αφαίρεσης του m; (Πάνω από τη θέση ισορροπίας η απομάκρυνση θεωρείται θετική.)

Δίνεται g=10m/sec_­².
Απάντηση:

Αρχική θέση º Ακραία θέση (σε κατακόρυφη διεύθυνση).

Αρχική θέση = ακραία θέση (3^ο μέρος) 

 Στις τέσσερις περιπτώσεις, που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα, οι τιμές των μεγεθών έχουν επιλεγεί έτσι ώστε να μπορείτε να ακολουθήσετε με ευκολία τα βήματα που αναφέρονται στην απάντηση της προηγούμενης ανάρτησης. Σε κάθε περίπτωση αναφέρεται και η τελική απάντηση για να ελέγξετε την εργασία σας.

Εκφώνηση (κοινή για όλες τις περιπτώσεις).

   To σώμα, σε κάθε σχήμα, είναι προσδεμένο στο ένα άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Αρχικά, με τη βοήθεια ενός σχοινιού ισορροπεί στη θέση Α. Τριβές δεν  υπάρχουν.
α) Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί. Nα δείξετε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ και ότι θα περνά περιοδικά από τη θέση Φ όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
β) Βρείτε τον ελάχιστο χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του σώματος από τη θέση Φ.

Αρχική θέση º Ακραία θέση (σε πλάγιο επίπεδο.

Αρχική θέση = ακραία θέση (2^ο μέρος)

          To σώμα του σχήματος είναι προσδεμένο στο πάνω άκρο του ελατηρίου. Αρχικά, με τη βοήθεια ενός σχοινιού ισορροπεί στη θέση Α. Τριβές δεν  υπάρχουν.

α) Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί. Nα δείξετε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ και ότι θα περνά περιοδικά από τη θέση Φ όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

β) Βρείτε τον ελάχιστο χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του σώματος από τη θέση Φ.

Δίνονται:   m = 1 Kgr,  g = 10 m/sec²,  φ = 30^o,  

 τάση σχοινιού:  Τ = 10 Nt,  και  k = 100N/m.

Δοκι        Δοκιμάστε να λύσετε την άσκηση με το ένα άκρο του ελατηρίου δεμένο στην κορυφή (κι όχι στη βάση) του πλάγιου επιπέδου με ίδιες, όπως πριν, τις τιμές των μεγεθών m ,k, T, g και φ.  Θα εκπλαγείτε αν διαπιστώσετε ότι ελάχιστα πράγματα αλλάζουν ως προς τη μέθοδο λύσης, αλλά και ως προς τα αποτελέσματα!

Απάντηση: