Complete Test on Oscillations

Γενικό Διαγώνισμα στις Ταλαντώσεις (ΝΕΟ)

"Ισορροπημένο, προσιτό, δίκαιο – για κάθε μαθητή που έχει κατανοήσει σε βάθος το σχολικό βιβλίο. | Του συναδέλφου Αναστάσιου Νέζη"

ΘΕΜΑ Α

Α1.

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, χωρίς αρχική φάση, με περίοδο Τ και πλάτος Α, το διανυόμενο διάστημα σε χρόνο Δt = 7T/4 είναι:

• α) 3,5Α
• β) 7Α
• γ) 14Α
• δ) 17,5Α

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Η ταλάντωση δίνεται χωρίς αρχική φάση, άρα: x(t) = A·sin(ωt) Στην t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση x = 0 και κινείται προς τη θετική κατεύθυνση (υ > 0). Κάθε χρονικό διάστημα T/4 το σώμα: • περνά από ακραία θέση, • περνά από θέση ισορροπίας, • ξαναφτάνει σε ακραία θέση. Σε κάθε T/4 διανύει απόσταση Α. Άρα σε χρόνο 7T/4 θα διανύσει: 7 × A = 7A Σωστή απάντηση: β) 7Α

Α2.

Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι αντίρροπες, τότε η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης:

• α) αυξάνεται
• β) μειώνεται
• γ) παραμένει σταθερή
• δ) αυξάνεται αν και μειώνεται αν

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Στην ΑΑΤ η επιτάχυνση έχει πάντα κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας: a = -ω²x Η ταχύτητα έχει κατεύθυνση προς τη φορά της κίνησης. Για να είναι αντίρροπες: • το σώμα πρέπει να κινείται προς ακραία θέση, • δηλαδή η απόλυτη τιμή της θέσης |x| αυξάνεται. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι: U = ½ D x² Αν |x| αυξάνεται, τότε U αυξάνεται. Σωστή απάντηση: α) αυξάνεται

Α3.

Σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος τότε η συχνότητα της ταλάντωσής του:

• α) υποδιπλασιάζεται
• β) υποτετραπλασιάζεται
• γ) διπλασιάζεται
• δ) τετραπλασιάζεται

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Η συχνότητα της ΑΑΤ με ελατήριο είναι: f = (1 / 2π) √(k/m) Αν η μάζα τετραπλασιαστεί: m' = 4m Τότε: f' = (1 / 2π) √(k / 4m) = (1 / 2) (1 / 2π) √(k/m) = f / 2 Άρα η συχνότητα υποδιπλασιάζεται. Σωστή απάντηση: α) υποδιπλασιάζεται.

Α4.

Σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητάς του. Το αρχικό πλάτος είναι Α₀, μετά την 1η περίοδο Α₁, μετά τη 2η Α₂ και μετά την 3η Α₃. Η σχέση που συνδέει τα πλάτη είναι:

• α) Α1 = √(Α2·Α3)
• β) Α3 = √(Α1/Α2)
• γ) Α2 = √(Α1·Α3)
• δ) Α3 = √(Α2·Α1)

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Σε φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης F = -bυ, το πλάτος μειώνεται εκθετικά: A(t) = A₀ e^{-bt/2m} Για διαδοχικές περιόδους: A₁ = A₀ e^{-bT/2m} A₂ = A₀ e^{-2bT/2m} A₃ = A₀ e^{-3bT/2m} Άρα: A₂ / A₁ = A₃ / A₂ ⇒ A₂² = A₁·A₃ Σωστή απάντηση: γ) Α2 = √(Α1·Α3)

Α5.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστό ή Λάθος.

• α) Σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση η δυναμική ενέργεια γίνεται 5-πλάσια της κινητικής, 5 φορές σε κάθε περίοδο
• β) Σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων βρίσκεται σε συντονισμό. Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί, ενώ αν μειώσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί.
• γ) Αυξάνοντας την σταθερά απόσβεσης σε ένα σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων, η συχνότητα στην οποία παρατηρείται ο συντονισμός μειώνεται και το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό, επίσης μειώνεται.
• δ) Δύο σώματα ίσων μαζών κρέμονται μαζί από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος των δύο σωμάτων είναι D = k.
• ε) Σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης της μορφής F΄= -bυ, όπου υ η ταχύτητα του σώματος και b μια θετική σταθερά. Αν κάποια χρονική στιγμή μια θετική θέση είναι θέση ισορροπίας, τότε σε αυτή τη θέση το σώμα πρέπει να έχει αρνητική ταχύτητα.

