Το "2ο Γενικό Διαγώνισμα στα κύματα" αναθεωρημένο και βελτιωμένο

Α.1. Ένα αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση:

                                             0,1ημ2π(2t -  x ⁄20)    (S.I).

 H μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου μεταξύ δύο χρονικών στιγμών που διαφέρουν κατά Δt = 1/6 sec, είναι ίση με:

                     α) 0,5π,          β) 2π/3,      γ) 1,5π,         δ)  2π 

Α.2.  Οι πηγές Π₁ και Π₂ είναι δύο σύγχρονες πηγές που δημιουργούν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού. Το σημείο Β βρίσκεται πάνω στην πρώτη, μετά τη μεσοκάθετο, ενισχυτική υπερβολή. Αυτό σημαίνει ότι όταν σ’ αυτό φτάνει ένα ¨όρος¨ που προέρχεται από την πηγή Π₂, ταυτόχρονα φτάνει και ένα ¨όρος¨ που προέρχεται από την πιο μακρινή πηγή Π₁, το οποίο:

α) ξεκίνησε ταυτόχρονα με το όρος της πηγής Π₂, 

β) ξεκίνησε μια περίοδο νωρίτερα,

γ) ξεκίνησε μια περίοδο αργότερα,

δ) ξεκίνησε μισή περίοδο νωρίτερα.

Α.3.  Οι νυχτερίδες μπορούν να εντοπίσουν μικρά αντικείμενα, π.χ. έντομα, με διαστάσεις τουλάχιστον ίσες με το μήκος κύματος των υπερήχων που εκπέμπουν. Αν μια νυχτερίδα εκπέμπει ένα τερέτισμα (κελαηδισμό) με συχνότητα 66 kHz και η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 330 m/sec, το μικρότερο μέγεθος εντόμου που μπορεί να εντοπίσει  είναι:

 α. 2 mm,      β. 0,5 mm,       γ. 0,2 mm,        δ. 5 mm

Α.4.  Σήμερα γνωρίζουμε ότι ο πυρήνας της γης αποτελείται από ένα εξωτερικό και ένα εσωτερικό τμήμα. Το εξωτερικό τμήμα του πυρήνα είναι σε ρευστή (υγρή) κατάσταση, ενώ το εσωτερικό είναι στερεό. Όταν γίνεται ένας σεισμός απελευθερώνεται ενέργεια, που είναι συσσωρευμένη στις λιθοσφαιρικές πλάκες του φλοιού της γής, και δημιουργούνται εγκάρσια και διαμήκη κύματα.  Οι σεισμογράφοι, που βρίσκονται σε αντιδιαμετρική θέση  ως προς την εστία ενός σεισμού καταγράφουν:

α) μόνο τα διαμήκη κύματα

β) μόνο τα εγκάρσια κύματα

γ) και τα διαμήκη και τα εγκάρσια

δ) ούτε τα διαμήκη, ούτε τα εγκάρσια.

Α.5. Χαρακτηρίστε καθεμιά από τις  παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος:

α. Οποιαδήποτε κυματική διαταραχή, όσο περίπλοκη και να είναι, μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων.

β. Θα μπορούσαμε να ορίσουμε το μήκος κύματος ως την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας τους και οι ταχύτητές τους είναι ίσες.

γ. Κύματα που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο μέσον αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

δ. Η ενέργεια των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων δημιουργείται στάσιμο κύμα εγκλωβίζεται ανάμεσα σε ζεύγη διαδοχικών δεσμών.

ε. Κατά τη διάδοση ενός κύματος τα μόρια του ελαστικού μέσου κινούνται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους.

Συνέχεια:  Όλο το διαγώνισμα - Οι απαντήσεις

Περιοχές συμβολής επιφανειακών κυμάτων, η περίεργη ταλάντωση ενός φελλού και σημεία της επιφάνειας που την μιμούνται.

[Μια άσκηση που λύνεται  εύκολα αν στηριχτούμε στη λογική της σύνθεσης ταλαντώσεων και όχι στις γνωστές εξισώσεις συμβολής κυμάτων σε επιφάνεια υγρού.]

