ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΗΝ 1η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΤΡΙΑΔΑ (3,4,5)

1. Όταν λείπει η βαρύτητα κάποια πράγματα είναι πιο απλά

Το σύστημα των αβαρών ράβδων του σχήματος έχει στο ένα άκρο του στερεωμένο ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές  γύρω από την άρθρωση Ο. 

Η δύναμη F ενεργεί συνεχώς κάθετα στη ράβδο του σχήματος. Αγνοώντας τη βαρύτητα, να υπολογίσετε:

Α. Το μέτρο της στροφορμής του συστήματος ως προς την άρθρωση Ο τη χρονική στιγμή t = 2 sec, θεωρώντας ότι τη στιγμή t = 0 η ταχύτητά του είναι μηδέν.

Β. Τη γωνιακή επιτάχυνση με την οποία στρέφεται το σύστημα των αβαρών ράβδων και του σφαιριδίου. 

Δείτε:

• Την άσκηση με τις απαντήσεις
• Την προτεινόμενη λύση

2. Ανάρτηση ράβδου με σχοινί

Μια ομογενής ράβδος, μήκους L = 0,6 m και μάζας m = 1 kgr, μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Αρχικά ηρεμεί σε κατακόρυφη θέση, όπως τη βλέπουμε στο πλαϊνό σχήμα.

Κάποια στιγμή ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού μια δύναμη  F = 5 Ν.

Να βρείτε:

Α. Τον αρχικό ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου.

Β. Την αρχική γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος στο κέντρο μάζας της Ι_c.m = mL²/12. 

Δείτε:

• Την άσκηση με τις απαντήσεις 
• Την προτεινόμενη λύση

ΤΡΟΧΟΙ ΚΑΙ … ΣΧΟΙΝΙΑ

1. Κύλιση σε λείο οριζόντιο επίπεδο

(Κι αν σας έλεγαν ότι ένας τροχός μπορεί, σε ένα εντελώς γλιστερό δρόμο, να κυλίεται χωρίς να γλιστράει ακόμη κι όταν επιταχύνεται, ακόμη κι όταν φρενάρει;)

Ο κυλινδρικός τροχός του σχήματος, ακτίνας R = 0,2 m, διαθέτει μια κεντρική εγκοπή ακτίνας r γύρω από την οποία είναι τυλιγμένο ένα λεπτό νήμα. Αρχικά ο τροχός είναι ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τραβάμε οριζόντια το άκρο Α του νήματος με δύναμη F = 10 Ν και θέτουμε τον τροχό σε κίνηση.

Α. Να δείξετε ότι για μια ορισμένη τιμή της ακτίνας r, ανεξάρτητη από την τιμή της F και της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας, ο κύλινδρος είναι δυνατόν να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Β.  Αν η ακτίνα r έχει την τιμή που υπολογίσατε πιο πριν, τότε:

1. Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από την F σε κάθε ...

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση (με τις απαντήσεις)
• Τη λύση που προτείνεται σε κάθε ερώτηση

2. Μην κάνετε το λάθος να πείτε ότι ο τροχός θα πάει προς τ ’αριστερά!

A. Πάνω σε οριζόντιο δάπεδο μπορεί να κυλάει ένας κυλινδρικός τροχός ακτίνας R = 0,2 m. Στο μέσον του υπάρχει ένα στενό βαθύ αυλάκι ακτίνας r = 0,1 m γύρω από το οποίο είναι τυλιγμένο ένα λεπτό νήμα που το άκρο του Α το τραβάμε προς τα δεξιά με ταχύτητα υ_Α  = 0,5 m/s.

Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλίνδρου θεωρώντας ότι κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. 
  

Β. Ακινητοποιούμε τον τροχό κι επαναλαμβάνουμε το πείραμα ασκώντας στο άκρο Α του σχοινιού σταθερή οριζόντια δύναμη F = 10 N. Να δείξετε ότι το έργο της F σε κάθε περιστροφή του τροχού είναι σταθερό και να υπολογίσετε. 

   

Δείτε:

• Την άσκηση με την απάντηση (σε PDF)
• Την προτεινόμενη λύση.

ΡΑΒΔΟΣ ΚΑΙ ΤΡΟΧΟΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Ο τροχός αποτελείται από ένα στεφάνι μάζας 4 kgr ακτίνας 0,25 m το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ, με τη βοήθεια μεταλλικών ακτίνων αμελητέας μάζας. Ο άξονας του τροχού προσαρτάται στην οριζόντια ράβδο ΟΚ μάζας m = 3 kgr που το άκρο της Ο είναι αρθρωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. Αν το σύστημα αφήνεται από την ηρεμία με τη ράβδο αρχικά οριζόντια, όπως φαίνεται στο σχήμα  και αν ο τροχός κυλίεται στην κυλινδρική επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει, να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρο Κ του τροχού όταν φτάνει στην κατώτερη θέση Κ΄.

Δίνονται: OK = R = 0,5 m, ΟC = 0,3 m,  I_{ράβδου(Ο)} = 0,32 kgr.m² και g = 10 m/s² και ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Οι τριβές στο άξονα περιστροφής και στην άρθρωση είναι αμελητέες.

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF (με την απάντηση)
• Την προτεινόμενη λύση της

ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ, ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ

 To σύστημα του σχήματος αποτελείται από το σώμα Σ με m_Σ = 8kg, την τροχαλία Π₁ και τον τροχό Π₂ με μάζες m₁ = 1kg, m₂ = 4kg και ακτίνες R₁ = 0,1 m, R₂ = 0,2 m, αντίστοιχα.
Αν γνωρίζετε ότι το σύστημα των τριών σωμάτων τίθεται σε κίνηση τη στιγμή t = 0 με το Σ να ολισθαίνει προς τα κάτω, ότι ο τροχός Π₂ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα επάνω, και η τροχαλία Π₁ στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό άξονα με το νήμα να μην ολισθαίνει στην περιφέρεια της, να μελετήσετε την κίνηση του συστήματος απαντώντας στα παρακάτω ερωτήματα:
Α.  Να βρείτε την επιτάχυνση α_Σ του σώματος Σ, εάν την χρονική στιγμή t₁ = 2s o τροχός Π₂ έχει εκτελέσει  5/π περιστροφές. 
Β. Να υπολογίσετε τις τάσεις των νημάτων καθώς και τη στατική τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ του δαπέδου και του τροχού.
Γ. Να υπολογίσετε τις στροφορμές της τροχαλίας Π₁ και του τροχού Π₂ όταν το σώμα Σ έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα ...

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση (με τις απαντήσεις)
• Την προτεινόμενη λύση της

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στάσιμο κύμα, με στοιχεία ταλάντωσης, σε χορδή συγκεκριμένου μήκους  

Μια τεντωμένη οριζόντια χορδή ΟΑ μήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Το άκρο Α είναι ακλόνητα στερεωμένο, ενώ το άκρο Ο που βρίσκεται στη θέση x = 0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε με κατάλληλη διαδικασία να δημιουργείται στάσιμο κύμα. Στη θέση x = 0 εμφανίζεται κοιλία και το υλικό σημείο του μέσου στη θέση αυτή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σημείο x = 0 βρίσκεται στη θέση μηδενικής απομάκρυνσης κινούμενο κατά τη θετική φορά. Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του συγκεκριμένου στάσιμου κύματος τη στιγμή κατά την οποία όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται στις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσής τους. Η μέγιστη απόσταση μεταξύ της πρώτης κοιλίας και του δεύτερου δεσμού είναι 0,1√ 10 m. Ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται κάθε υλικό σημείο του ελαστικού μέσου που ταλαντώνεται, για να διέλθει δύο φορές από τη θέση ψ₁ =|A΄|/2 είναι Δt =1/60 sec, όπου |Α΄| είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου.

Α.  Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος.

Β.  Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της επιτάχυνσης μιας κοιλίας, όταν έχει απομάκρυνση  ψ₁ = 6.10^-2 m.

Γ.  Να υπολογιστεί το μήκος της χορδής, εάν στο στάσιμο κύμα έχουν δημιουργηθεί οκτώ  δεσμοί  (συμπεριλαμβανομένου και του δεσμού στο άκρο Α).

Δ.  Εάν η συχνότητα των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα γίνει  f = 20/3 Hz να βρεθεί ο αριθμός των δεσμών που σχηματίζονται στην ίδια χορδή, με δεδομένο ότι στην αρχή της χορδής έχουμε πάλι κοιλία και στο τέλος δεσμό. Δίνεται π² = 10.

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF (με τις απαντήσεις)
• Την προτεινόμενη λύση της