Τροχαλία και κουβάς

[Εφαρμογή της Α.Δ.Ε όταν ο κουβάς αφήνεται ελεύθερος να κατέβει.]

Χρησιμοποιήστε την αρχή διατήρησης της ενέργειας  για να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας που φαίνεται στο σχήμα, τη στιγμή που ο κάδος μάζας m = 3 kg έχει κατέλθει κατά h = 3 m, ξεκινώντας από την ηρεμία. Θεωρείστε αμελητέα τη μάζα του σχοινιού που είναι προσαρτημένο στον κάδο και τυλιγμένο πολλές φορές γύρω από την τροχαλία και ότι δεν γλιστρά καθώς ξετυλίγεται.

Η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς τριβές.

Δίνεται η μάζα Μ = 4 kg, η ακτίνα R = 0,6 m και η ροπή αδράνειας I = MR²/2 της  τροχαλίας καθώς και ότι η επιτάχυνση βαρύτητας ισούται με g = 10 m/s². 

Απάντηση:

Ένας ψύκτης νερού

Από ένα ψύκτη νερού εκτινάσσεται νερό σε ύψος h = 12 cm πάνω από ένα ακροφύσιο διαμέτρου D₂ =  0,60 cm. Η αντλία που βρίσκεται στη βάση της συσκευής (Η = 1,1 m κάτω από το ακροφύσιο) ωθεί το νερό σε σωλήνα τροφοδοσίας σταθερής διαμέτρου D₁ = 1,2 cm, που καταλήγει στο ακροφύσιο. 
α) Με πόση πίεση εισάγει η αντλία το νερό στο σωλήνα τροφοδοσίας; Δίνονται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s², η ατμοσφαιρική πίεση Ρ = 10⁵N/m² και η πυκνότητα του νερού ρ = 10³ kg/m³.

β) Μπορείτε με τα παραπάνω δεδομένα να υπολογίσετε την ισχύ της αντλίας του ψύκτη;
Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Να μη λάβετε υπόψη το ιξώδες του νερού και τις τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα.

Πηγή: PHYSICS

PRINCIPLES WITH APPLICATIONS

DOUGLAS C. GIANCOLI

              Απάντηση:

Ροή υγρού σε σωλήνα μεταβλητής διατομής και υψομετρική διαφορά

Νερό ρέει από τον οριζόντιο σωλήνα μεγαλύτερης διαμέτρου, ίσης με 20 cm, προς τον στενότερο σωλήνα διαμέτρου από 5 έως 10 cm. Το οριζόντιο τμήμα του στενότερου σωλήνα βρίσκεται 2 μέτρα υψηλότερα από τον φαρδύτερο, όπως στην εικόνα. Εάν το νερό ρέει στον μεγαλύτερο σωλήνα με ταχύτητα 4 m / s,

α) Με ποια ταχύτητα ρέει στον μικρότερο σωλήνα;

α) 2 m/s  

β) 8 m/s  

γ) 14m/s  

δ) 20  m/s

Επιλέξτε την επιτρεπτή τιμή της ζητούμενης ταχύτητας.

β) Αυξάνεται ή μειώνεται κατά την άνοδο του νερού ή στατική πίεση;

Φλέβα υγρού κυλινδρικής διατομής

[ Όπου τα μόρια ενός υγρού οδηγούνται ακτινικά προς ένα κέντρο απορροής– Ένα θέμα Β πρωτότυπο και απλό.]

Μια επίπεδη οριζόντια επιφάνεια έχει μια μικρή οπή στο κέντρο της. Μια κυκλική γυάλινη πλάκα ακτίνας R τοποθετείται συμμετρικά πάνω από την οπή με ένα μικρό διάκενο h να παραμένει μεταξύ της πλάκας και της επιφάνειας. Ένα υγρό εισέρχεται στο διάκενο συμμετρικά από όλες τις πλευρές και αφού ταξιδεύει ακτινικά διαμέσου του διακένου τελικά καταλήγει στην οπή απ’ όπου εξέρχεται. Η παροχή όγκου του υγρού που βγαίνει από την οπή είναι Π (σε m³/s).

α) Αν η ταχύτητα ροής ακριβώς κάτω από την περιφέρεια της κυκλικής πλάκας είναι υ₀,  να βρείτε  την ταχύτητα (V_x)  ροής μέσα στο διάκενο σε απόσταση x (βλέπε εικόνα) από το κέντρο της οπής.

β) Ποια σχέση συνδέει τη  V_x με τα μεγέθη Π, h και x;

Να θεωρήσετε τη ροή του υγρού προς την οπή, μόνιμη και στρωτή.

Απάντηση:

Προσθήκη νερού σε δοχείο με ολισθαίνον τοίχωμα

[Μια εφαρμογή που εκμεταλλεύεται τη δύναμη υγρού σε κατακόρυφο τοίχωμα]

Ένα μεγάλο δοχείο χωρίζεται σε δύο στεγανά τμήματα με ένα ολισθαίνον κατακόρυφο τοίχωμα ύψους Η. Κάθετα προς το τοίχωμα αυτό, στερεώνουμε το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, ενώ το άλλο άκρο του το συνδέουμε με το αριστερό τοίχωμα του δοχείου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το διαχωριστικό τοίχωμα μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή. Όταν το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, οι διαστάσεις του δαπέδου του δεξιού τμήματος είναι α x b, (b το πάχος του δοχείου, κάθετα στο χαρτί μας). Κάποια στιγμή αρχίζουμε να χύνουμε αργά - αργά νερό (πυκνότητας ρ) στο δεξιό διαμέρισμα.

α) Να βρείτε τη μέση υδροστατική πίεση στην επιφάνεια των τοιχωμάτων του δεξιού διαμερίσματος του δοχείου, σε συνάρτηση με το ύψος h του νερού.

β) Ποια είναι η μέγιστη ποσότητα νερού που μπορεί να αποθηκευτεί στο δεξιό διαμέρισμα, χωρίς να χυθεί νερό στο αριστερό; 

Απάντηση:

Ηλεκτρομαγνητική δύναμη μεταξύ παράλληλων κυκλικών βρόχων

[Όταν δύο κυκλικοί βρόχοι διαρρέονται από ρεύμα, είναι παράλληλοι και η απόσταση μεταξύ τους είναι πολύ μικρότερη της ακτίνας τους, μπορούμε να τους θεωρήσουμε, με προσέγγιση, ως δύο μακρά παράλληλα σύρματα. (Όπως, ακριβώς,  ένα μικροσκοπικό έντομο που κινείται πάνω στον ένα βρόχο βλέπει τον απέναντι βρόχο)].

Δύο κυκλικοί βρόχοι είναι παράλληλοι, ομοαξονικοί και σχεδόν σε επαφή. Η ακτίνα κάθε βρόχου είναι 10,0 cm. Ο κάτω βρόχος βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο και διαρρέεται από ένα αριστερόστροφο ρεύμα έντασης i = 140 A. Ο πάνω βρόχος διαρρέεται από δεξιόστροφο ρεύμα έντασης i = 140 A και συγκρατείται σε απόσταση 1,00 mm από τον κάτω.   

α) Υπολογίστε τη μαγνητική δύναμη (δύναμη Laplace) που ασκείται από τον κάτω βρόχο στον πάνω.

β) Ο ανώτερος βρόχος έχει μάζα 0,02 kg. Υπολογίστε την επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί αν τον αφήσουμε ελεύθερο, υποθέτοντας ότι οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτόν είναι μόνο η δύναμη Laplace  και η βαρυτική δύναμη.

γ) Χωρίς να αλλάξουμε την απόσταση των βρόχων και την ένταση του ρεύματος στον κάτω βρόχο, να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος του πάνω βρόχου, ώστε αν τον αφήσουμε ελεύθερο να παραμείνει ακίνητος.

Δίνεται g = 10 m/s².

Οδηγία: Δεδομένου ότι η απόσταση μεταξύ των δύο βρόχων είναι μικρή σε σχέση με την ακτίνα τους, θεωρείστε τους, με προσέγγιση, ως δύο μακρά παράλληλα ευθύγραμμα σύρματα.

Απάντηση:

Πώς “ζυγίζουμε” μια μαγνητική δύναμη!

 [Με ένα ζυγό μπορούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη ενός μαγνητικού πεδίου ή την έντασή του].

Όπως φαίνεται στο σχήμα, ένα ορθογώνιο αγώγιμο πλαίσιο είναι στερεωμένο στον δεξί δίσκο ενός ζυγού και ένα τμήμα του, το οποίο περιλαμβάνει την κάτω πλευρά του, βρίσκεται προσανατολισμένο κάθετα μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο. Το πλαίσιο αποτελείται από 100 σπείρες και η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι Β = 0,2 Τ. Αν ο διακόπτης δ είναι ανοικτός, πρέπει να προσθέσουμε μια μάζα Μ στον αριστερό δίσκο για να ισορροπήσει το βάρος του πλαίσιου. Όταν όμως κλείσουμε το διακόπτη δ, θα εμφανιστεί στις σπείρες του πλαισίου ρεύμα έντασης i = 10 A και από το μαγνητικό πεδίο θα ασκηθεί δύναμη στο πλαίσιο.

Για να διατηρήσουμε την ισορροπία πρέπει να προσθέσουμε μια επιπλέον μάζα m. Να υπολογίσετε τη μάζα m.

Δίνεται g = 10 m/s² και το πλάτος του πλαισίου ℓ = 2 cm. 

Απάντηση: