1ο ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ στις Απλές μηχανικές αρμονικές ταλαντώσεις

[Eξάσκηση στη χρήση των εξισώσεων των απλών αρμονικών ταλαντώσεων]

 (Τα πρώτα έξη από τα δέκα θέματα, που καλείστε παρακάτω να απαντήσετε, έχουν τη δυσκολία που συναντάμε στην κατηγορία “ΘΕΜΑ Β” των πανελληνίων. Τα υπόλοιπα τέσσερα μπορούν να θεωρηθούν ασκήσεις της κατηγορίας  “ΘΕΜΑ Γ”)

 Ένα απλό μοντέλο πυκνομέτρου (οργάνου μέτρησης της πυκνότητας των υγρών) μπορεί να κατασκευαστεί με τη βοήθεια ενός αριθμημένου ξύλινου χάρακα που στο ένα άκρο του έχουμε στερεώσει ένα μικρό βάρος. Έτσι ο χάρακας θα στέκεται κατακόρυφος όταν βυθίζεται μέσα σε ένα υγρό. Μετρώντας το βάθος όπου ισορροπεί ο χάρακας μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση για την πυκνότητα του υγρού.

Στο σχήμα φαίνονται οι ακραίες θέσεις μιας ταλάντωσης που κάνει ένα τέτοιο υδρόμετρο και η θέση ηρεμίας.

A. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι:

α. 5 mm,    β. 17 mm,     γ. 32 mm,    δ. 37 mm

B. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας είναι:

α. 0,032π m/s,  β. 0,017π m/s,  γ. 0.005π m/s,  δ. 0,037π m/s  

 Δείτε:

•  Ολόκληρο το διαγώνισμα
• Τις αναλυτικές απαντήσεις

ΤΡΕΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ της ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Η σχέση:

  ημΑ+ ημΒ = 2συν(Α/2+Β/2)ημ(Α/2-Β/2)

δε χρειάζεται μόνο στο διακρότημα!

Να ένα παράδειγμα:

Στο τέλος τριών διαδοχικών δευτερολέπτων οι απομακρύνσεις ενός υλικού σημείου, που εκτελεί α.α.τ., από τη θέση ισορροπίας του είναι +10 cm, -10 cm, +10 cm. Υπολογίστε την περίοδο της α.α.τ. (Θεωρείστε ότι στην αρχή μέτρησης των χρόνων το κινητό βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και κατευθύνεται προς τη θετική κατεύθυνση).

Δείτε όλη την ανάρτηση.

Α.Α.Τ., ENA TEST ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΒΡΕΙΤΕ ΤΟΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΩΣΤΕ ΝΑ ΑΝΤΙΣΤΡΑΦΕΙ Η ΣΧΕΣΗ: U/K = 3/1

Ένα κινητό εκτελεί  α.α.τ. περιόδου 1,2 sec. Να βρεθεί το ελάχιστο χρονικό διάστημα για τη μετάβασή του από τη θέση όπου U =3K στη θέση όπου U = K/3.

(Δοκιμάστε μόνοι (ες) σας να λύσετε την άσκηση. Αν θέλετε μπορείτε να κάνετε χρήση του διπλανού σχήματος και του 3ου μέρους της προηγούμενης ανάρτησης.  Στη συνέχεια δείτε την προτεινόμενη λύση της).

Α.Α.Τ.: ΜΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ, Ο ΚΥΚΛΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ (5o ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ) -

ΜΕΡΟΣ 1ο

(Η ΙΣΤΟΡΙΑ)

Ιστορική αναφορά για το ποιος πρώτος συσχέτισε την κυκλική κίνηση με την ταλάντωση δεν έχουμε. Σίγουρα θα έγιναν πολλές τέτοιες μεμονωμένες αντιστοιχήσεις κυκλικής κίνησης – ταλάντωσης, χωρίς όμως να καταγραφούν, αφού στο πολύ παρελθόν το “πάντρεμα” αυτών των δύο κινήσεων δεν παρουσίαζε κανένα πρακτικό ενδιαφέρον.

Θα μπορούσε, επομένως, η παρακάτω φανταστική ιστοριούλα, φτιαγμένη για να δοθεί έμφαση σε ότι θα ακολουθήσει, να είναι και αληθινή.

Συνέχεια ...