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁, Π₂ που αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t = 0 με εξισώσεις :

                          ψ₁ = ψ₂ = Aημ8πt,    (τα μεγέθη ψ και t στο S.I),

και παράγουν κύματα, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα υ=4 m/sec προς όλες τις διευθύνσεις της επιφάνειας του υγρού.

Υποθέτουμε ότι τα κύματα διαδίδονται χωρίς απώλεια ενέργειας. Καθώς, όμως, απλώνονται στην επιφάνεια, η ενέργεια που παρέχει η πηγή ανά περίοδο, μεταφέρεται από το κύμα και διαμοιράζεται συνεχώς σε σημεία όλο και μεγαλύτερων ομόκεντρων κύκλων και συνεπώς σε όλο και περισσότερα υλικά σημεία. Για αυτό, το πλάτος καθενός από τα κύματα μειώνεται με την απόσταση από τις πηγές.

Έστω ότι σε απόσταση 2,75 m  από κάθε πηγή το πλάτος ταλάντωσης, που κάθε σημείο υποχρεώνεται να κάνει, είναι ίσο με A₁ = 4 cm, ενώ σε απόσταση 3,25 m είναι ίσο με A₂ = 3,8 cm.

α. Να δικαιολογήσετε γιατί ένας φελλός, που βρίσκεται σε ένα σημείο Β στην επιφάνεια του υγρού σε απόσταση 3,25 m από τη μια πηγή και 2,75 m από την άλλη, θα ξεκινήσει τη στιγμή t₁ λίγο μετά την έναρξη ταλάντωσης των πηγών, θα κάνει μισή ταλάντωση με μηδενική αρχική φάση και πλάτος 4 cm κι ύστερα, από μια στιγμή t₂ και έπειτα, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση με αρχική φάση π και πλάτος 0,2 cm.

β. Να δείξετε, γραμμοσκιάζοντάς την, την περιοχή της επιφάνειας του υγρού όπου τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ έχουν συμβάλλει τα κύματα των δύο πηγών.

γ. Υπάρχουν και άλλα σημεία, που η κίνησή τους είναι πανομοιότυπη με αυτήν του Β. Πού βρίσκονται αυτά τη χρονική στιγμή t₂;

δ. Ποια σημεία της επιφάνειας του υγρού έχουν εκτελέσει περισσότερες ταλαντώσεις με πλάτος 0,2 m τη στιγμή t₂; 

 Απάντηση:

• Μια ακόμη όμορφη άσκηση με στάσιμο κύμα (βελτιωμένη)

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα xx΄, διαδίδονται αντίθετα, με ταχύτητα μέτρου υ = 10 m/s, χωρίς απώλεις ενέργειας, δύο αρμονικά κύματα με ίδια συχνότητα και ίδιο πλάτος.  Στο παρακάτω σχήμα 1 έχουμε σχεδιάσει το στιγμιότυπο τη στιγμή t₁ , που τα κύματα έχουν φτάσει στα σημεία Ο και Δ του ελαστικού μέσου

Τη στιγμή αυτή τα σημεία Ο και Δ ξεκινούν να εκτελούν α.α.τ. με ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα και με μηδενική αρχική φάση. Τα δύο κύματα, τελικά, συμβάλλουν σε όλο το μήκος του ελαστικού μέσου και δημιουργείται στάσιμο κύμα. 

Στο σχήμα 2 παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση ενός σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο. Το Ο το θεωρούμε αρχή των τετμημένων του άξονα xx΄ και, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, το σημείο Σ βρίσκεται ανάμεσα στα Ο, Δ και πιο κοντά στο Ο. Να βρεθούν:

Γ.1. Τα μήκη κύματος των κυμάτων από τα οποία δημιουργείται το στάσιμο κύμα.

Γ.2. Η απόσταση ΣΟ του Σ από το Ο και το μήκος L του τμήματος ΟΔ της χορδής.

Γ.3. Σε πόσο χρόνο, μετά τη στιγμή t₁, τα σημεία Ο και Δ θα αρχίσουν να εκτελούν μια νέα ταλάντωση με διαφορετικό πλάτος και πόσο τοις % θα είναι η μεταβολή αυτού.

Γ.4. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που έχει αναπτυχθεί πάνω στο τμήμα ΟΔ της χορδής, αν ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t = 0) θεωρηθεί η χρονική στιγμή που τα σημεία Ο και Δ αρχίζουν να ταλαντώνονται με διαφορετικό πλάτος.  

Απάντηση:

Αρμονικό κύμα: παρακολουθώντας την κίνηση μιας κορυφής

Kατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x΄x, έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α. Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x΄x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση του. Έτσι, τη στιγμή t = 0, στην αρχή αξόνων βρίσκεται η κορυφή που δείχνεται με το κατακόρυφο βέλος.

α) Αν η ταχύτητα με την οποία μετακινείται η κορυφή αυτή είναι υ = 1 m/sec και αν η μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Ο είναι 0,8π² m/sec², να βρείτε την εξίσωση του κύματος.

β) Σε ποια θέση βρίσκεται η παραπάνω κορυφή τη στιγμή που το σημείο Ο διέρχεται για έκτη φορά από τη θέση ισορροπίας του;

 (Τα παραπάνω στιγμιότυπα, για λόγους απλότητος, έχουν σχεδιαστεί σε ένα ορισμένο τμήμα του ελαστικού μέσου). 

Απάντηση:

Απώλεια ενέργειας ταλάντωσης σε μια ιδιαίτερη πλαστική κρούση. Ποσοτική και ποιοτική μελέτη

Δίνεται ο απλός αρμονικός ταλαντωτής του σχήματος: ένα σώμα Σ μάζας m, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, και ένα ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/m, που η μια του άκρη είναι δεμένη στο σώμα και η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη ακλόνητα.

Το σώμα Σ κινείται μεταξύ των θέσεων Α και Β με πλάτος Α.

Από ύψος h αφήνουμε να πέσει ένα κομμάτι πλαστελίνης μάζας m, το οποίο προσκολλάται στο σώμα που ταλαντώνεται.

I. Σε ποια από τις παρακάτω θέσεις πρέπει να γίνει η κρούση ώστε η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να είναι η μέγιστη δυνατή;

α. Σε μια ακραία θέση,    

β. Στη θέση ισορροπίας Ο,      

γ. Σε καμιά· η απώλεια μηχανικής ενέργειας είναι ίδια σε οποιαδήποτε θέση γίνει η κρούση.

ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Η χρονική διάρκεια της κρούσης να θεωρηθεί αμελητέα. 

Απάντηση: 

ΘΕΜΑ Β στις Α.Α.Τ. Απλό και «αναμενόμενο»

Ένα σώμα Σ μάζας m ισορροπεί δεμένο ανάμεσα σε δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k₁ και k₂, όπως στο σχήμα. Αν κόψουμε το πάνω ελατήριο, το σώμα αρχίζει να κινείται με επιτάχυνση μέτρου α_2,αρχ = 6 m/s² και εκτελεί μια α.α.τ. πλάτους Α₂.

Ι. Αν κόψουμε το κάτω ελατήριο αρχίζει να κινείται με αρχική επιτάχυνση α_1,αρχ που έχει μέτρο:

                                                   α. 2 m/s²,    β. 4 m/s²,    γ. 6 m/s²

ΙΙ. Αν είναι k₂ = 2k₁ και το πλάτος της πρώτης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο κάτω ελατήριο) είναι Α₂ = 6 cm, τότε το πλάτος Α₁ της δεύτερης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο πάνω ελατήριο) είναι:        

                                                     α. 4 cm,    β. 6 cm,    γ. 8 cm.

Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s². 

Απάντηση:

Κρούσεις - Επτά απορίες μαθητών

1.  {Κ} = {Ρ} --->  υ = ;

Μου δόθηκε η ερώτηση

«Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός σώματος ώστε η κινητική του ενέργεια και η ορμή του να έχουν ίδια αριθμητική τιμή;»

Και απάντησα ως εξής: 
¹⁄₂m υ·υ =  mυ  →  υ = 2 m/s

Όμως ο καθηγητής, στις οδηγίες που μας έδωσε, μας είπε να προσέξουμε, γιατί η σωστή λύση δεν περιλαμβάνει μόνο μια τιμή της ταχύτητας. Δεν μπορώ να βρω πού κάνω λάθος. Θα ήθελα να με διαφωτίσετε.

Απάντηση: