Περιοχές συμβολής επιφανειακών κυμάτων, η περίεργη ταλάντωση ενός φελλού και σημεία της επιφάνειας που την μιμούνται.

[Μια άσκηση που λύνεται  εύκολα αν στηριχτούμε στη λογική της σύνθεσης ταλαντώσεων και όχι στις γνωστές εξισώσεις συμβολής κυμάτων σε επιφάνεια υγρού.]

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁, Π₂ που αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t = 0 με εξισώσεις :

                          ψ₁ = ψ₂ = Aημ8πt,    (τα μεγέθη ψ και t στο S.I),

και παράγουν κύματα, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα υ=4 m/sec προς όλες τις διευθύνσεις της επιφάνειας του υγρού.

Υποθέτουμε ότι τα κύματα διαδίδονται χωρίς απώλεια ενέργειας. Καθώς, όμως, απλώνονται στην επιφάνεια, η ενέργεια που παρέχει η πηγή ανά περίοδο, μεταφέρεται από το κύμα και διαμοιράζεται συνεχώς σε σημεία όλο και μεγαλύτερων ομόκεντρων κύκλων και συνεπώς σε όλο και περισσότερα υλικά σημεία. Για αυτό, το πλάτος καθενός από τα κύματα μειώνεται με την απόσταση από τις πηγές.

Έστω ότι σε απόσταση 2,75 m  από κάθε πηγή το πλάτος ταλάντωσης, που κάθε σημείο υποχρεώνεται να κάνει, είναι ίσο με A₁ = 4 cm, ενώ σε απόσταση 3,25 m είναι ίσο με A₂ = 3,8 cm.

α. Να δικαιολογήσετε γιατί ένας φελλός, που βρίσκεται σε ένα σημείο Β στην επιφάνεια του υγρού σε απόσταση 3,25 m από τη μια πηγή και 2,75 m από την άλλη, θα ξεκινήσει τη στιγμή t₁ λίγο μετά την έναρξη ταλάντωσης των πηγών, θα κάνει μισή ταλάντωση με μηδενική αρχική φάση και πλάτος 4 cm κι ύστερα, από μια στιγμή t₂ και έπειτα, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση με αρχική φάση π και πλάτος 0,2 cm.

β. Να δείξετε, γραμμοσκιάζοντάς την, την περιοχή της επιφάνειας του υγρού όπου τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ έχουν συμβάλλει τα κύματα των δύο πηγών.

γ. Υπάρχουν και άλλα σημεία, που η κίνησή τους είναι πανομοιότυπη με αυτήν του Β. Πού βρίσκονται αυτά τη χρονική στιγμή t₂;

δ. Ποια σημεία της επιφάνειας του υγρού έχουν εκτελέσει περισσότερες ταλαντώσεις με πλάτος 0,2 m τη στιγμή t₂; 

 Απάντηση:

Αρμονικό κύμα: παρακολουθώντας την κίνηση μιας κορυφής

Kατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x΄x, έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α. Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x΄x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση του. Έτσι, τη στιγμή t = 0, στην αρχή αξόνων βρίσκεται η κορυφή που δείχνεται με το κατακόρυφο βέλος.

α) Αν η ταχύτητα με την οποία μετακινείται η κορυφή αυτή είναι υ = 1 m/sec και αν η μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Ο είναι 0,8π² m/sec², να βρείτε την εξίσωση του κύματος.

β) Σε ποια θέση βρίσκεται η παραπάνω κορυφή τη στιγμή που το σημείο Ο διέρχεται για έκτη φορά από τη θέση ισορροπίας του;

 (Τα παραπάνω στιγμιότυπα, για λόγους απλότητος, έχουν σχεδιαστεί σε ένα ορισμένο τμήμα του ελαστικού μέσου). 

Απάντηση:

Απώλεια ενέργειας ταλάντωσης σε μια ιδιαίτερη πλαστική κρούση. Ποσοτική και ποιοτική μελέτη

Δίνεται ο απλός αρμονικός ταλαντωτής του σχήματος: ένα σώμα Σ μάζας m, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, και ένα ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/m, που η μια του άκρη είναι δεμένη στο σώμα και η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη ακλόνητα.

Το σώμα Σ κινείται μεταξύ των θέσεων Α και Β με πλάτος Α.

Από ύψος h αφήνουμε να πέσει ένα κομμάτι πλαστελίνης μάζας m, το οποίο προσκολλάται στο σώμα που ταλαντώνεται.

I. Σε ποια από τις παρακάτω θέσεις πρέπει να γίνει η κρούση ώστε η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να είναι η μέγιστη δυνατή;

α. Σε μια ακραία θέση,    

β. Στη θέση ισορροπίας Ο,      

γ. Σε καμιά· η απώλεια μηχανικής ενέργειας είναι ίδια σε οποιαδήποτε θέση γίνει η κρούση.

ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Η χρονική διάρκεια της κρούσης να θεωρηθεί αμελητέα. 

Απάντηση: 

ΘΕΜΑ Β στις Α.Α.Τ. Απλό και «αναμενόμενο»

Ένα σώμα Σ μάζας m ισορροπεί δεμένο ανάμεσα σε δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k₁ και k₂, όπως στο σχήμα. Αν κόψουμε το πάνω ελατήριο, το σώμα αρχίζει να κινείται με επιτάχυνση μέτρου α_2,αρχ = 6 m/s² και εκτελεί μια α.α.τ. πλάτους Α₂.

