Head-On Collision: The Secret to Perfect Stopping Ability

🎯 3 Κρούσεις όπου η μία σφαίρα "παγώνει"

Ελαστικές μετωπικές κρούσεις σφαιρών χωρίς περιστροφή — Το Μυστικό για την Τέλεια Ακινητοποίηση!

⚡ Ελαστικές μετωπικές κρούσεις: Σε όλα τα παραδείγματα, η μία σφαίρα ακινητοποιείται μετά την κρούση (χωρίς περιστροφή)

📘 Άσκηση 1 Αντίρροπες

Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 4\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +12\text{ m/s}\). Στην πορεία της συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = \frac{8}{3}\text{ kg}\) που κινείται αντίρροπα με \(v_2 = -3\text{ m/s}\).

⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))

🔴 \(m_1\) \(= 4\text{ kg}\) 🔵 \(m_2\) \(= \frac{8}{3}\text{ kg}\) 🟢 \(v_1\) \(= +12\text{ m/s}\) 🟠 \(v_2\) \(= -3\text{ m/s}\)

🔍 Προβολή Λύσης

---

Αναλυτική Λύση:

Οι ταχύτητες μετά την ελαστική μετωπική κρούση δίνονται από τους τύπους:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} v_2$$ $$v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2$$

Υπολογισμός \(v_1'\):

$$v_1' = \frac{4 - \frac{8}{3}}{4 + \frac{8}{3}} \cdot (+12) + \frac{2 \cdot \frac{8}{3}}{4 + \frac{8}{3}} \cdot (-3) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot 12 + \frac{\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot (-3)$$ $$v_1' = \frac{4}{20} \cdot 12 - \frac{16}{20} \cdot 3 = \frac{48}{20} - \frac{48}{20} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$

Υπολογισμός \(v_2'\):

$$v_2' = \frac{2 \cdot 4}{\frac{20}{3}} \cdot (+12) + \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot (-3) = \frac{24}{20} \cdot 12 + \frac{12}{20} = \frac{288 + 12}{20} = \frac{300}{20} = \mathbf{+15\text{ m/s}}$$

📗 Άσκηση 2 Ομόρροπες

Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 3\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +10\text{ m/s}\) και συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = 5\text{ kg}\) που κινείται ομόρροπα με \(v_2 = +2\text{ m/s}\).

⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))

🔴 \(m_1\) \(= 3\text{ kg}\) 🔵 \(m_2\) \(= 5\text{ kg}\) 🟢 \(v_1\) \(= +10\text{ m/s}\) 🟠 \(v_2\) \(= +2\text{ m/s}\)

🔍 Προβολή Λύσης

---

Αναλυτική Λύση:

Έχουμε \(m_1 + m_2 = 8\text{ kg}\) και \(m_1 - m_2 = -2\text{ kg}\).

Υπολογισμός \(v_1'\):

$$v_1' = \frac{-2}{8} \cdot (+10) + \frac{2 \cdot 5}{8} \cdot (+2) = -\frac{20}{8} + \frac{20}{8} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$

Υπολογισμός \(v_2'\):

$$v_2' = \frac{2 \cdot 3}{8} \cdot (+10) + \frac{5 - 3}{8} \cdot (+2) = \frac{60}{8} + \frac{4}{8} = \frac{64}{8} = \mathbf{+8\text{ m/s}}$$

📕 Άσκηση 3 Ειδική Περίπτωση

Δύο λείες σφαίρες \(A\) και \(B\) με μάζες \(m_A\) και \(m_B\), που κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες \(v_A = 6\text{ m/s}\) και \(v_B = 1{,}5\text{ m/s}\) αντίστοιχα, συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά.

Α. Να βρείτε το λόγο \(\frac{m_A}{m_B}\) ώστε η σφαίρα \(A\) μετά τη σύγκρουση να ακινητοποιηθεί, αν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών:

• α. έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπες)
• β. έχουν αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπες)

Β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα της σφαίρας \(B\) και στις δύο περιπτώσεις.

💡 Ιδιαιτερότητα: Σε κάθε περίπτωση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη μετά την κρούση (\(v_A' = 0\))

🔴 \(v_A\) \(= 6\text{ m/s}\) 🔵 \(v_B\) \(= 1{,}5\text{ m/s}\) 🟢 Ζητούμενο Α \(\frac{m_A}{m_B}\) 🟠 Ζητούμενο Β \(v_B'\)

🔍 Προβολή Λύσης

---

Απάντηση:

Α. α. \(\frac{m_A}{m_B} = \mathbf{0{,}5}\)   |   Α. β. \(\frac{m_A}{m_B} = \mathbf{1{,}5}\)

Β. \(v_B' = \mathbf{+4{,}5\text{ m/s}}\) (ομόρροπες)   |   \(v_B' = \mathbf{+7{,}5\text{ m/s}}\) (αντίρροπες)

---

Αναλυτική Λύση:

Α. α. Ομόρροπες ταχύτητες

Επιλέγουμε θετική φορά τη φορά της \(v_A\) (της μεγαλύτερης ταχύτητας).

Οι αλγεβρικές τιμές των τελικών ταχυτήτων δίνονται από τις σχέσεις:

$$v_A' = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_A + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} v_B$$ $$v_B' = \frac{2 m_A}{m_A + m_B} v_A + \frac{m_B - m_A}{m_A + m_B} v_B$$

Για \(v_A' = 0\):

$$0 = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \cdot 6 + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} \cdot 1{,}5$$ $$0 = 6(m_A - m_B) + 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 6 m_B + 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 3 m_B$$ $$6 m_A = 3 m_B$$ $$\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{6} = \mathbf{0{,}5}$$

Υπολογισμός \(v_B'\):

$$v_B' = \frac{2 \cdot 0{,}5 m_B}{0{,}5 m_B + m_B} \cdot 6 + \frac{m_B - 0{,}5 m_B}{0{,}5 m_B + m_B} \cdot 1{,}5$$ $$v_B' = \frac{1 m_B}{1{,}5 m_B} \cdot 6 + \frac{0{,}5 m_B}{1{,}5 m_B} \cdot 1{,}5$$ $$v_B' = \frac{6}{1{,}5} + \frac{0{,}5 \cdot 1{,}5}{1{,}5} = 4 + 0{,}5 = \mathbf{+4{,}5\text{ m/s}}$$

---

Α. β. Αντίρροπες ταχύτητες

Επιλέγουμε θετική φορά τη φορά της \(v_A = +6\text{ m/s}\). Άρα \(v_B = -1{,}5\text{ m/s}\).

Οι αλγεβρικές τιμές των τελικών ταχυτήτων δίνονται από τις σχέσεις:

$$v_A' = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_A + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} v_B$$ $$v_B' = \frac{2 m_A}{m_A + m_B} v_A + \frac{m_B - m_A}{m_A + m_B} v_B$$

Για \(v_A' = 0\):

$$0 = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \cdot 6 + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} \cdot (-1{,}5)$$ $$0 = 6(m_A - m_B) - 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 6 m_B - 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 9 m_B$$ $$6 m_A = 9 m_B$$ $$\frac{m_A}{m_B} = \frac{9}{6} = \mathbf{1{,}5}$$

Υπολογισμός \(v_B'\):

$$v_B' = \frac{2 \cdot 1{,}5 m_B}{1{,}5 m_B + m_B} \cdot 6 + \frac{m_B - 1{,}5 m_B}{1{,}5 m_B + m_B} \cdot (-1{,}5)$$ $$v_B' = \frac{3 m_B}{2{,}5 m_B} \cdot 6 + \frac{-0{,}5 m_B}{2{,}5 m_B} \cdot (-1{,}5)$$ $$v_B' = \frac{18}{2{,}5} + \frac{0{,}75}{2{,}5} = 7{,}2 + 0{,}3 = \mathbf{+7{,}5\text{ m/s}}$$

---

📌 ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ! Στις παραπάνω σχέσεις οι ταχύτητες είναι όλες συγγραμμικές (πάνω στον άξονα που ενώνει τα κέντρα των σφαιρών). Είναι σχέσεις αλγεβρικών τιμών και όχι μέτρων. Γι' αυτό επιλέξαμε θετική φορά τη φορά της \(v_A\) (της μεγαλύτερης ταχύτητας).

