2. Άδειασμα δοχείου με μετατόπιση εμβόλου

Το ανοικτό κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο του σχήματος έχει ύψος h και είναι γεμάτο με νερό. Η βάση του είναι ένα αβαρές έμβολο με εμβαδόν 20 cm², που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Αρχικά, το έμβολο ισορροπεί με τη βοήθεια κατακόρυφης δύναμης F = 8 N. Αρχίζουμε να μετατοπίζουμε το έμβολο με σταθερή ταχύτητα, διαμορφώνοντας κατάλληλα το μέτρο της F.

Έμβολα και έργα

1. Εκτόξευση υγρού διαλύματος από σύριγγα

Μια υποδερμική σύριγγα είναι γεμάτη με ένα φαρμακευτικό διάλυμα το οποίο έχει πυκνότητα, πρακτικά, ίση με του νερού. Ο κύλινδρος της σύριγγας έχει μήκος L = 8 cm και εγκάρσια διατομή A₁ = 2,5·10^-4 m²_, ενώ η βελόνα Α₂ = 0,1·10^-4 m². Αν δεν ασκούμε δύναμη στο έμβολο, η πίεση παντού είναι ίση με Ρ_atm. Εφαρμόζουμε μια δύναμη F = 3,12 Ν κάθετα στο έμβολο με αποτέλεσμα το υγρό να εξέρχεται με ταχύτητα υ₂ από τη βελόνα. Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα υ₂ με την οποία εξέρχεται το διάλυμα από τη βελόνα.

Το ροόμετρο Venturi με μανόμετρο υδραργύρου και το απλό ροόμετρο Venturi

Στο ροόμετρο Venturi του σχήματος, που διααρρέεται από νερό, έχουμε προσαρμόσει ένα μανόμετρο υδραργύρου. Κάνοντας χρήση των δεδομένων που βλέπετε στο σχήμα, καθώς και ότι Δh = 8 cm, να υπολογίσετε:
α) Το W που προσφέρεται από το περιβάλλον ρευστό σε κάθε m³ νερού, για να μεταβεί από την περιοχή διατομής  Α₁, στη στενή περιοχή διατομής Α₂.

β) Την κινητική ενέργεια κάθε m³ νερού που διέρχεται από τη διατομή Α₁.

γ) Την κινητική ενέργεια κάθε m³ νερού που διέρχεται από τη διατομή Α2 του σωλήνα.

δ) Την παροχή του νερού στο σωλήνα.

Δίνεται ότι το νερό ειναι ασυμπίεστο και ότι η ροή του στο σωλήνα είναι στρωτή και χωρίς απώλειες ενέργειας λόγω φαινομένων τριβής.

4. Ταχύτητα μετατόπισης στάθμης υγρού σε δεξαμενή κι εκτόπιση αέρα

Στην κυλινδρική δεξαμενή του σχήματος, διαμέτρου D = 2m, εισάγεται νερό μέσω του σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3. Με τη βοήθεια αντλιών το νερό εισχωρεί με σταθερή ταχύτητα υ­­₁ = 8 m/s από τον σωλήνα 1 και εξέρχεται από τους σωλήνες 2 και 3 με σταθερές ταχύτητες υ₂ = 3,75 m/s και υ₃ = 4 m/s, αντίστοιχα. Ο σωλήνας 4 είναι ανοιχτός και μέσω αυτού επικοινωνεί ελεύθερα ο αέρας που βρίσκεται μέσα στο δοχείο με τον ατμοσφαιρικό. Οι εσωτερικές διάμετροι των σωλήνων είναι d₁ = 6 cm, d₂ = 4 cm, d₃ = 5 cm και d₄ = 4 cm. Το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη δεξαμενή είναι πάνω από τον σωλήνα 1 και η ροή του νερού είναι στρωτή.

 Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται η ελεύθερη στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή.

3. Αιώρηση επίπεδης πλάκας πάνω σε πίδακα νερού

Από κατακόρυφο σωλήνα διατομής Α₁ = 2 cm²  βγαίνει φλέβα νερού με ταχύτητα υ₁ = 10 m/s.