Ι. Αν κόψουμε το κάτω ελατήριο αρχίζει να κινείται με αρχική επιτάχυνση α_1,αρχ που έχει μέτρο:

                                                   α. 2 m/s²,    β. 4 m/s²,    γ. 6 m/s²

ΙΙ. Αν είναι k₂ = 2k₁ και το πλάτος της πρώτης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο κάτω ελατήριο) είναι Α₂ = 6 cm, τότε το πλάτος Α₁ της δεύτερης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο πάνω ελατήριο) είναι:        

                                                     α. 4 cm,    β. 6 cm,    γ. 8 cm.

Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s². 

Απάντηση:

Κρούσεις - Επτά απορίες μαθητών

1.  {Κ} = {Ρ} --->  υ = ;

Μου δόθηκε η ερώτηση

«Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός σώματος ώστε η κινητική του ενέργεια και η ορμή του να έχουν ίδια αριθμητική τιμή;»

Και απάντησα ως εξής: 
¹⁄₂m υ·υ =  mυ  →  υ = 2 m/s

Όμως ο καθηγητής, στις οδηγίες που μας έδωσε, μας είπε να προσέξουμε, γιατί η σωστή λύση δεν περιλαμβάνει μόνο μια τιμή της ταχύτητας. Δεν μπορώ να βρω πού κάνω λάθος. Θα ήθελα να με διαφωτίσετε.

Απάντηση:

2. Με προβλημάτισε η λύση της παρακάτω άσκησης:

 «Ένας σκιέρ μάζας Μ, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε μια παγωμένη οριζόντια επιφάνεια κρατώντας μια μπάλα μάζας m. Κάποια στιγμή πετά οριζόντια τη μπάλα με ταχύτητα υ προς ένα κατακόρυφο τοίχο. Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο, αναπηδά και επιστρέφει στην αγκαλιά του σκιέρ. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του σκιέρ, αν αγνοήσουμε το πεδίο βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα;»

Η απάντηση στο βιβλίο είναι η εξής:

Εφαρμόζοντας δύο φορές την Α.Δ.Ο θα βρούμε την ταχύτητα του σκιέρ αμέσως μετά το πιάσιμο της μπάλας. Όταν πετάει την μπάλα προς τον τοίχο,

                                                               Μυ₁ = mυ                      (1)

Και όταν πιάνει την μπάλα κατά την επιστροφή  της,

                                             ( Μ + m)V₁ = Mυ₁ + mυ = 2mυ     (2)

                                                        V₁ = ^2mυ⁄_{m+M                    (3)}

Έχω την εξής απορία που αφορά στη σχέση (2). Γνωρίζω ότι η σύγκρουση της μπάλας με τον άνθρωπο είναι ανελαστική και για αυτό τα δύο σώματα θα αποκτήσουν την ίδια ταχύτητα. Δεν καταλαβαίνω όμως γιατί οι συγγραφείς  έχουν εξισώσει το ( Μ + m)V₁ με το 2mυ. Πώς προέκυψε το 2mυ!

Απάντηση:

3. Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Για εργασία στο σπίτι ο καθηγητής μας, μας έδωσε την εξής άσκηση:

Έστω ότι ένα υποθετικό τρένο μάζας m = 2 kg, φορτωμένο με ένα βαρύ σώμα μάζας Μ = 48 kg, κινείται ελεύθερα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ = 1m/s πάνω σε μια ευθύγραμμη σιδηρογραμμή. Ξαφνικά το σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς την πορεία του τρένου με ταχύτητα 0,5 m/s. Η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή και το άδειο τρένο συνεχίζει το ταξίδι του.

Ποια είναι η τελική ταχύτητα του τρένου μετά την εκτόξευση του σώματος;

Η λύση μου έχει ως εξής. Επειδή δεν ασκείται κάποια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης του τρένου, η ορμή του συστήματος (τρένο – φορτίο) κατά τη διεύθυνση αυτή διατηρείται,

                                                            (Μ+m)υ = mυ΄         (1)

                                                               υ΄ = (Μ+m)υ⁄_m

                                                                    υ΄ =  (48kg + 2kg)(1m/s)⁄2kg = 25 m/s

Επειδή η λύση μου φάνηκε αρκετά απλή είπα να βρω και κάτι άλλο. Σκέφτηκα να δω τι συμβαίνει με τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος. Γνωρίζω ότι εδώ η συνολική κινητική ενέργεια δεν διατηρείται (έχουμε κάτι σαν σχάση όπου η ενέργεια αυτή αυξάνεται). Πράγματι,  η ενέργεια αυτή πριν την αποβολή του σώματος ήταν 25 J, ((1/2)50·1²) ενώ μετά παίρνει την τιμή 631 J ( (1/2)2·25²+ (1/2)48·0,5²).

Όμως ένας συμμαθητής μου, πολύ καλός στη φυσική, σε επικοινωνία που είχα μαζί του, μου είπε ότι αυτός έχει βρει άλλη τιμή για την ταχύτητα του τρένου, που δε θέλησε να μου την πει. Αντί γι' αυτό μου είπε ότι,τελικά, το σύστημα έχει κινητική ενέργεια 600 J μικρότερη από αυτήν που έχω βρει.

Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Απάντηση: