Αξιοποιώντας την στροφορμή και την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής

Ο σφόνδυλος είναι μια μάζα, περιστρεφόμενη γύρω από ακλόνητο άξονα, η οποία μπορεί να αποθηκεύσει ενέργεια με μηχανικό τρόπο, υπό τη μορφή κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής. 

Σήμερα, συνδυάζεται με μια ηλεκτρική συσκευή, που μπορεί να λειτουργεί άλλοτε ως κινητήρας και άλλοτε ως γεννήτρια. Όταν η ηλεκτρική συσκευή λειτουργεί ως κινητήρας, θέτει σε περιστροφή τον σφόνδυλο και όσο πιο γρήγορα περιστρέφεται αυτός, τόσο περισσότερη ενέργεια αποθηκεύει. Ο σφόνδυλος, δηλαδή, λειτουργεί ως συσσωρευτής μηχανικής ενέργειας.

Συνδυαστική Μηχανικής Στερεού – Κρούσης - Ανακύκλωσης

Το σύστημα “ράβδος – σφαιρίδιο Σ₁” του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, κάθετο στο άκρο Ο της ράβδου. Η μάζα του Σ₁ είναι ίση με τα 2/3 της μάζας Μ της ράβδου, ενώ του Σ₂ είναι τετραπλάσια της μάζας της ράβδου.

Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα από την οριζόντια θέση. Όταν φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ₂ και ακινητοποιείται, ενώ το Σ₂, δεμένο στην άκρη ενός σχοινιού μήκους L/2,, αρχίζει να εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, με κέντρο το ακλόνητο άλλο άκρο του σχοινιού.

α. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική.

β. Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο Σ₂ δεν θα μπορέσει να εκτελέσει ανακύκλωση.

γ. Να προσδιορίσετε τη θέση όπου διακόπτεται η κυκλική κίνηση.

δ. Να βρείτε τη γραμμική επιτάχυνση, τη γωνιακή επιτάχυνση και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του Σ₂, στην παραπάνω θέση.

 Δίνονται: για τη ράβδο M = 1 kg, Ι_cm = (1/12)ML² και το μήκος της  L = 2 m, καθώς και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s².

Να θεωρήσετε ότι (√119)/12 = 0,9. 

Απάντηση:

Μια πλάγια ελαστική κρούση (από θέμα Ολυμπιάδας Φυσικής)

Δύο σφαίρες, ίσων μαζών, συγκρούονται ελαστικά. Αν υ₁, υ₂ και V₁ και V₂ είναι τα μέτρα των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση, αντίστοιχα, και φ η γωνία που σχημάτιζαν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων πριν την κρούση, να βρείτε τη γωνία θ που σχηματίζουν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων μετά την κρούση.

Εφαρμογή για φ = 30^ο,  υ₁ = 20 m/s,  υ₂ = 10 m/s, V₁ = 10√3 m/s.

Απάντηση:

Συνδυαστική ταλάντωσης με φαινόμενο Doppler

Το σώμα Σ, που περιέχει ένα μικρόφωνο συνδεμένο με μια συσκευή καταμέτρησης της συχνότητας του ήχου που συλλαμβάνει, είναι στερεωμένο στο κατώτερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο συγκρατείται  από την οροφή. Κάτω από το σώμα Σ, στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου, και σε απόσταση εκτός των ορίων της ταλάντωσής του, βρίσκεται μια ηχογόνος πηγή η οποία παράγει ήχο συχνότητας f_s = 1700 Hz. Θέτουμε το σώμα σε απλή αρμονική ταλάντωση και κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις:

• Η συσκευή καταμέτρησης της συχνότητας του ήχου  καταγράφει δύο ακραίες συχνότητες f_max και f_min  με διαφορά  f_max - f_min = 80 Hz.
• Κάποια χρονική στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης των χρόνων (t = 0),  ο δέκτης καταγράφει συχνότητα ήχου f_A = 1680 Ηz, η οποία ελαττώνεται συνεχώς μέχρι και τη χρονική στιγμή t₁. 

