ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΕ Α.Α.Τ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΣΩΜΑ ΑΠΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

ΙΙ. Γενική περίπτωση  

Το σώμα Σ ισορροπεί αρχικά στη θέση I που φαίνεται στο σχήμα. Το ελατήριο είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος. Κάποια στιγμή (t = 0) εφαρμόζουμε πάνω του μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη F, όπως στο σχήμα. Το μέτρο της δύναμης  μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: F = (10/3)y +10 (το F σε N και το y σε m), όπου y η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας Ι. Τo σώμα αρχίζει να ανεβαίνει.

Α. Να δείξετε ότι υπάρχει μια θέση I΄, ψηλότερα από τη Ι, όπου η συνισταμένη όλων των δυνάμεων, συμπεριλαμβανομένης και της F, είναι μηδέν και ότι η θέση αυτή είναι το κέντρο μιας α.α.τ. που θα εκτελέσει το σώμα.

Β. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστη κινητική ενέργεια και πόση είναι αυτή;

Γ. Κάποια στιγμή διακόπτουμε την εφαρμογή της F. Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει στη συνέχεια το σώμα Σ αν η δύναμη F πάψει να εφαρμόζεται τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από:

i. Tην πάνω ακραία θέση του

ii. Τη θέση Φ

iii. Τη θέση Ι

Δίνονται: m = 1 kgr, g = 10 m/s², k = 40/3 N/m

Περισσότερα για το παραπάνω πρόβλημα:

• Η εκφώνηση σε PDF
• Μια σύντομη Απάντηση
• Μια πλήρη Λύση

ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΕ Α.Α.Τ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΣΩΜΑ ΑΠΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

Ειδική περίπτωση

  Το σώμα Σ ισορροπεί αρχικά στη θέση I κρεμασμένο από ένα κατακόρυφο ελατήριο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή εφαρμόζουμε πάνω του μια κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω δύναμη F, που το μέτρο της μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση:  F = (40/3)y +10 (το F σε N και το y σε m), όπου y η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Έπειτα από 1sec καταργούμε την F.

Α. Δείξτε ότι, στη διάρκεια που στο σώμα ενεργεί η δύναμη F, εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. ενώ μετά την κατάργησή της θα κάνει α.α.τ.

Β. Προσδιορίστε τα μεγέθη της ταλάντωσης: ω, Α,  φ_ο.

(Για τα διανυσματικά μεγέθη της α.α.τ. θεωρείστε θετική την προς τα κάτω φορά. Ως αρχή μέτρησης χρόνου θεωρείστε τη στιγμή που το σύστημα ξεκινά να ταλαντώνεται).

Δίνονται: m = 10 kgr, g = 10 m/s², k = 40/3 N/m

Δείτε:

• Την Άσκηση σε PDF
• Μια σύντομη απάντηση
• Την προτεινόμενη Λύση
• Μια παρόμοια με οριζόντιο ελατήριο

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΙΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΜΙΑ Α.Α.Τ.

·      Πώς μια πρόσθετη μεταβλητή δύναμη επηρεάζει την α.α.τ. συστήματος “κατακόρυφο ελατήριο – μάζα”

Το κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k₁ είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο ενώ στο πάνω άκρο έχουμε δέσει ένα σώμα μπάζας m = 1 kgr το οποίο εκτελεί α.α.τ. με πλάτος Α = 0,1 m και με συχνότητα  f  =  5/π  Hz. Κάποια στιγμή, συγκεκριμένα όταν το σώμα διέρχεται από το ανώτερο σημείο της τροχιάς του (αλλιώς, πάνω ακραία θέση ή Π.Α) αρχίζει να ενεργεί πάνω του, με φορά προς τα πάνω μια επιπλέον κατακόρυφη μεταβλητή δύναμη μέτρου F₂ = 300y, όπου y η απόσταση του σώματος από το σημείο αυτό.

Α. Να  δείξετε ότι το σώμα θα εξακολουθήσει να κάνει α.α.τ. και να προσδιορίσετε το νέο πλάτος και τη νέα της συχνότητα.

Β. Πόση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια Κ΄_μεγ της νέας ταλάντωσης;

Γ. Με αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0) τη στιγμή που αρχίζει να δρα πάνω στο σώμα η δύναμη F₂ να εξάγετε τη σχέση που συνδέει την F₂ με το χρόνο.

Δίνεται g = 10 m/s².

Περισσότερα:

• Η Άσκηση σε PDF
• Σύντομη Απάντηση
• Προτεινόμενη Λύση

 Εφαρμόστε τα προηγούμενα στις δύο παρακάτω παραλλαγές:

1^η. Πώς θα λύνατε την παραπάνω άσκηση αν η δύναμη F₂ είχε φορά προς τα κάτω κι άρχιζε να ενεργεί πάνω στο σώμα τη στιγμή που διέρχεται από την κάτω ακραία θέση (Κ.Α) της αρχικής του ταλάντωσης; (Θεωρείστε το y ως την απόσταση από την Κ.Α).