α) Ποια είναι η ταχύτητα της φλέβας σε α­πόσταση h = 1,8 m από την έξοδο στις δύο περιπτώσεις του σχήματος;

β) Ποιο είναι το εμβαδό της διατομής Α₂ της φλέβας σε απόσταση h από το στόμιο του σωλήνα στην κάθε περίπτωση;

γ) Πόσος όγκος νερού διέρχεται από τη διατομή Α₂ σε χρόνο ίσο με 1 sec σε κάθε περίπτωση;

δ) Πόση είναι η μάζα της υγρής στήλης ύψους h πάνω από το στόμιο του σωλήνα στην περίπτωση (α);

ε) Ένας ομογενής και ισοπαχής δίσκος μάζας m μπορεί να παραμείνει ακίνητος σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια του πίδακα νερού της περίπτωσης (α), ο οποίος προσπίπτει στην κεντρική περιοχή του δίσκου. Πόση είναι η μάζα m του δίσκου; Το νερό αμέσως μετά την πρόσπτωση στο δίσκο, διαχωρίζεται συμμετρικά προς όλες τις διευθύνσεις και κινείται εφαπτομενικά του δίσκου.

Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s² και η πυκνότητα ρ = 10³ kg/m³ = 1 kg/L του νερού. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα.

12. Υγρά σε ισορροπία. Ένα εύκολο αλλά πονηρό θέμα Β

Στο ανοικτό δοχείο περιέχονται δύο διαφορετικά μη αναμίξιμα υγρά Α και Β. Στη μια πλευρά του έχουν προσαρμοστεί δύο πιεσομετρητές (οι δύο σωλήνες Ι και ΙΙ που επικοινωνούν ο καθένας με το ένα από τα δύο υγρά). Οι αποστάσεις των δύο επιφανειών των υγρών από τη βάση του δοχείου είναι 2 m και 0,3 m Να υπολογίσετε

α) Το ύψος της στάθμης κάθε  υγρού μέσα στον αντίστοιχο σωλήνα.

β) Τη συνολική πίεση στον πυθμένα του δοχείου.

Δίνεται g = 10 m/s².

(Στο σχήμα οι στάθμες των υγρών στους δύο σωλήνες έχουν σχεδιαστεί εντελώς αυθαίρετα. Ως επίπεδο αναφοράς για τη μέτρηση των υψών θεωρείστε τον πυθμένα του δοχείου).

2. Εκροή από κλειστό δοχείο

Η κλειστή δεξαμενή του σχήματος έχει ύψος Η = 2m και περιέχει νερό μέχρι το ύψος h = 1,4 m και από εκεί και πάνω αέρα. Τα εμβαδά των καθέτων τομών των σωλήνων στα σημεία Α και Ο είναι αντίστοιχα S_A = 8 cm² και S_o = 2 cm².

H πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο είναι Ρ = 1,5·10 N/m² και η πυκνότητα του νερού ρ = 10³ kg/m³.

α) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άνοιγμα στο Ο.

β) Να βρεθεί το ύψος h₁ του νερού  στον ανοιχτό κατακόρυφο σωλήνα ΑΒ.

(Θεωρείστε αμελητέο το εμβαδό της διατομής στο Ο σε σχέση με το εμβαδό της επιφάνειας του υγρού στο κλειστό δοχείο).

γ)  Σιγά – σιγά η στάθμη του νερού στη δεξαμενή κατέρχεται και μετά πάροδο αρκετού χρόνου σταθεροποιείται σε ένα ύψος h₂. Να το υπολογίσετε.

δ) Να βρείτε την τελική τιμή της πίεσης του αέρα μέσα στο δοχείο. 

Δίνεται ότι: P_atm = 10⁵Ν/m² και g = 10 m/s² και ότι η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή.

ΟΔΗΓΙΑ  Στα ρευστά, ό,που έχω πιέσεις ή και ύψη εφαρμόζω νόμο Bernoulli, ό,που έχω διατομές εφαρμόζω νόμο συνέχειας. Σε σωλήνα με στάσιμο υγρό εφαρμόζω τη σχέση της υδροστατικής.  Αν ένα αέριο εκτονώνεται με σταθερή θερμοκρασία τότε ισχύει PV σταθ.