📥 Κατεβάστε εδώ μεμονωμένα την άσκηση 3

✍️ Τάσος Τζανόπουλος

📥 Κατέβασε τις ασκήσεις σε μορφή αρχείου:

📄 Αρχείο Word 📑 Αρχείο PDF

📖 Ακίνητη σφαίρα μετά από κεντρική ελαστική κρούση 📖 Ακινητοποίηση σώματος, κατά την κρούση 🧮 Ελαστική κρούση τριών σωμάτων. Ολική μεταφορά. 🎓 Δέκα Απορίες Μαθητών στην Κρούση

✨ Όλες οι σφαίρες κινούνται χωρίς περιστροφή — Ελαστικές μετωπικές κρούσεις

The Geometry of Scattering and the Momentum Triangle

Η γεωμετρία της σκέδασης και το τρίγωνο των ορμών

Σχήμα 1 – Σκέδαση σωματιδίου Α υπό γωνία 90° από αρχικά ακίνητο σωματίδιο Β και το αντίστοιχο τρίγωνο ορμών

📘 Εκφώνηση

Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο, ώστε να περιλαμβάνει φαινόμενα όπου τα «συγκρουόμενα» σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Τα σωματίδια αλληλεπιδρούν με μεγάλες δυνάμεις όταν πλησιάσουν αρκετά, με αποτέλεσμα την απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Το φαινόμενο λέγεται σκέδαση.

Σωματίδιο Α με κινητική ενέργεια $K_0$ κινείται ευθύγραμμα και σκεδάζεται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση, όταν πλησιάσει αρκετά σε αρχικά ακίνητο σωματίδιο Β. Η μάζα του σωματιδίου Β είναι διπλάσια από τη μάζα του Α.

Α. Να προσδιορίσετε τη διεύθυνση κίνησης του σωματιδίου Β μετά την «κρούση».

Β. Να υπολογίσετε, σε συνάρτηση με την κινητική ενέργεια $K_0$, τις κινητικές ενέργειες των σωματιδίων Α και Β μετά την «κρούση».

🔍 Λύση

Δεδομένα

• Σωματίδιο Α: μάζα $m$, αρχική κινητική ενέργεια $K_0$.
• Σωματίδιο Β: μάζα $2m$, αρχικά ακίνητο ($K_B = 0$).
• Μετά τη σκέδαση, το Α κινείται υπό γωνία $90^\circ$ ως προς την αρχική του διεύθυνση.

Α. Διεύθυνση κίνησης του Β

Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής:

$$\vec{p}_0 = \vec{p}_A + \vec{p}_B$$

Επειδή $\vec{p}_0 \perp \vec{p}_A$, το τρίγωνο ορμών είναι ορθογώνιο. Έτσι, η ορμή του Β σχηματίζει γωνία $\theta$ με την αρχική διεύθυνση, όπου:

$$\tan\theta = \frac{p_A}{p_0} \quad \text{και} \quad p_B = \sqrt{p_0^2 + p_A^2}$$

Από την επίλυση των εξισώσεων (βλ. παρακάτω) προκύπτει:

$$\theta = 30^\circ$$

Συμπέρασμα: Το σωματίδιο Β κινείται υπό γωνία $30^\circ$ ως προς την αρχική διεύθυνση του Α.

Β. Κινητικές ενέργειες μετά την κρούση

Έστω $p_0$ η αρχική ορμή του Α, $p_A$ η ορμή του Α μετά και $p_B'$ η ορμή του Β μετά.

• $p_0 = \sqrt{2mK_0}$
• $p_A' = \sqrt{2mK_A}$
• $p_B' = \sqrt{2(2m)K_B} = \sqrt{4mK_B}$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ορμών:

$$p_B^2 = p_0^2 + p_A^2 \implies 4mK_B = 2mK_0 + 2mK_A \implies 2K_B = K_0 + K_A$$

Από τη διατήρηση της ενέργειας (ελαστική κρούση):

$$K_0 = K_A + K_B \implies K_B = K_0 - K_A$$

Αντικαθιστώντας:

$$2(K_0 - K_A) = K_0 + K_A \implies 2K_0 - 2K_A = K_0 + K_A \implies K_0 = 3K_A$$

$$K_A = \frac{K_0}{3}, \qquad K_B = \frac{2K_0}{3}$$

Επαλήθευση της γωνίας:

$$p_0 = \sqrt{2mK_0}, \quad p_B = \sqrt{4mK_B} = \sqrt{4m \cdot \frac{2K_0}{3}} = \sqrt{\frac{8mK_0}{3}}$$

$$\cos\theta = \frac{p_0}{p_B} = \frac{\sqrt{2mK_0}}{\sqrt{\frac{8mK_0}{3}}} = \sqrt{\frac{2mK_0 \cdot 3}{8mK_0}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ$$

💡 Σχόλιο

Η σκέδαση υπό γωνία $90^\circ$ οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο ορμών. Η σχέση των μαζών $m$ και $2m$ καθορίζει την κατανομή της κινητικής ενέργειας:

$$K_A = \frac{K_0}{3}, \qquad K_B = \frac{2K_0}{3}$$

Αυτό σημαίνει ότι το βαρύτερο σωματίδιο (Β) αποκτά τα 2/3 της αρχικής ενέργειας, ενώ το ελαφρύτερο (Α) διατηρεί το 1/3.

$$\cos\theta = \frac{p_0}{p_B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \rightarrow \theta = 30^\circ$$

💡Η άσκηση αποτελεί κλασικό παράδειγμα σκέδασης στον μικρόκοσμο και είναι θεμελιώδης για την επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων σκέδασης, όπως το φαινόμενο Compton .

Λήψη Word Λήψη PDF

Τάσος Τζανόπουλος

Τέλεια ανελαστική κρούση σε αλλαγή κεκλιμένου επιπέδου

[Η άσκηση αυτή αξιοποιεί μια πρωτότυπη ιδέα: η απότομη αλλαγή κεκλιμένου επιπέδου αντιμετωπίζεται ως τέλεια ανελαστική κρούση. Έτσι, η κίνηση μετατρέπεται τελικά σε ταλάντωση.]

  Ένα σώμα μάζας M=2kg αφήνεται από την ηρεμία στο σημείο A, στην κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 60^ο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Στο σημείο B η κλίση του επιπέδου μεταβάλλεται απότομα σε 30^ο. Το νέο κεκλιμένο επίπεδο είναι επίσης λείο και καταλήγει στο σημείο C. Οι οριζόντιες προβολές των τμημάτων AB και BC δίνονται στο σχήμα.

Στο σημείο C είναι στερεωμένο το κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100N/m, του οποίου ο άξονας είναι παράλληλος προς το επίπεδο BC. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι ℓ₀ = 3m. Το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου βρίσκεται αρχικά στη θέση φυσικού μήκους Δ πάνω στο επίπεδο BC.

Το σώμα κατέρχεται από το A, φτάνει στο B και, λόγω της απότομης μεταβολής της διεύθυνσης του επιπέδου, υφίσταται στιγμιαία πλήρως ανελαστική κρούση με το νέο επίπεδο, ..................................

Η συνέχεια και η λύση εδώ 

                                           ή  εδώ

Τέλεια ανελαστική κρούση σε λείο τοίχο

[Η απώλεια κινητικής ενέργειας σε μια τέλεια ανελαστική κρούση με λείο τοίχο εξαρτάται από τη διεύθυνση πρόσπτωσης]

 

Ένα σώμα μάζας 2 kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με κατεύθυνση προς έναν κατακόρυφο, λείο και ακλόνητο τοίχο. Προσπίπτει σε αυτόν υπό γωνία πρόσπτωσης 60^ο με ταχύτητα v = 10 m/s. Η κρούση είναι τέλεια ανελαστική, δηλαδή η συνιστώσα της ταχύτητας κάθετα στον τοίχο μηδενίζεται ακαριαία.

Να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα του σώματος αμέσως μετά την κρούση.

β. Η γωνία ανάκλασης (ως προς τον τοίχο) μετά την κρούση.

γ. Η απώλεια κινητικής ενέργειας του σώματος λόγω της κρούσης.

δ. Αν η κρούση διαρκεί Δt = 0,1 s, να υπολογιστεί η μέση δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα από τον τοίχο (κατεύθυνση και μέτρο).

Δείτε την άσκηση με τη λύση της  εδώ 

                                                   ή εδώ 

Πλαστική κρούση με ελάχιστη απώλεια ενέργειας

  [Όπου με κατάλληλη ταχύτητα του ενός σώματος έχουμε τις ελάχιστες δυνατές απώλειες ενέργειας]

Σώμα μάζας M = 1 kgr βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς  k  = 100 Ν/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα.

  Θέτουμε το σώμα σε α.α.τ. πλάτους  A₁ = 1 m.  Ένα βλήμα μάζας m = 0,08 kgr,  που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₁, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται  στη θέση x = -0,6 m, κινούμενο με ταχύτητα υ προς την αρνητική ακραία θέση. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κάνει α.α.τ. με πλάτος Α΄= 1,2 m. Να υπολογίσετε:

α)  Το μέτρο της κοινής ταχύτητας των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.

β)  Την ταχύτητα του βλήματος  (μέτρο – φορά) ώστε οι απώλειες ενέργειας να είναι οι ελάχιστες δυνατές.

γ To διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα από τη στιγμή του σχηματισμού του μέχρι τη στιγμή που η επιτάχυνσή του μηδενίζεται για πρώτη φορά.

δ) Την εξίσωση της κινητικής ενέργειας ταλάντωσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο αν ως αρχή χρόνων θεωρήσουμε τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση)

    Απ. α) 10 m/sec,   β) 35 m/s.  γ) 1,8 m,   Κ = 72συν² (50√3/9)  (S,I)

 Η Λύση της Ασκησης μέσα από ένα γόνιμο διάλογο εδώ:

Μια πλάγια ελαστική κρούση (από θέμα Ολυμπιάδας Φυσικής)

 

Δύο σφαίρες, ίσων μαζών, συγκρούονται ελαστικά. Αν υ₁, υ₂ και V₁ και V₂ είναι τα μέτρα των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση, αντίστοιχα, και φ η γωνία που σχημάτιζαν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων πριν την κρούση, να βρείτε τη γωνία θ που σχηματίζουν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων μετά την κρούση.

Εφαρμογή για φ = 30^ο,  υ₁ = 20 m/s,  υ₂ = 10 m/s, V₁ = 10√3 m/s.

Απάντηση:

 Σημείωση: Αλλες προτεινόμενες ασκήσεις με πλάγια κρούση, 

                                  εδώ,, εδώ ,  εδώ, και εδώ

Τρία μικρά σφαιρικά σώματα αφήνονται μέσα σε λείο ημισφαιρικό κύπελλο

Τρία μικρά σφαιρικά σώματα με μάζες που έχουν σχέση 3:4:5  (η μάζα του ελαφρύτερου σώματος είναι m) συγκρατούνται σε τρεις διαφορετικές θέσεις, στην εσωτερική επιφάνεια ενός λείου ημισφαιρικού κυπέλλου ακτίνας R. Το κύπελλο  είναι στερεωμένο πάνω σε οριζόντια επιφάνεια, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή τα τρία σώματα ελευθερώνονται.

α) Με δεδομένο ότι συγκρούονται πλαστικά, να προσδιορίσετε την αρχική διάταξη των τριών σωμάτων, ώστε να απελευθερωθεί το μέγιστο ποσό θερμότητας.

β) Πόσο είναι αυτό το ποσό θερμότητας;

Θεωρείστε τις ακτίνες των τριών σφαιρών αμελητέες σε σχέση με την ακτίνα του ημισφαιρικού κυπέλλου.  

Δίνονται: m = 0,15 kg, R = 0,6 m και g = 10 m/s².

 (Πηγή: SS Krotov, problems In Physics – διασκευή και απόδοση προσαρμοσμένη στις απαιτήσεις των Πανελληνίων: Τάσος Τζανόπουλος). 

Απάντηση:

Δέκα απορίες μαθητών στην κρούση

 1.  {Κ} = {Ρ} --->  υ = ;

Μου δόθηκε η ερώτηση

«Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός σώματος ώστε η κινητική του ενέργεια και η ορμή του να έχουν ίδια αριθμητική τιμή;»

Και απάντησα ως εξής: 
¹⁄₂m υ·υ =  mυ  →  υ = 2 m/s

Όμως ο καθηγητής, στις οδηγίες που μας έδωσε, μας είπε να προσέξουμε, γιατί η σωστή λύση δεν περιλαμβάνει μόνο μια τιμή της ταχύτητας. Δεν μπορώ να βρω πού κάνω λάθος. Θα ήθελα να με διαφωτίσετε.

Απάντηση:

2. Με προβλημάτισε η λύση της παρακάτω άσκησης:

 «Ένας σκιέρ μάζας Μ, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε μια παγωμένη οριζόντια επιφάνεια κρατώντας μια μπάλα μάζας m. Κάποια στιγμή πετά οριζόντια τη μπάλα με ταχύτητα υ προς ένα κατακόρυφο τοίχο. Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο, αναπηδά και επιστρέφει στην αγκαλιά του σκιέρ. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του σκιέρ, αν αγνοήσουμε το πεδίο βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα;»

Η απάντηση στο βιβλίο είναι η εξής:

Εφαρμόζοντας δύο φορές την Α.Δ.Ο θα βρούμε την ταχύτητα του σκιέρ αμέσως μετά το πιάσιμο της μπάλας. Όταν πετάει την μπάλα προς τον τοίχο,

                                                               Μυ₁ = mυ                      (1)

Και όταν πιάνει την μπάλα κατά την επιστροφή  της,

                                             ( Μ + m)V₁ = Mυ₁ + mυ = 2mυ     (2)

                                                        V₁ = ^2mυ⁄_{m+M                    (3)}

 Έχω την εξής απορία που αφορά στη σχέση (2). Γνωρίζω ότι η σύγκρουση της μπάλας με τον άνθρωπο είναι ανελαστική και για αυτό τα δύο σώματα θα αποκτήσουν κοινή ταχύτητα. Δεν καταλαβαίνω όμως γιατί οι συγγραφείς  έχουν εξισώσει το ( Μ + m)V₁ με το 2mυ. Πώς προέκυψε το 2mυ!

Απάντηση:

3. Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Για εργασία στο σπίτι ο καθηγητής μας, μας έδωσε την εξής άσκηση:

Έστω ότι ένα υποθετικό τρένο μάζας m = 2 kg, φορτωμένο με ένα βαρύ σώμα μάζας Μ = 48 kg, κινείται ελεύθερα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ = 1m/s πάνω σε μια ευθύγραμμη σιδηρογραμμή. Ξαφνικά το σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς την πορεία του τρένου με ταχύτητα 0,5 m/s. Η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή και το άδειο τρένο συνεχίζει το ταξίδι του.

Ποια είναι η τελική ταχύτητα υ΄ του τρένου μετά την εκτόξευση του σώματος;

Η λύση μου έχει ως εξής. Επειδή δεν ασκείται κάποια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης του τρένου, η ορμή του συστήματος (τρένο – φορτίο) κατά τη διεύθυνση αυτή διατηρείται,

                                                            (Μ+m)υ = mυ΄         (1)

                                                               υ΄ = (Μ+m)υ⁄_m

                                                                    υ΄ =  (48kg + 2kg)(1m/s)⁄2kg = 25 m/s

Επειδή η λύση μου φάνηκε αρκετά απλή είπα να βρω και κάτι άλλο. Σκέφτηκα να δω τι συμβαίνει με τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος. Γνωρίζω ότι εδώ η συνολική κινητική ενέργεια δεν διατηρείται (έχουμε κάτι σαν σχάση όπου η ενέργεια αυτή αυξάνεται). Πράγματι,  η ενέργεια αυτή πριν την αποβολή του σώματος ήταν 25 J, ((1/2)50·1²) ενώ μετά παίρνει την τιμή 631 J ( (1/2)2·25²+ (1/2)48·0,5²).

Όμως ένας συμμαθητής μου, πολύ καλός στη φυσική, σε επικοινωνία που είχα μαζί του, μου είπε ότι αυτός έχει βρει άλλη τιμή για την ταχύτητα του τρένου, που δε θέλησε να μου την πει. Αντί γι' αυτό μου είπε ότι,τελικά, το σύστημα έχει κινητική ενέργεια 600 J μικρότερη από αυτήν που έχω βρει.

Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος;

Απάντηση:

4. Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ορμής στο παρακάτω παράδειγμα;

 Θεωρείστε μέσα σε ένα ακίνητο βαγόνι τρένου δύο ελαστικές μπάλες Α και Β, που κινούνται οριζόντια με αντίθετες ορμές Ρ και -Ρ, αντίστοιχα. Κάποια στιγμή, η μπάλα Β που έχει ορμή -Ρ συγκρούεται  ελαστικά με το κατακόρυφο  τοίχωμα του βαγονιού και επιστρέφει με ορμή Ρ.  Πριν την κρούση η συνολική ορμή ήταν Ρ + (-Ρ) = 0, μετά είναι Ρ + Ρ = 2Ρ.

Δεν παραβιάζει αυτό την Αρχή διατήρησης της ορμής;

Απάντηση:

5. Γιατί δεν ισχύει ΔΚ = (ΔΡ)²/2m;

Όπως είναι γνωστό, η κινητική ενέργεια και η ορμή ενός σώματος συνδέονται με τη σχέση Κ = Ρ²/2m. Όμως στο παράδειγμα του διπλανού σχήματος, η μεταβολή ορμής είναι διαφορετική του μηδενός (2P), ενώ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με μηδέν.  Φαίνεται, δηλαδή, ότι δε συνδέονται με παρόμοια σχέση και οι μεταβολές αυτών των μεγεθών. Γιατί, όμως, δεν ισχύει ΔΚ = (ΔΡ)²/2m. 

Απάντηση:

6. Ένας πολύ μεγάλος αριθμός κρούσεων ανά sec και η πίεση που προκαλούν

Η παρακάτω ερώτηση πολλαπλής επιλογής έχει πέσει σε δημόσιες εξετάσεις εισαγωγής στην ανώτατη εκπαίδευση κάποιας μεγάλης χώρας.

Η μάζα ενός μορίου υδρογόνου είναι 3,32·10^-27 kg. Αν 10²³ μόρια υδρογόνου προσπίπτουν ανά sec σε μια λεία επίπεδη επιφάνεια 2 cm² υπό γωνία 45⁰ με ταχύτητα 10³ m/s και αναπηδούν ελαστικά, τότε η πίεση στην επιφάνεια είναι:

   α. 2,35·10² Ν/m²,   β.  2,35·10³ Ν/m²,   γ. 4,70·10³ Ν/m²  

Σκέφτηκα να βρω τη συνολική μεταβολή ορμής των μορίων και να διαιρέσω με το χρόνο 1s, δηλαδή, (dP₁+dP₂+dP₃+ … +dP_N)/(1 s), αλλά δε βρίσκω αυτή τη σκέψη σωστή, γιατί το πηλίκο αυτό μπορεί να σπάσει σε Ν κλάσματα με παρονομαστή 1 s και έτσι είναι σα να θεωρώ ότι κάθε μεταβολή διαρκεί 1 s. Κάθε τέτοια όμως μεταβολή διαρκεί όσο και η κρούση κάθε μορίου, δηλαδή απειροελάχιστο χρόνο. Έχω μπερδευτεί. 

Απάντηση: 

7. Ξεκίνησα με το θεώρημα έργου – ενέργειας και βρέθηκα σε αδιέξοδο.

Δοκίμασα να λύσω την παρακάτω άσκηση ελαστικής κρούσης:

Η μπάλα πετιέται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ­₀ από το σημείο Α του αριστερού τοιχώματος ενός φρεατίου και συγκρούεται ελαστικά με το απέναντι δεξί τοίχωμα. Τελικά πέφτει στη βάση του φρεατίου στο σημείο Β, που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α. Τριβές δεν υπάρχουν. ­ 

Η ερώτηση είναι, 

ποια από τις παρακάτω παραστάσεις 

       α. L√g/h   ,  β. L√2g/h   ,  γ. 2L√g/h   ,   δ. 2L√2g/h   

αντιστοιχεί στην αρχική ταχύτητα υ₀.

Ξεκίνησα με το θεώρημα έργου – ενέργειας και κατέληξα στη σχέση:

                                                          υ_Β² = υ₀² + 2gh

Εδώ σταμάτησα, δεν μπορώ να προχωρήσω άλλο. Δεν ξέρω πώς να χρησιμοποιήσω το L για να απαλλαγώ από την τελική ταχύτητα υ_Β.

Απάντηση:  

8.  Μια κεντρική κρούση όπου υ₁ ≤ υ/2 

Απορία μαθητή

Μου δόθηκε η εξής ερώτηση:

Θεωρείστε δύο λεία σφαιρικά σώματα Σ₁ και Σ₂ με ίσες μάζες. Το Σ₂ είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Σ₁ κινείται πάνω στο επίπεδο αυτό και πλησιάζει το Σ₂ με ταχύτητα υ. Υποθέστε ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα, οι οποίες είναι συγγραμμικές με την υ και έχουν την ίδια φορά με αυτήν.

Να δείξετε ότι υ₁ ≤ υ/2 .

     Να πώς σκέφτηκα: Αφού όλες οι ταχύτητες είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά, μπορώ να υποθέσω ότι  υ ≥0, υ₁≥0, υ₂≥0.

    Εφαρμόζω Α.Δ.Ο:                    mυ = mυ₁ + mυ₂ 

                                                     →   υ = υ₁ + υ₂              (1)

   Στη συνέχεια όμως μπερδεύομαι και δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα αποδείξω αυτό που μου ζητούν. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η κρούση είναι κεντρική, δεν δίνεται όμως καμιά άλλη πληροφορία. Γνωρίζω ότι η τιμή των τελικών ταχυτήτων  διαμορφώνεται ανάλογα με το είδος της κρούσης. Έτσι, αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ότι υ = 10 m/s και υ₂ = 4 m/s, τότε από την παραπάνω σχέση  της Α.Δ.Ο. προκύπτει ότι υ₁ = 6 m/s, οπότε δεν έχουμε  υ₁ ≤ υ/2.  (Σε αυτήν την περίπτωση, βέβαια, το Σ₁ πρέπει να περάσει μέσα από το Σ₂, αλλά από την εκφώνηση δεν προκύπτει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο).

Κάνω κάπου λάθος; Μου έχουν πει ότι η παραπάνω ερώτηση έχει μια πολύ εύκολη απάντηση.

Θα χαρώ πολύ αν μου δώσετε τα φώτα σας.

Νίκος Τ.

Απάντηση:  

9. Ελαστική κρούση τριών σωμάτων. Ολική μεταφορά.

Είναι γνωστό ότι στην περίπτωση της ελαστικής κρούσης του διπλανού σχήματος, η κινητική ενέργεια του σώματος Α θα μεταφερθεί, τελικά, μέσω του Β, στο Γ. Υπάρχει άλλη περίπτωση ελαστικής κρούσης τριών σωμάτων, όπου τελικά έχουμε ολική μεταφοράς της κινητικής ενέργειας σε ένα μόνο από αυτά;

Η απάντηση του καθηγητού μου είναι, ΝΑΙ, και όχι μόνο μια, αλλά άπειρες! Μου δίνετε ένα παράδειγμα παρακαλώ;

Απάντηση:

10. “ Όταν οι πάγοι λιώνουν”

Στο παρακάτω πρόβλημα δεν δυσκολεύτηκα στο μέρος Ι. Θα ήθελα όμως μια λύση για το ΙΙ. Οι απαντήσεις μου δεν συμφωνούν με τις απαντήσεις του βιβλίου μου. 

Ένα ανοικτό μικρό βαγόνι κινείται με ταχύτητα υ, χωρίς τριβές και χωρίς αντίσταση από τον αέρα, πάνω στις ράγες μιας ευθύγραμμης σιδηροδρομικής γραμμής. Κάποια στιγμή, καθώς διέρχεται κάτω από μια γέφυρα, αφήνονται από αυτήν να πέσουν κατακόρυφα πάνω στο βαγόνι ένας αριθμός από παγοκολόνες (ίσως ένας έξυπνος τρόπος να φορτώσουμε γρήγορα και με λιγότερο κόπο το βαγόνι). Η κρούση είναι πλαστική.

Ι. Θεωρείστε το σύστημα «βαγόνι - παγοκολόνες». Τι συμβαίνει στις παρακάτω ποσότητες αυτού του συστήματος, καθώς οι παγοκολόνες “φορτώνονται” στο βαγόνι;

α. Στην οριζόντια ορμή του,

β. στην ταχύτητά του,

γ. στην κινητική του ενέργεια.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.