Μονάδες 5

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

α) Λάθος
Η σχέση U = 5K συμβαίνει σε δύο θέσεις ανά περίοδο → συνολικά 4 φορές, όχι 5. β) Λάθος
Σε συντονισμό f_διεγ = f₀. Αν αυξήσουμε ή μειώσουμε τη συχνότητα, απομακρυνόμαστε από τον συντονισμό → το πλάτος μειώνεται και στις δύο περιπτώσεις. γ) Σωστό
Με μεγαλύτερη απόσβεση, η συχνότητα συντονισμού μειώνεται και το μέγιστο πλάτος επίσης μειώνεται. δ) Σωστό
Το σύστημα μάζες - ελατήριο έχει συνολική σταθερά επαναφοράς D = k. ε) Σωστό
Αν μια θετική θέση είναι θέση ισορροπίας, τότε η ταχύτητα πρέπει να είναι αρνητική ώστε το σώμα να επιστρέψει προς τη Θ.Ι. (ΣF = 0 → F_επαν + F_απόσβ = 0 → -Dx - bυ = 0 → υ = -(D/b)x)

ΘΕΜΑ Β

Β1.

Σώμα Σ, μάζας m, είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Στο πάνω μέρος του σώματος Σ δένουμε αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο –μέσω ιδανικής τροχαλίας– καταλήγει σε σώμα Σ₁, μάζας m₁ = m/2 (βλέπε Σχήμα 1). Κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ ξεκινά κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α₁.

Σε δεύτερο πείραμα, το άκρο του νήματος καταλήγει –μέσω ιδανικής τροχαλίας– σε σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 2m. Κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ ξεκινά κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α₂. Ο λόγος των πλατών Α₁/Α₂ είναι:

• i. 1/2
• ii. 1/4
• iii. 1/8

Μονάδες 2 + 6

Σχήμα 1: Διάταξη ελατηρίου – τροχαλίας – σωμάτων.

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Σχήμα 1: Αναλυτική απεικόνιση των δύο περιπτώσεων ισορροπίας.

Η διάταξη ισορροπεί πριν κοπεί το νήμα. Η θέση ισορροπίας του Σ είναι διαφορετική στις δύο περιπτώσεις, άρα όταν κόβεται το νήμα, το Σ ξεκινά την ΑΑΤ από διαφορετική ακραία θέση. Βήμα 1: Ισορροπία με Σ₁ (m₁ = m/2)
Το Σ₁ είναι ελαφρύτερο από το Σ. Άρα το Σ βρίσκεται κάτω από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου (το ελατήριο είναι συσπειρωμένο).
Η στατική θέση ισορροπίας είναι: k·x₁ = m·g − T₁ Από το αβαρές νήμα και την τροχαλία: T₁ = m₁·g = (m/2)·g Άρα: k·x₁ = m·g − (m/2)·g = (m/2)·g ⇒ x₁ = (m·g)/(2k) Βήμα 2: Ισορροπία με Σ₂ (m₂ = 2m)
Το Σ₂ είναι βαρύτερο από το Σ. Άρα το Σ βρίσκεται πάνω από το φυσικό μήκος του ελατηρίου (το ελατήριο είναι εκτατωμένο). T₂ = m₂·g = 2m·g Ισορροπία: k·x₂ = T₂ − m·g = 2m·g − m·g = m·g ⇒ x₂ = (m·g)/k Βήμα 3: Τα πλάτη της ΑΑΤ
Όταν κόβεται το νήμα, το Σ ξεκινά από τη στατική θέση ισορροπίας με υ = 0.
Άρα αυτή η θέση είναι ακραία θέση της ΑΑΤ. Πλάτος: A₁ = |Δℓ − x₁| A₂ = |Δℓ + x₂| Η κοινή θέση ισορροπίας του συστήματος ελατηρίου–Σ είναι: Δℓ = (m·g)/k Άρα: A₁ = |Δℓ − x₁| = |(m·g)/k - (m·g)/(2k)| = (m·g)/(2k) A₂ = |Δℓ + x₂| = |(m·g)/k + (m·g)/k| = 2(m·g)/k ⇒ A₁/A₂ = 1/4 Σωστή απάντηση: ii (1/4).

Β2.

Σώμα μάζας m₁ = 2m είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k. Πάνω στο σώμα m₁ τοποθετείται σώμα μάζας m₂ = m και το σύστημα ισορροπεί. Από ύψος h πάνω από το m₂ αφήνεται σώμα μάζας m₃ = 3m, το οποίο συγκρούεται ελαστικά και ακαριαία με το σύστημα m₁–m₂. Μετά την κρούση, το m₃ απομακρύνεται και το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ με D = k.

Να βρεθεί το μέγιστο ύψος h ώστε το m₂ να μην χάσει επαφή με το m₁.

• i. h = 3mg/2k
• ii. h = 3mg/k
• iii. h = mg/2k

Μονάδες 2 + 7

Σχήμα 2: Διάταξη ελατηρίου με m₁, m₂ και m₃.

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Βήμα 1: Ταχύτητα του m₃ πριν την κρούση
Το m₃ πέφτει από ύψος h: υ₃ = √(2gh) Βήμα 2: Ελαστική κρούση
Οι μάζες: m₃ = 3m
m₁ + m₂ = 2m + m = 3m Άρα οι μάζες είναι ίσες → στην ελαστική κρούση ανταλλάσσουν ταχύτητες. Μετά την κρούση: υ₃' = υ_συστ
υ_συστ' = υ₃ Άρα το σύστημα m₁+m₂ αποκτά ταχύτητα: V = √(2gh) Βήμα 3: Η ταχύτητα αυτή είναι η μέγιστη ταχύτητα της ΑΑΤ
Το σύστημα βρισκόταν στη θέση ισορροπίας πριν την κρούση.
Άρα μετά την κρούση, με υ = V, ξεκινά ΑΑΤ με: υ_max = V = √(2gh) Βήμα 4: Συνθήκη μη απώλειας επαφής
Το m₂ χάνει επαφή όταν η επιτάχυνση του συστήματος προς τα κάτω (άρα σε μια θέση πάνω από τη Θ.Ι) γίνει οριακά ίση με g. Αυτό σημαίνει ότι στη θέση αυτή σε κάθε σώμα ασκείται μία μόνο δύναμη, το βάρος του. Άρα, εκεί η δύναμη επαφής είναι μηδέν. Στη θέση όπου το m₂ τείνει να αποκολληθεί: a = -ω²x_απ = -g (θετική φορά προς τα πάνω) Άρα η θέση απώλειας επαφής είναι: x_απ = g/ω² = (m₁+m₂)g/k Με m₁+m₂ = 3m: x_απ = 3mg/k Βήμα 5: Το πλάτος της ΑΑΤ πρέπει να είναι ≤ x_απ
Πλάτος: A = υ_max / ω = √(2gh) / √(k/3m) Συνθήκη μη απώλειας επαφής: A ≤ x_απ ⇒ √(2gh) / √(k/3m) ≤ 3mg/k Λύνοντας ως προς h: h ≤ (3mg) / (2k) Σωστή απάντηση: i. h = 3mg/2k

Β3.

Στο Σχήμα 3 φαίνεται διάταξη συντονισμού. Ο διεγέρτης έχει συχνότητα f_δ που αυξάνεται σταδιακά. Παρατηρούμε ότι:

• Για f₁ και f₂ (με f₂ > f₁) το πλάτος είναι ίδιο: A₁ = A₂.
• Για f₃ και f₄ (με f₄ > f₃) το πλάτος είναι ίδιο: A₃ = A₄.
• Και A₃ > A₁.

Ποια σχέση ισχύει;

• i. f₂ − f₁ > f₄ − f₃
• ii. f₂ − f₁ = f₄ − f₃
• iii. f₂ − f₁ < f₄ − f₃

Μονάδες 2 + 6

Σχήμα 3: Διάταξη συντονισμού.

➤ Δείτε την αναλυτική λύση

Σχήμα 3: Διάγραμμα πλάτους-συχνότητας σε εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Το διάγραμμα πλάτους–συχνότητας σε εξαναγκασμένη ταλάντωση έχει χαρακτηριστική μορφή: • Το πλάτος αυξάνεται όσο πλησιάζουμε τη συχνότητα συντονισμού f₀.
• Το μέγιστο πλάτος εμφανίζεται στο f₀.
• Για ίσα πλάτη εκατέρωθεν του f₀, οι συχνότητες είναι συμμετρικές ως προς f₀. Δεδομένα: A₃ > A₁ Άρα οι συχνότητες f₃ και f₄ βρίσκονται πιο κοντά στο f₀ από ό,τι οι f₁ και f₂. Συνεπώς: • Το διάστημα f₄ − f₃ είναι μικρότερο
• Το διάστημα f₂ − f₁ είναι μεγαλύτερο Άρα: f₂ − f₁ > f₄ − f₃ Σωστή απάντηση: i.

ΘΕΜΑ Γ

Γ1.

Σώμα μάζας M = 2 kg είναι δεμένο σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m, πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ = 30°. Το ελατήριο είναι αρχικά συσπειρωμένο κατά d = 0,4 m από το φυσικό του μήκος. Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο και εκτελεί ΑΑΤ με D = k.

Να βρεθούν:
• το πλάτος της ταλάντωσης
• η ενέργεια της ταλάντωσης

Μονάδες 5

Σχήμα 4: Σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο.

➤ Αναλυτική λύση Γ1

Σχήμα 5: Σώμα στη θέση ισορροπιας του σε κεκλιμένο επίπεδο.

Η αρχική θέση είναι η κάτω ακραία θέση της ΑΑΤ, γιατί το σώμα αφήνεται με υ = 0. Βήμα 1: Θέση ισορροπίας
Στη θέση ισορροπίας το ελατήριο ισορροπεί με τη συνιστώσα του βάρους κατά μήκος του κεκλιμένου: k·x₁ = M·g·sinφ x₁ = (M·g·sinφ)/k = (2·10·0.5)/100 = 0.1 m Βήμα 2: Πλάτος
Η αρχική θέση είναι απόσταση d = 0.4 m κάτω από το ΦΜ. Το πλάτος είναι η απόσταση από την ακραία θέση μέχρι τη Θ.Ι.: A = |d − x₁| = |0.4 − 0.1| = 0.3 m Βήμα 3: Ενέργεια ταλάντωσης
E = ½ k A² = ½·(100 N/m)·(0.3m)² = 4.5 J

Γ2.

Όταν το σώμα περνά για 1η φορά από τη Θέση Ισορροπίας, να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής:
i. της κινητικής ενέργειας
ii. της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης
iii. της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
iv. της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου

Μονάδες 6

➤ Αναλυτική λύση Γ2

Στη Θ.Ι. έχουμε x = 0 (ως προς τη Θ.Ι.) και υ = υ_max. υ_max = ωA = √(k/M)·A = √(100/2)·0.3 = 5·√2·0.3 = 1.5√2 m/s i. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας
dK/dt = ΣF·υ = (−D·x)·υ = 0·υ = 0 ii. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης
U = ½ D x², K+U = E = σταθ.
Στη Θ.Ι. x = 0 → U = 0 και dU/dt = -dK/dt = 0 iii. Ρυθμός μεταβολής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
Το σώμα ανεβαίνει το κεκλιμένο → h αυξάνεται → U_g αυξάνεται. dU_g/dt = M·g·υ_y = M·g·υ·sinφ = 2·10·1.5√2·0.5 = 15√2 J/s iv. Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ελατηρίου
Στη Θ.Ι. το ελατήριο έχει παραμόρφωση x_eq = 0.1 m. Καθώς το σώμα ανεβαίνει, το ελατήριο εκτονώνεται → η U_el μειώνεται. dU_el/dt = -k·x·υ = -100·0.1·1.5√2 = −15√2 J/s

Γ3.

Όταν το σώμα περνά από το Φυσικό Μήκος του ελατηρίου, να βρεθεί η ταχύτητά του.

Μονάδες 4

➤ Αναλυτική λύση Γ3

Το ΦΜ απέχει από τη Θ.Ι. κατά x_eq = 0.1 m. Η δυναμική ενέργεια της ΑΑΤ στη θέση αυτή: U = ½ k x_eq² = ½·100·(0.1)² = 0.5 J Η συνολική ενέργεια είναι E = 4.5 J. Άρα: K = E − U = 4.5 − 0.5 = 4 J υ = √(2K/M) = √(8/2) = √4 = 2 m/s

Γ4.