2^η. Πώς θα λύνατε την παραπάνω άσκηση αν η δύναμη F₂ είχε φορά προς τα κάτω κι άρχιζε να εφαρμόζεται πάνω στο σώμα τη στιγμή που διέρχεται από την θέση ισορροπίας (Θ.Ι) ανεβαίνοντας; (Θεωρείστε το y ως την απόσταση από την Θ.Ι).

• Οι εκφωνήσεις των παραλλαγών σε PDF
• Σύντομες Απαντήσεις
• Λύσεις των Παραλλαγών

ΠΩΣ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΜΕΤΑΤΡΕΨΕΙ ΣΕ Α.Α.Τ. ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Α.Α.Τ.

Όπως φαίνεται στο σχήμα, δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k₁ = 40 N/m και k₂ = 50 N/m, έχουν το ένα άκρο τους στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα και το άλλο άκρο τους προσδεμένο σ’ ένα σώμα Σ μάζας m = 0,1 kgr, που είναι φορτισμένο με ηλεκτρικό φορτίο +q. Οι άξονες των ελατηρίων συμπίπτουν.

Όταν το σώμα ισορροπεί, το κάτω ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

Α. Να αποδείξετε ότι η κίνηση που θα εκτελέσει το σώμα, αν το εκτρέψουμε κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του κι έπειτα το αφήσουμε ελεύθερο, είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της.

Β. Αποσυνδέουμε το κάτω ελατήριο από το σώμα. Έτσι όταν το σώμα ισορροπεί, το πάνω άκρο του ελατηρίου αυτού απλώς ακουμπά στο σώμα. Στη συνέχεια ανεβάζουμε κατακόρυφα το σώμα κατά 0,025 m, προκαλώντας μια αντίστοιχη μείωση μήκους στο πάνω ελατήριο. Τη στιγμή t = 0 sec αφήνουμε το σώμα.

Β1. Να εξηγείστε γιατί η κίνηση που θα κάνει το σώμα δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την απόσταση των δύο ακραίων θέσεων ανάμεσα στις οποίες κινείται.

Β2. Όταν το σώμα βρίσκεται σε μια από τις ακραίες θέσεις του εμφανίζεται στο χώρο της ταλάντωσης ένα κατακόρυφο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο που ασκεί πάνω του σταθερή δύναμη F. Ποιά πρέπει να είναι η φορά της δύναμης F και ποιό το ελάχιστο μέτρο της ώστε το σώμα να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση; Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις, μια για κάθε ακραία θέση.

Β3. Πόση είναι η περίοδος της ταλάντωσης σε κάθε περίπτωση;

Δίνεται: g =10  m/sec², και ότι κατά την κίνηση του σώματος δεν έχουμε απώλειες ενέργειας.

Δείτε:

• Το Πρόβλημα σε PDF
• Τη συνοπτική απάντηση
• Την προτεινόμενη λύση     

Άλλες Ασκήσεις με δύο ελατήρια 

1. Δύο ελατήρια και μια πλάγια ελαστική κρούση  
2. Σώμα εν μέσω δύο ελατηρίων και μια αποκόλληση
3. Άλλη μια αποκόλληση ... πιο δύσκολη
4. Ένα σώμα -  δύο ελατήρια σε πλάγιο επίπεδο (Η άσκηση δημοσιεύτηκε στις 12/10/2010. Κάλυπτε τα μισό ΘΕΜΑ Δ των Πανελληνίων 2012).

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΟΥ ΦΕΡΝΟΥΝ ΤΑ ΠΑΝΩ … ΚΑΤΩ ΚΑΙ ΤΑ ΚΑΤΩ … ΠΑΝΩ ΣΤΙΣ Α.Α.Τ.

Πως μια δύναμη μπορεί να φέρει τα πάνω … κάτω σε μια α.α.τ.

Το σώμα Σ αρχικά εκτελεί α.α.τ. με γνωστά τα παρακάτω μεγέθη:

Μάζα m = 1 kgr, σταθερά ελατηρίου k = 100 N/m, πλάτος A = 4 cm και  g = 10 m/s² .

Έστω Π₁ η πάνω ακραία θέση και Κ₁ η κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης. Κάποια στιγμή, όταν το σώμα διέρχεται από την πάνω ακραία θέση Π₁, εφαρμόζουμε πάνω του μια κατακόρυφη σταθερή δύναμη F.

Α. Να προσδιορίσετε αυτή τη δύναμη (μέτρο- φορά) ώστε το σώμα να παραμείνει ακίνητο.

Β. Δείξτε ότι αν στην ίδια θέση, αντί της F, εφαρμόσουμε στο σώμα μια δύναμη F΄ μεγαλύτερη από την F και με φορά προς τα πάνω, τότε το σώμα θα εκτελέσει μια νέα α.α.τ. στην οποία η θέση Π₁ θα είναι κάτω ακραία θέση.

Γ. Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο της F΄ ώστε η νέα ταλάντωση να έχει πλάτος ίδιο με της παλιάς;

 Περισσότερα:

• Η Άσκηση σε PDF
• Η Λύση της
• Μια παρόμοια άσκηση όπου σε μια α.α.τ. γίνονται τα κάτω … πάνω
• Η Λύση της

 Δείτε και τις εξής παραλλαγές των παραπάνω ασκήσεων:  

            

1. Δυο διαδοχικές ταλαντώσεις ενός σώματος με την ίδια θετική ακραία θέση

2. Η πάνω ακραία θέση της παλαιάς ταλάντωσης ≡ κάτω ακραία θέση της νέας!

ΜΕΓΙΣΤΗ ΠΡΟΣΦΕΡΟΜΕΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΜΙΑ Α.Α.Τ.

Περισσότερα:

• Η Άσκηση σε PDF
• Οι Απαντήσεις 
• H Λύση
• Μια παρόμοια Άσκηση

Α.Α.Τ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ “ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΜΑΖΑ” ΜΕΡΟΣ 4ο - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαγράμματα και συναρτήσεις  U_ελ – x,   U_ελ – t, σε σύστημα κατακόρυφο ελατήριο – μάζα δυσκολεύουν τους μαθητές. Γι αυτό σκέφτηκα τα τρία πρώτα μέρη της τελευταίας, σχετικής με το θέμα εργασίας,  να τα συνοδεύσω με ένα τέταρτο μέρος που να περιλαμβάνει δύο εφαρμογές. Είναι δύο ασκήσεις με δυσκολία λίγο πάνω του μετρίου, που η λύση τους θα ωφελήσει, κατά τη γνώμη μου, πολύ τους αγαπητούς μαθητές μας.

Αργότερα, θα ακολουθήσουν ασκήσεις όπου θα ζητούνται οι συναρτήσεις F_ελ – x,   F_ελ – t

1.  Όλες οι δυναμικές ενέργειες μαζί

Ένα σώμα μάζας m= 2 kgr είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου του οποίου το πάνω άκρο συγκρατείται από ακλόνητο στήριγμα. Ανεβάζουμε το σώμα μέχρι μια θέση Β πάνω από τη θέση ισορροπίας του και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο. Έτσι αρχίζει να εκτελεί α.α.τ., στη διάρκεια της οποίας η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, U_ελ, μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών 0 και 4 J, ενώ η παραμόρφωσή του μεταξύ των τιμών 0 και 0,2 m, όπως φαίνεται στο διάγραμμα. 

Α. Πόσο είναι το πλάτος, η ενέργεια και η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης;

Β. Σε ποια θέση είναι U_ελ = U_ταλ;  Αν το επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας διέρχεται από τη θέση αυτή, να δείξετε ότι για οποιαδήποτε απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας ισχύει:

                                             U_ελατ + U_βαρ = U_ταλ = (1/2)kx²

                                          

Γ. Να γίνουν τα διαγράμματα U_ταλ - x και Κ – x σε κοινό σύστημα ορθογωνίων αξόνων ενέργειας – απομάκρυνσης και να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής των ενεργειών αυτών τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση όπου U_ταλ = Κ κινούμενο πάνω από τη θέση ισορροπίας και κατευθυνόμενο προς την πάνω ακραία θέση Β.

Δ. Αν ως χρονική στιγμή t = 0 θεωρήσουμε κάποια στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση όπου η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (U_ελ) είναι ίση με την ενέργεια της ταλάντωσης  (Ε_ταλ) και ελαττώνεται, να εξάγετε την εξίσωση απομάκρυνσης – χρόνου (x-t).

Δίνεται: g = 10 m/s²

• Η Άσκηση σε PDF
• Η Απάντηση
• Η Προτεινόμενη Λύση

2.  Από την παραμόρφωση ελατηρίου στην απομάκρυνση ταλάντωσης κι αντίστροφα. Μια άσκηση για εξάσκηση.

Το κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο βάθρο ενώ στο πάνω άκρο του είναι δεμένο ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με θετική φορά προς τα πάνω. Στο διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια ελαστικότητας του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του.

Α. Να βρείτε τη σταθερά του ελατηρίου και την περίοδο της ταλάντωσης.

Β. Με τι ρυθμό μεταβάλλεται η δυναμική ε­νέργεια, λόγω παραμόρφωσης, του ελατηρίου τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινού­μενο προς τα θετικά;

Γ. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος και αυξάνεται, ποια είναι η σχέση της παραμόρφωσης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο; 

Δίνεται: g = 10 m/sec².

• Η Άσκηση σε PDF
• Η Απάντηση
• Η προτεινόμενη Λύση

Το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή

Η συνέχεια του θεωρητικού σημειώματος σε pdf εδώ

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: ΒΟΛΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ – ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ – Α.Α.Τ.

   ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ  x-t. ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ “ΕΡΓΑΛΕΙΟ”

(Για λόγους απλότητας, προκειμένου να καταδειχτούν τα πολλά κοινά σημεία που έχει η περίπτωση αυτή με την περίπτωση της προηγούμενης ανάρτησης, θα προσεγγίσουμε και αυτό το θέμα  με τον ίδιο τρόπο ανάλυσης).

Και σε αυτήν την περίπτωση, επειδή το βάρος του συσσωματώματος είναι μεγαλύτερο από αυτό του ενός σώματος, η θέση ισορροπίας ( Ι΄)  της ταλάντωσης του συσσωματώματος  είναι χαμηλότερα από τη θέση ισορροπίας (Ι) του σώματος που αρχικά ισορροπεί μόνο του στο ελατήριο. Επίσης κι εδώ, η απόσταση ΙΊ αντιστοιχεί στην αρχική απομάκρυνση της ταλάντωσης.

Και εδώ, αν θεωρήσουμε πάλι την προς τα πάνω φορά θετική, η ταλάντωση αρχίζει από μια θέση ,τη Ι, με θετική απομάκρυνση (ίση με ΙΊ). Όμως τώρα η αρχική ταχύτητα είναι θετική (προς τα πάνω)  κι όχι αρνητική όπως πριν. Αυτό σημαίνει ότι, η αρχική φάση της ταλάντωσης θα περιορίζεται ανάμεσα στις τιμές 0 και π/2.

Αν βάλλουμε πάλι έναν από τους παρακάτω περιορισμούς:

Συνέχεια …

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ – ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ – Α.Α.Τ., ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ “ΕΡΓΑΛΕΙΟ” ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ x –t. (6ο θεωρητικό σημείωμα)

ΜΕΡΟΣ 1ο

Σε αυτές τις περιπτώσεις, ως γνωστόν, η θέση ισορροπίας ( Ι΄)  της ταλάντωσης του συσσωματώματος  είναι χαμηλότερα από τη θέση ισορροπίας (Ι) του σώματος που αρχικά ισορροπεί μόνο του στο ελατήριο. Επιπλέον, η απόσταση ΙΊ αντιστοιχεί στην αρχική απομάκρυνση x_αρχ της ταλάντωσης.

Έτσι, αν θεωρήσουμε την προς τα πάνω φορά θετική, στη θέση Ι, από την οποία αρχίζει την ταλάντωσή του το συσσωμάτωμα, αντιστοιχεί θετική απομάκρυνση x_αρχ (ίση με ΙΊ) κι αρνητική ταχύτητα (προς τα κάτω). Αυτό σημαίνει ότι, η αρχική φάση της ταλάντωσης θα περιορίζεται ανάμεσα στις τιμές π/2 και π.

Συνέχεια ...

                                                                                    
                                                          ΜΕΡΟΣ 2ο

Τι θα λέγατε τώρα αν σας καλούσαν να αντιμετωπίσετε αντίστροφα μια τέτοια περίπτωση, ελεύθερης πτώσης- πλαστικής κρούσης - α.α.τ. με φ₀ = 5π/6;

 Να σας έδιναν δηλαδή:

α) Την εξίσωση ταλάντωσης του συσσωματώματος και μόνο τη μια μάζα και να  σας ζητούσαν τα υπόλοιπα τρία μεγέθη, δηλαδή την άλλη μάζα, τη σταθερά k και το ύψος h,  ή

β) Την εξίσωση ταλάντωσης του συσσωματώματος και μόνο τη σταθερά k και να  σας ζητούσαν τα υπόλοιπα τρία μεγέθη: m, M και h.

(Στα δεδομένα, φυσικά, πρέπει να  ενταχθεί και τη σταθερά g).

Συνέχεια ...

Α.Α.Τ., ΤΟ TEST ΤΩΝ ΔΕΚΑ ΣΧΕΣΕΩΝ (Διάρκεια 2 h)

1. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ., τέτοια ώστε σε δύο θέσεις x₁ και x₂ να έχει ταχύτητες υ και u και επιταχύνσεις α και β, αντίστοιχα. Δείξτε ότι η απόσταση ανάμεσα στις θέσεις αυτές είναι:

Δείτε:

Όλο το test

Τις απαντήσεις