ΜΕΡΟΣ 2ο

ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.Υπολογισμός της αρχικής φάσης με τη βοήθεια του στρεφόμενου διανύσματος

Φανταστείτε τον κύκλο αναφοράς να ταυτίζεται με τον γνωστό σας τριγωνομετρικό κύκλο και θεωρείστε ότι στην περιφέρειά του κινείται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, αριστερόστροφα, ένα υλικό σημείο. Τότε η προβολή αυτής της κίνησης στην κατακόρυφη διάμετρο του κύκλου, ισοδυναμεί, όπως προαναφέραμε, με μια α.α.τ. Θεωρείστε, επίσης, την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική. Τότε, η αρχική φάση φ_ο αυτής της ταλάντωσης αντιστοιχεί στη γωνία (με αριστερόστροφη κατεύθυνση) μεταξύ του διανύσματος θέσης και του οριζόντιου θετικού ημιάξονα τη χρονική στιγμή t = 0.

Μερικά παραδείγματα:

ΜΕΡΟΣ 3ο

2. Υπολογισμός χρονικών διαστημάτων στην α.α.τ.

Ο υπολογισμός αυτός, με τη χρήση των εξισώσεων κίνησης, είναι πολλές φορές αρκετά δύσκολος. Η χρήση του κύκλου αναφοράς καθιστά πολύ εύκολο το σχετικό υπολογισμό.

1^ο Παράδειγμα . Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα, στη διάρκεια μιας περιόδου, κατά το οποίο η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη ή ίση της κινητικής.

Εύκολα προκύπτει* ότι η σχέση αυτή ανάμεσα στις ενέργειες της ταλάντωσης ισχύει όταν …

Συνέχεια …

ΠΡΟΣΕΧΩΣ ΜΕΣΑ ΣΤΟ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟ:

·     Α.Α.Τ.: Μια ιστορία, ο κύκλος αναφοράς και το στρεφόμενο διάνυσμα

 (Μέρος 1^ο)

·     Α.Α.Τ.: Μια ιστορία, ο κύκλος αναφοράς και το στρεφόμενο διάνυσμα

 (Μέρος 2^ο)

·     Α.Α.Τ.: Μια ιστορία, ο κύκλος αναφοράς και το στρεφόμενο διάνυσμα

 (Μέρος 3^ο)

Ø Α.Α.Τ.: Ένα test υπολογισμού χρόνου (με αναλυτική απάντηση)

·      Τρεις βασικές ταυτότητες  τριγωνομετρίας στην υπηρεσία της α.α.τ.

Ø     Τρίωρο διαγώνισμα δέκα θεμάτων (6+4)  στην απλή αρμονική

  ταλάντωση, (με αναλυτικές  απαντήσεις)

·       Τρεις σχέσεις “εργαλεία” για να “μαγειρέψετε”  τα αριθμητικά

   δεδομένα των πιο σύνθετων ασκήσεων στις α.α.τ.

Ø     To “test των επτά σχέσεων” (με αναλυτικές απαντήσεις)

• Κ.ά.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ = ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (4o ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ)

Ένα σώμα εκτελεί αατ πλάτους Α και γωνιακής συχνότητας ω. 

Α.  Σε ποιες θέσεις ισχύει:

Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης =  Κινητική  ενέργεια;

Β.  Ποιες είναι οι τιμές της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της δύναμης επαναφοράς στις θέσεις αυτές;

Απάντηση:

ΤΡΙΑ test ΣΤΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

1^ο test (15 min – πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση)

Η απομάκρυνση x ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από το πλαϊνό διάγραμμα. Η επιτάχυνση του σώματος και η ταχύτητά του έχουν αντίθετες κατευθύνσεις τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί:

α.  στο σημείο Α,    
β. στο σημείο Β,

γ.  στο σημείο Γ,    
δ. στο σημείο Δ. 

 Όλο το test ...(μαζί με τις απαντήσεις)   

2^ο test (15 min – πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση)

  Η ταχύτητα ενός αρμονικού ταλαντωτή, τη στιγμή που αυτή μεταβάλλεται με μέγιστο ρυθμό, είναι:

α.  μηδέν,     

β. υ_ο,     

γ. υ_o/√ 2 ,        

δ. δεν ορίζεται, υπάρχουν πολλές τιμές.

Όλο το test ... μαζί με τις απαντήσεις 

3^ο test (45 min)   

 Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. πλάτους 10 cm και περιόδου Τ. Κάποια στιγμή βρίσκεται σε μια από τις ακραίες θέσεις της τροχιάς του. Πόσο είναι το μέτρο της μετατόπισής του από τη θέση αυτή Τ/6 s αργότερα;
α. 5√ 2  cm,     

β. 5√ 3  cm,     

γ. 5 cm,     

δ. 10 cm.

Όλο το test ...     και οι   

Αναλυτικές απαντήσεις ...