Στη θέση ΦΜ το σώμα συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας m, που κινείται αντίρροπα με υ₂ = 4 m/s. Το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία. Να βρεθεί η μάζα m.

Μονάδες 4

➤ Αναλυτική λύση Γ4

Πριν την κρούση: υ₁ = 2 m/s (από το Γ3) Μετά την πλαστική κρούση: (M + m)·0 = M·υ₁ + m·(−υ₂) ⇒ 0 = 2·2 − m·4 m = (2·2)/4 = 1 kg

Γ5.

Το συσσωμάτωμα εκτελεί νέα ΑΑΤ με D = k. Να βρεθεί η συνάρτηση της ταχύτητας και η γραφική παράσταση για μία περίοδο.

Μονάδες 5

➤ Αναλυτική λύση Γ5

Σχήμα 5: Γραφική παράσταση ταχύτητας συσσωματώματος.

Η νέα μάζα είναι: M' = M + m = 2 + 1 = 3 kg Η θέση αυτή, το ΦΜ (εκεί ακινητοποιήθηκε), είναι η πάνω ακραία της νέας ταλάντωσης. Λόγω αλλαγής της μάζας, αλλάζει και η Θέση Ισορροπίας. Στη Νέα Θέση Ισορροπίας: k·x₂ = (m+M)·g·ημφ → x₂ = 0.15 m Επομένως το πλάτος της νέας ταλάντωσης θα είναι Α' = x₂ = 0.15 m. Νέα γωνιακή συχνότητα: ω' = √(k/M') = √(100/3) = (10√3)/3 rad/s Η ταχύτητα ΑΑΤ: υ(t) = 0.15·[(10√3)/3]·συν(ω't + π/2) υ(t) = (√3/2)·συν(ω't + π/2) m/s = −√3/2·ημ(ω't) Η γραφική παράσταση είναι ένα αρνητικό ημίτονο με πλάτος √3/2 m/s και περίοδο: T' = 2π/ω' = 2π/(10√3)/3 = π√3/5 s

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.

Δύο ιδανικά ελατήρια σταθερών k₁ = 300 N/m και k₂ = 100 N/m είναι στερεωμένα το ένα στο δάπεδο και το άλλο στην οροφή. Οι άξονές τους συμπίπτουν στην ίδια κατακόρυφο. Τα ελεύθερα άκρα τους απέχουν S = 0.2 m όταν έχουν το φυσικό τους μήκος. Σε αυτά δένουμε σώμα μάζας m = 6 kg, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αποδειχθεί ότι στη θέση ισορροπίας το ελατήριο k₂ δεν παραμορφώνεται.

Μονάδες 4

Σχήμα 6: Δύο κατακόρυφα ελατήρια.

➤ Αναλυτική λύση Δ1

Σχήμα 7: Στη θέση ισορροπίας το κάτω ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

Το σώμα ισορροπεί όταν η συνισταμένη των δυνάμεων των δύο ελατηρίων ισούται με το βάρος. Ας θεωρήσουμε ότι στερεώνουμε πρώτα το σώμα στο ελεύθερο κάτω άκρο του ελατηρίου με σταθερά k₁. Στη θέση όπου το σώμα θα ισορροπίσει, η παραμόρφωση του ελατηρίου υπολογίζεται από τη συνθήκη ισορροπίας: k₁·Δl₁ = m·g
Δl₁ = m·g/k₁
Δl₁ = 6·10/300 = 0.2 m Είναι φανερό ότι στη θέση αυτή το σώμα θα βρεθεί να ακουμπάει απλώς στο ελεύθερο άκρο του κάτω ελατηρίου χωρίς να το συμπιέζει. Για να διατηρηθεί η επαφή αρκεί να στερεωθεί μόνιμα και σε αυτό το άκρο, χωρίς καθόλου να επηρεαστεί η ισορροπία. Άρα το σώμα ισορροπεί στο ΦΜ του k₂ → το k₂ δεν παραμορφώνεται.

Δ2.

Από τη θέση ισορροπίας εκτρέπουμε το σώμα κατά d = 0.2 m προς τα πάνω και το αφήνουμε. Να αποδειχθεί ότι εκτελεί ΑΑΤ και να βρεθεί η συχνότητα.

Μονάδες 5

➤ Αναλυτική λύση Δ2

Σχήμα 8: Ανάλυση δυνάμεων για την απόδειξη ΑΑΤ.

Στη θέση ισορροπίας ισχύει: k₁·Δl₁ = m·g Σε μια τυχαία θέση, έστω κατά x πάνω από τη θέση ισορροπίας θα ισχύει: ΣF = k₁·(Δl₁ - x) - k₂·x - m·g
ΣF = k₁·Δl₁ - k₁·x - k₂·x - k₁·Δl₁
ΣF = −(k₁ + k₂)·x Άρα η κίνηση είναι ΑΑΤ με: D = k₁ + k₂ = 300 + 100 = 400 N/m και συχνότητα: f = (1/2π) √(D/m) = (1/2π) √(400/6) = 1.30 Hz

Δ3.

Να βρεθεί η εξίσωση της επιτάχυνσης και η γραφική παράσταση για t από 0 έως 2T.

Μονάδες 5

➤ Αναλυτική λύση Δ3

Σχήμα 9: Γραφική παράσταση επιτάχυνσης για t από 0 έως 2T.

Το σώμα αφήνεται από την άνω ακραία θέση: A = d = 0.2 m
φ₀ = π/2 ω = √(D/m) = √(400/6) = 8.16 rad/s Η επιτάχυνση: a(t) = −ω²·A·ημ(ωt + π/2)
= −(8.16)²·0.2·συν(8.16t)
= −13.3·συν(8.16t) m/s² Η γραφική παράσταση είναι ένα αρνητικό συνημίτονο με πλάτος 13.3 m/s² και περίοδο: T = 2π/ω = 0.77 s Ο χρόνος t = π√6/5 = 1.54 s που δίνεται στο πρόβλημα αντιστοιχεί σε δύο περιόδους.

Δ4.

Όταν το σώμα περνά από θέση με απομάκρυνση x' = +0.1 m κινούμενο προς τα κάτω, να βρεθούν:
i. η κινητική ενέργεια
ii. ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
iii. ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου k₁

Μονάδες 7

➤ Αναλυτική λύση Δ4

i. Κινητική ενέργεια
E = ½ D A² = ½·400·(0.2)² = 8 J U = ½ D·x'² = ½·400·(0.1)² = 2 J K = E − U = 6 J ii. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας
dK/dt = F·υ = (−D·x')·υ Το σώμα κινείται προς τα κάτω → υ < 0. K = ½ m·υ² → 6 = ½·6·υ² → υ = −√2 m/s dK/dt = −400·(+0.1)·(−√2) = +40√2 J/s (θετικό) iii. Ρυθμός μεταβολής U₁
Το k₁ έχει παραμόρφωση: Δl₁ = 0.2 − 0.1 = 0.1 m, η οποία (αφού το σώμα κινείται προς τα κάτω) θα γίνει πιο μεγάλη, συνεπώς η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι σε φάση ανάπτυξης (dU/dt > 0). Άρα: dU₁/dt = k₁·Δl₁·υ = 300·0.1·√2 = 30√2 J/s

Δ5.

Να βρεθεί η δύναμη του ελατηρίου k₂ ως συνάρτηση της απομάκρυνσης x και η γραφική παράσταση.

Μονάδες 4

➤ Αναλυτική λύση Δ5

Σχήμα 10: Γραφική παράσταση δύναμης ελατηρίου k₂ ως συνάρτηση της απομάκρυνσης.

Το ΦΜ του k₂ είναι η Θ.Ι. της ΑΑΤ. Άρα, σε τυχαία θέση απομάκρυνσης x θα είναι: F₂ = −k₂·x = −100·x Η γραφική παράσταση είναι ευθεία με αρνητική κλίση.

✍️ Εσείς πώς θα το λύνατε;

Αν βρήκατε διαφορετική προσέγγιση, εναλλακτική λύση ή κάποιο «λεπτό σημείο» του διαγωνίσματος, γράψτε το στα σχόλια. Συχνά μια διαφορετική οπτική φωτίζει καλύτερα τη φυσική ιδέα.

Κατεβάστε το διαγώνισμα

📄 Κατεβάστε το σε PDF 📝 Κατεβάστε το σε Word

Δημιουργία: Αναστάσιος Νέζης

http://nezistasos.com/

Επιμέλεια Ανάρτησης: Τάσος Τζανόπουλος

https://httpmyphysics.blogspot.com/