Σειρήνα τρένου και τούνελ, φαινόμενο Doppler - Προς την έξοδο ή την είσοδο;

(Μια παραλλαγή του προβλήματος 5.53 του σχολικού βιβλίου )

Δύο παιδιά βρίσκονται στο ίδιο σημείο στο εσωτερικό μιας σήραγγας τρένου.  Κάποια στιγμή ακούν τη σειρήνα ενός τρένου, που πλησιάζει με ταχύτητα υ_s = 30 m/sec. Τη στιγμή αυτή το τρένο βρίσκεται σε απόσταση ℓ από την είσοδο της σήραγγας, όσο είναι και το μήκος της. Τα παιδιά αντιλαμβάνονται ότι κινδυνεύουν αν το τρένο τα βρει μέσα στο τούνελ και, γι’ αυτό, αμέσως με το άκουσμα της έναρξης του ήχου της σειρήνας, τρέχουν αντίθετα μεταξύ τους με ίσες κατά μέτρο σταθερές ταχύτητες. Η θέση που βρίσκονταν, καθώς και το μέτρο της ταχύτητάς τους, έχουν τέτοια τιμή, ώστε και τα δυο παιδιά να προλάβουν να βγουν από τη σήραγγα, ακριβώς τη στιγμή που τα φτάνει το τρένο.  Η σειρήνα του τρένου παράγει ήχο συχνότητας 310 Hz για 15 sec.  Να βρείτε:

α. Τη συχνότητα του ήχου της σειρήνας, που ακούει κάθε παιδί.

β. Τη χρονική διάρκεια που κάθε παιδί εκτιμά ότι έχει ο ήχος της σειρήνας.

   Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ_Η = 340m/sec. 

Απάντηση:

Συνδυαστική κρούσης – Doppler

(Δύο εξισώσεις, τρεις άγνωστοι, ένας ζητείται)

Ένας ακίνητος παρατηρητής - ακροατής Π και δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ βρίσκονται στην ίδια ευθεία ενός οριζοντίου επιπέδου, πάνω στην οποία τα Σ₁ και Σ₂ μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές. Το σώμα Σ₂ είναι ανάμεσα στον παρατηρητή Π και στο σώμα Σ₁. Και τα δύο σώματα είναι εφοδιασμένα με ηχητικές πηγές, που εκπέμπουν ήχο ίδιας συχνότητας f_s = 600 Hz. Αρχικά, ο παρατηρητής ακούει δύο ήχους, από τους οποίους ο ένας έχει συχνότητα 600 Ηz και ο άλλος έχει συχνότητα 680 Ηz. Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται ελαστικά και κεντρικά και ο παρατηρητής ακούει ξανά δύο ήχους, από τους οποίους ο ένας έχει συχνότητα 1700/3 Hz.

Να βρείτε:

α. Ποιες είναι οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, πριν και μετά την κρούση τους.

β. Ποια άλλη συχνότητα θα ακούει, τελικά, ο παρατηρητής.

 (Δίνεται υ_Η = 340 m/s.)

Απάντηση:

Πού πήγε η ενέργεια που χάθηκε; (Απορία μαθητή)

Απορία μαθητή. Μου δόθηκε η εξής άσκηση:

Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Το μήκος της ράβδου είναι L και η μάζα της Μ. Σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m, ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή συχνότητα ω₀. Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι, λόγω αδράνειας, ωθούνται στα άκρα της ράβδου, όπου δεν υπάρχει κανένα εμπόδιο να τους συγκρατήσει κι έτσι πέφτουν στο έδαφος. Να υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος και την κινητική ενέργεια περιστροφής του, τη στιγμή που οι δύο δακτύλιοι φτάνουν στο τέλος της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι  I_ρ = ML²/12.

Γνωρίζω ότι πρέπει να χρησιμοποιήσω την αρχή διατήρησης στροφορμής:

                                         Ι₀ω₀ = Ι_τελω_τελ (=L) →  ω_τελ = Ι₀ω₀/Ι_τελ

Και επομένως: 

                                             ΔΚ_σροφ =  (1/2)Lω_τελ - (1/2)Lω₀ < 0,

δηλαδή, έχουμε απώλεια ενέργειας.

Έχω όμως τις εξής απορίες:

1. Δεν έχουμε εξωτερικές δυνάμεις και ροπές στο σύστημα. Γιατί παραβιάζεται εδώ η αρχή διατήρησης της ενέργειας:

                                                       (1/2)Ι₀ω₀² =  (1/2)Ι_τελω_τελ²

Απ’ όπου προκύπτει αποτέλεσμα:  ω_τελ = ω₀√( Ι₀/Ι_τελ) < ω₀  και ΔΚ = 0, εντελώς διαφορετικό; Πού πήγε η ενέργεια που χάθηκε;

2. Όταν οι δακτύλιοι φύγουν από τη ράβδο, η νέα της γωνιακή ταχύτητα θα υπολογιστεί από τη σχέση 

                                           Ι_ρ· ω_νεα = (Ι_ρ+ 2mL²/4) ω_τελ;

Απάντηση:

Είναι μια όμορφη απορία, που απ' την εμπειρία μου γνωρίζω ότι την έχουν και άλλοι μαθητές. 

