Αβαρής ράβδος και δύο σφαιρίδια σε σύνθετη κίνηση

Η κινητική ενέργεια του συστήματος «αβαρής ράβδος – σφαιρίδια», που κινείται με ταχύτητα 5 m/s και εκτελεί 1 περιστροφή το δευτερόλεπτο γύρω από το κέντρο μάζας του, είναι:

   α. 650 J,     

   β. 316,67 J,    

   γ.  350 J

Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε.

Τρεις κύλινδροι - Τρία διαφορετικά είδη κινήσεων

Τρεις παρόμοιοι συμπαγείς και ομογενείς κύλινδροι και ένα αβαρές σχοινί αποτελούν το σύστημα του σχήματος. Όταν κύλινδρος (3) κατεβαίνει, ο κύλινδρος (1) κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού και το σχοινί, χωρίς να ολισθαίνει, θέτει σε περιστροφή τον κύλινδρο (2). 

Αρχικά το σύστημα ηρεμεί. Με ποια ταχύτητα θα φτάσει ο κύλινδρος (3) στο έδαφος;

Θεωρείστε τη μάζα των συνδέσμων των κυλίνδρων (1) και(3) με το σχοινί αμελητέα.

Δίνεται για τους κυλίνδρους Ι_cm = MR²/2  και η επιτάχυνση βαρύτητας g. 

Πηγή: Giancoli, Physique mécanique, CEC, 1993, P 298

Απάντηση:

Ράβδος με διαφορετικές ταχύτητες στα άκρα της

Στο σχήμα φαίνονται, κάποια χρονική στιγμή t₁, οι ταχύτητες των άκρων μιας ομογενούς ράβδου η οποία κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το μήκος της ράβδου είναι 1 m και η μάζα της 3 kg.

Να βρείτε:

α. Την κινητική ενέργεια της ράβδου

β. Την ιδιοστροφορμή (σπιν) της ράβδου

Δίνεται για τη ράβδο:  Ι_cm = mL²/12.

Απάντηση:

Από την ταχύτητα ολίσθησης στην ταχύτητα κύλισης

Μια μπάλα, που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, δέχεται μια στιγμιαία ώθηση και ξεκινάει με ταχύτητα υ₀ = 2,1 m/s, χωρίς αρχικά να κυλίεται (που σημαίνει ότι αρχικά κινείται ολισθαίνοντας στο έδαφος).  Επειδή όμως η τριβή ολίσθησης ανάμεσα στην μπάλα και στο έδαφος ασκεί μια ροπή πάνω της, η μπάλα θα αρχίσει να περιστρέφεται και τελικά η γωνιακή της ταχύτητα θα πάρει τέτοια τιμή, ώστε η μπάλα θα πάψει να γλιστράει.

Με πόση ταχύτητα η μπάλα, τελικά, θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει;

Δίνεται για την μπάλα: I_cm = 2mR²/5

Απάντηση:

Κίνηση σφαίρας σε ημισφαίριο

Μια σφαίρα, μάζας m = 1 kg και ακτίνας r = 0,1 m συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερη (χωρίς να την σπρώξουμε).

α. Η σφαίρα κυλίεται στο κοίλο ημισφαιρικό δοχείο, ακτίνας R = 1,1 m, του σχήματος χωρίς να ολισθαίνει. Με πόση ταχύτητα διέρχεται από το χαμηλότερο σημείο Β του δοχείου;

β. Αν στη συνέχεια (μετά το σημείο Β) η εσωτερική επιφάνεια του δοχείου είναι λεία, να εξετάσετε, χωρίς υπολογισμούς:

i.  αν η σφαίρα θα φτάσει (κινούμενη στο λείο τμήμα του δοχείου) σε ύψος ίσο με εκείνο από το οποίο ξεκίνησε,

ii. αν, μετά την επιστροφή της στο σημείο Β, η σφαίρα θα επανέλθει στη θέση απ’ όπου την αφήσαμε.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι_cm = 4·10^-3 kg·m² και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s².

Απάντηση:

Ρυμούλκηση (Μια "εύκολη" και μια "εκκεντρική")

1. Ένα βαγόνι τραίνου (η … εύκολη)

Ένα βαγόνι τραίνου, φορτωμένο με αυτοκίνητα, έχει μάζα 6000 kg και ρυμουλκείται σε ένα λείο ανηφορικό δρόμο με κλίση 1:30 (ημθ = 1/30), με τη βοήθεια ενός σχοινιού, που τυλίγεται χωρίς να γλιστράει γύρω από ένα κυλινδρικό τύμπανο με διάμετρο 1 m και ροπή αδράνειας 200 kg·m².

Στο τύμπανο ενεργεί σταθερή ροπή τ = 3000 Ν·m και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, ο οποίος είναι ακλόνητα στερεωμένος, χωρίς τριβές, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.

2. Μια μαρμάρινη κυλινδρική κολώνα (η … εκκεντρική)

Στη δεύτερη αυτή άσκηση ρυμουλκείται, όπως φαίνεται στο σχήμα, μια ομογενής μαρμάρινη κυλινδρική κολώνα, όπως  πριν, με τις εξής αλλαγές και προσθήκες:

i. Ο δρόμος δεν είναι λείος και ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

ii. Η κολώνα έχει μάζα Μ = 6000 kg, ακτίνα R₁ = 0,5 m και ροπή αδράνειας Ι₁ = 750 kg·m², ως προς τον γεωμετρικό της άξονα.

Η δύναμη από το σχοινί ενεργεί στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου, κάθετα στον άξονα, και παράλληλα προς το δρόμο. Όλα τα άλλα μεγέθη είναι ίδια.