ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ KAI ME ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΩΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗΣ ΔΡΑΣΗΣ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ

Ένα δαχτυλίδι, ένας κύλινδρος και ένα συμπαγές σφαιρίδιο, φτιαγμένα από ομογενή υλικά, αφήνο­νται να κυλήσουν ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος  ενός κεκλιμένου επιπέδου. Αν η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση, να δείξετε ότι όποια κι αν είναι η σχέση μαζών των σωμάτων και όποια κι αν είναι η σχέση των ακτίνων τους, το σφαιρίδιο θα φτάσει γρηγορότερα στη βάση το πλάγιου επιπέδου.

Θεωρείστε ότι η ροπή αδράνειας και των τριών σωμάτων ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής τους, που διέρχεται από το κέντρο μάζας τους, αποδίδεται από τη σχέση:

 I_c = λmR²

όπου m και R είναι η μάζα και η ακτίνα των παραπάνω σωμάτων (με διαφορετικές τιμές για το καθένα), και λ ένας αριθμητικός συντελεστής που η τιμή του είναι 1 για το δακτυλίδι, 0,5 για τον κύλινδρο και 0,4 για το σφαιρίδιο, αντίστοιχα.

Απάντηση:

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ – ΘΕΜΑ Α

1. Ανομοιογενής ράβδος μήκους L ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή  t = 0 αρχίζει να ενεργεί πάνω της ζεύγος οριζοντίων δυνάμενων F₁= F₂ = F, που διατηρούνται διαρκώς κάθετες στη ράβδο, όπως στο σχήμα. 

Α. Οι ρυθμοί μεταβολής της ταχύτητας του κέντρου μάζας (C) και της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου είναι, αντίστοιχα:

        i.       μηδέν και διάφορος του μηδενός

        ii.     διάφορος του μηδενός και μηδέν

        iii.    μηδέν και μηδέν.

Β. Αν Ι_c είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ’ αυτήν, τότε η γωνιακή ταχύτητα και το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του γεωμετρικού μέσου (Κ) της ράβδου τη χρονική στιγμή t είναι, αντίστοιχα:

Η συνέχεια εδώ και οι αναλυτικές απαντήσεις εδώ.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΘΕΜΑ Β

1. Μια ομογενής και σταθερής διατομής ράβδος, μήκους ℓ = 3 m, ισορροπεί οριζόντια. Το ένα άκρο της είναι αρθρωμένο σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο είναι στερεωμένο στο κατώτερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου με σταθερά k = 100 Ν/m, στο οποίο έχει προκαλέσει επιμήκυνση Δℓ = 40 cm. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο της Ο.

Δίνεται η σχέση της ροπής αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: I_c.m = mℓ ²/12 και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/sec².

                                                                                                                Απ. 24 kgr.m²

Εδώ θα βρείτε τις  υπόλοιπες ερωτήσεις κι εδώ αναλυτικές απαντήσεις.

ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Ο λεπτός δακτύλιος του σχήματος α και το στερεό του σχήματος β, που αποτελείται από δύο ίδιους συνεπίπεδους μισούς δακτυλίους της ίδια ακτίνας r με το δακτύλιο του σχήματος α, έχουν την ίδια μάζα ομοιόμορφα κατανεμημένη σ’όλο το μήκος τους.

Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας των σωμάτων ως προς άξονες που είναι κάθετοι στο επίπεδό τους και διέρχονται από τα σημεία Ο και Ο΄ του καθενός, σε συνάρτηση με τη μάζα και την ακτίνα τους.  
                                                         

Δείτε εδώ όλες τις ερωτήσεις και εδώ, αναλυτικά, τις απαντήσεις.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ - ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΜΕ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Ίσως πλησίασε ο καιρός για μια επανάληψη στο ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ. Και των "φρονίμων τα παιδιά" καλό είναι να θυμηθούν πρώτα τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Η σελίδα μας προκειμένου να τονίσει πόσο απαραίτητη είναι αυτή η επανάληψη και επιθυμώντας να βοηθήσει τους αγαπητούς μαθητές, προσφέρει ένα σχετικό τετράδιο με ένα απλό "κλικ" εδώ.

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ - ΘΕΜΑ Β (2ο μέρος) 5η ερώτηση

5. Ράβδος συγκρατεί στερεό με τριβή

 Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ, με μήκος ℓ και μάζα Μ = 3kg , έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άλλο άκρο Γ ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 9Ν, με φορά προς τα κάτω.

Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β με στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R = 0,2m και r = 0,1m, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Η απόσταση του σημείου επαφής Β από το άκρο Γ της ράβδου είναι ℓ/4.

Ολόκληρο το θέμα σε pdf εδώ και μια αναλυτική απάντηση εδώ.

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ -ΘΕΜΑ Β (2ο μέρος) 4η ερώτηση

4.  Κουβάς σε ισορροπία ...  Ούτε μια σταγόνα παραπάνω

Ο  τροχός του σχήματος βρίσκεται σε επαφή με λείο τοίχο κάθετο στο  πλάγιο επίπεδο. Έχει μάζα Μ = 6 kgr  και φέρει  τυλιγμένο στην περιφέρειά του ένα αβαρές σχοινί. Το σχοινί, εκτεινόμενο παράλληλα προς το πλάγιο επίπεδο, διέρχεται από το αυλάκι μιας τροχαλίας και στο  ελεύθερο άκρο του είναι δεμένος ένας άδειος κουβάς. Η γωνία κλίσης του πλάγιου επιπέδου είναι 30^ο.

Ρίχνουμε σιγά – σιγά νερό στον κουβά.

Ολόκληρο το θέμα εδώ και η αναλυτική απάντηση εδώ.