Ας πάρουμε ένα-ένα τα ερωτήματα:

1. Δεν παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας!

Στην εξίσωσή σου  (1/2)Ι₀ω₀² =  (1/2)Ι_τελω_τελ²,  θεωρείς ότι το σύστημα, τόσο στην αρχική όσο και στην τελική του κατάσταση, έχει μόνο κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Όμως, υπάρχει και μια ποσότητα κινητικής ενέργειας  λόγω μεταφορικής κίνησης των δακτυλίων, καθώς αυτοί οδηγούνται, λόγω αδράνειας, προς τα άκρα της ράβδου. Οι δακτύλιοι, και περιστρέφονται και μετατοπίζονται, κι έτσι η συνολική τους ταχύτητα δεν είναι ίδια με την ταχύτητα των σημείων της ράβδου πάνω στα οποία εφάπτονται.

Πρέπει λοιπόν να διορθωθεί η προηγούμενη σχέση στην εξής

                                    (1/2)Ι₀ω₀² =  (1/2)Ι_τελω_τελ²+ 2(1/2)mυ_δ²    (1)

Όπου υ_δ είναι η ταχύτητα λόγω μεταφορικής κίνησης με την οποία φτάνουν οι δακτύλιοι στα άκρα της ράβδου.

Έτσι, στην εξίσωση (1) της Α.Δ.Μ.Ε υπάρχουν δύο άγνωστοι, το ω_τελ και η υ_δ και άρα, αφού το σύστημα είναι μονωμένο, πρέπει να καταφύγεις και σε μια άλλη αρχή διατήρησης, αυτή της Α.Δ.Σ   (Ι₀ω₀ = Ι_τελω_τελ), απ’ όπου άμεσα προκύπτει το ω_τελ. Ύστερα, από την εξίσωση (1), μπορείς να υπολογίσεις και την (ακτινική) ταχύτητα  με την οποία φτάνουν οι δακτύλιοι στα άκρα της ράβδου.

2.  Όχι. Όταν οι δακτύλιοι εγκαταλείψουν τη ράβδο, αυτή θα συνεχίσει να κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω_τελ, (ίση με αυτήν που είχε το σύστημα, τη στιγμή που οι δακτύλιοι έφταναν στα άκρα της ράβδου).

Η εξήγηση είναι απλή:  Μπορεί οι δακτύλιοι να εγκαταλείπουν τη ράβδο, κρατάνε ίδια όμως τη στροφορμή τους, αφού δεν δέχονται κάποια εξωτερική ροπή. Πρέπει όμως να κρατήσει ίδια τη στροφορμή της και η ράβδος, αφού το σύστημα είναι μονωμένο, και αυτό σημαίνει ότι δε θα αλλάξει η γωνιακή της ταχύτητα.  

Στη σχέση, που γράφεις, έχεις παραλείψει τη στροφορμή που έχουν οι δακτύλιοι όταν εγκαταλείψουν τη ράβδο. Πρέπει να διορθωθεί στην εξής:

                         Ι_ρ· ω_νεα + (2mL²/4) ω_τελ = (Ι_ρ+2mL²/4) ω_τελ 

Είναι φανερό ότι από αυτήν προκύπτει ω_νεα = ω_τελ.

 

Παρατήρηση: Υπόψη ότι, επειδή το σύστημα είναι μονωμένο, δεν συνεπάγεται ότι έχουμε και διατήρηση της μηχανικής του ενέργειας. Αυτό ισχύει μόνο αν οι δυνάμεις μέσα σε αυτό είναι συντηρητικές.  Υπάρχει, για παράδειγμα, η άσκηση 4.60 του σχολικού βιβλίου. Εκεί οι δακτύλιοι σταματάνε στα εμπόδια που υπάρχουν στα δύο άκρα της ράβδου. Είναι φανερό ότι στην άσκηση αυτή δεν ισχύει η Α.Δ.Μ.Ε, αφού οι δακτύλιοι συγκρούονται με τα εμπόδια και θεωρούμε ότι παραμένουν εκεί (πλαστική κρούση). Όλη η κινητική τους ενέργεια λόγω της ακτινικής τους ταχύτητας μετατρέπεται σε θερμική. Όταν όμως το σύστημα είναι μονωμένο, ισχύει πάντα η αρχή διατήρησης της στροφορμής του.