Ισορροπία και θεώρημα Torricelli

    

Μια ομογενής σφαίρα ακτίνας R περιέχει νερό μέχρις ύψους R/2 πάνω από την οριζόντια διάμετρό της, σε μια θέση της οποίας υπάρχει ένα κλειστό βρυσάκι. Η συνολική μάζα σφαίρας – νερού είναι Μ = 10 kg. Η σφαίρα υποστηρίζεται από δύο αμελητέου βάρους κατακορύφους ράβδους μήκους L = 4R που στερεώνονται στο δάπεδο με αρθρώσεις, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Οι δύο ράβδοι βρίσκονται σε απόσταση d = R√3 και συνδέονται με σχοινί σε ύψος h = d. Δεν υπάρχει τριβή μεταξύ της σφαίρας και των ράβδων και το σύστημα ισορροπεί.

α. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ενεργούν πάνω στη σφαίρα και βρείτε το μέγεθος της δύναμης που κάθε ράβδος ασκεί στη σφαίρα.

β. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ενεργούν στη μια από τις δύο ράβδους και υπολογίστε την τάση Τ του σχοινιού.

γ. Να βρείτε την οριζόντια και την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται κάθε ράβδος από την άρθρωσή της στη βάση.

 δ. Αφαιρούμε το κάλυμμα από το πάνω μέρος της σφαίρας και ανοίγουμε το βρυσάκι, οπότε το νερό εκτινάσσεται με μορφή πίδακος. Σε απόσταση s = 1,5R πάνω στο έδαφος υπάρχει ένα μικρό δοχείο. Κάποια στιγμή το νερό του πίδακα αρχίζει να εισχωρεί μέσα στο δοχείο. Να βρείτε τότε το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στη σφαίρα.

Δίνεται : g = 10 m/s², συν30^ο = 0,87 

Απάντηση σε pdf: 
Απάντηση σε word

Μετρώντας την πυκνότητα ενός υγρού με ανεστραμμένο σωλήνα σχήματος U

Τα ανοικτά σκέλη ενός σωλήνα σχήματος U είναι γυρισμένα προς τα κάτω και βυθισμένα σε δύο δοχεία Α και Β. Το Α περιέχει νερό και το Β κάποιο άγνωστο υγρό. Η πυκνότητα του νερού είναι 1g /cm³. Αντλούμε μια ποσότητα αέρα από το άνοιγμα Γ και κατόπιν το κλείνουμε με τη βοήθεια της βαλβίδας β. Ως αποτέλεσμα αυτού, στον σωλήνα Α εισχωρεί νερό σε ύψος 10 cm πάνω από την ελεύθερη στάθμη του και στον σωλήνα Β υγρό σε ύψος 12 cm πάνω από την ελεύθερη στάθμη του.

Να εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων:

α. Η πυκνότητα του υγρού στο δοχείο Β είναι 0,83 g / cm³.

β. Εάν επαναλάβουμε το πείραμα με τη στάθμη του υγρού στο ένα δοχείο σε διαφορετικό ύψος από το ύψος της στάθμης του άλλου και αφαιρέσουμε ποσότητα αέρα, ο λόγος των υψών των υγρών στα δύο σκέλη του σωλήνα θα παραμείνει 5:6.

γ. Το υγρό στο δοχείο Β έχει πυκνότητα 1,2 g / cm³. 

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:

Νερό σε δεξαμενή μαζί με αέρα υπό πίεση

Το σχήμα δείχνει μια μεγάλη κλειστή κυλινδρική δεξαμενή που περιέχει νερό. Αρχικά, ο αέρας που παγιδεύεται πάνω από την επιφάνεια του νερού έχει ύψος h_o και πίεση 2p_o, όπου p_o είναι η ατμοσφαιρική πίεση. Ένας μακρύς κατακόρυφος σωλήνας περιέχει νερό σε ύψος h₂ πάνω από το επίπεδο καπάκι της δεξαμενής, που επικοινωνεί με το νερό της δεξαμενής.

α. Να βρείτε το ύψος h₂ του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα  

β. Ανοίγουμε μια τρύπα στα τοιχώματα της δεξαμενής σε βάθος h₁ κάτω από το καπάκι. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από την τρύπα.

γ. Σε ποιο ύψος θα σταθεροποιηθεί η στάθμη του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα, όταν σταματήσει η ροή του από την τρύπα;

 (Τα μεγέθη Ρ_ο , h_o­, h₁, η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυνση βαρύτητας g θεωρούνται γνωστά).

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word

Ένας ψύκτης νερού

Από ένα ψύκτη νερού εκτινάσσεται νερό σε ύψος h = 12 cm πάνω από ένα ακροφύσιο διαμέτρου D₂ =  0,60 cm. Η αντλία που βρίσκεται στη βάση της συσκευής (Η = 1,1 m κάτω από το ακροφύσιο) ωθεί το νερό σε σωλήνα τροφοδοσίας σταθερής διαμέτρου D₁ = 1,2 cm, που καταλήγει στο ακροφύσιο. 
α) Με πόση πίεση εισάγει η αντλία το νερό στο σωλήνα τροφοδοσίας; Δίνονται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s², η ατμοσφαιρική πίεση Ρ = 10⁵N/m² και η πυκνότητα του νερού ρ = 10³ kg/m³.

β) Μπορείτε με τα παραπάνω δεδομένα να υπολογίσετε την ισχύ της αντλίας του ψύκτη;
Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Να μη λάβετε υπόψη το ιξώδες του νερού και τις τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα.

Πηγή: PHYSICS

PRINCIPLES WITH APPLICATIONS

DOUGLAS C. GIANCOLI

              Απάντηση:

Ροή υγρού σε σωλήνα μεταβλητής διατομής και υψομετρική διαφορά

Νερό ρέει από τον οριζόντιο σωλήνα μεγαλύτερης διαμέτρου, ίσης με 20 cm, προς τον στενότερο σωλήνα διαμέτρου από 5 έως 10 cm. Το οριζόντιο τμήμα του στενότερου σωλήνα βρίσκεται 2 μέτρα υψηλότερα από τον φαρδύτερο, όπως στην εικόνα. Εάν το νερό ρέει στον μεγαλύτερο σωλήνα με ταχύτητα 4 m / s,

α) Με ποια ταχύτητα ρέει στον μικρότερο σωλήνα;

α) 2 m/s  

β) 8 m/s  

γ) 14m/s  

δ) 20  m/s

Επιλέξτε την επιτρεπτή τιμή της ζητούμενης ταχύτητας.

β) Αυξάνεται ή μειώνεται κατά την άνοδο του νερού ή στατική πίεση;

Φλέβα υγρού κυλινδρικής διατομής

[ Όπου τα μόρια ενός υγρού οδηγούνται ακτινικά προς ένα κέντρο απορροής– Ένα θέμα Β πρωτότυπο και απλό.]

Μια επίπεδη οριζόντια επιφάνεια έχει μια μικρή οπή στο κέντρο της. Μια κυκλική γυάλινη πλάκα ακτίνας R τοποθετείται συμμετρικά πάνω από την οπή με ένα μικρό διάκενο h να παραμένει μεταξύ της πλάκας και της επιφάνειας. Ένα υγρό εισέρχεται στο διάκενο συμμετρικά από όλες τις πλευρές και αφού ταξιδεύει ακτινικά διαμέσου του διακένου τελικά καταλήγει στην οπή απ’ όπου εξέρχεται. Η παροχή όγκου του υγρού που βγαίνει από την οπή είναι Π (σε m³/s).

α) Αν η ταχύτητα ροής ακριβώς κάτω από την περιφέρεια της κυκλικής πλάκας είναι υ₀,  να βρείτε  την ταχύτητα (V_x)  ροής μέσα στο διάκενο σε απόσταση x (βλέπε εικόνα) από το κέντρο της οπής.

β) Ποια σχέση συνδέει τη  V_x με τα μεγέθη Π, h και x;

Να θεωρήσετε τη ροή του υγρού προς την οπή, μόνιμη και στρωτή.

Απάντηση:

Προσθήκη νερού σε δοχείο με ολισθαίνον τοίχωμα

[Μια εφαρμογή που εκμεταλλεύεται τη δύναμη υγρού σε κατακόρυφο τοίχωμα]

Ένα μεγάλο δοχείο χωρίζεται σε δύο στεγανά τμήματα με ένα ολισθαίνον κατακόρυφο τοίχωμα ύψους Η. Κάθετα προς το τοίχωμα αυτό, στερεώνουμε το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, ενώ το άλλο άκρο του το συνδέουμε με το αριστερό τοίχωμα του δοχείου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το διαχωριστικό τοίχωμα μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή. Όταν το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, οι διαστάσεις του δαπέδου του δεξιού τμήματος είναι α x b, (b το πάχος του δοχείου, κάθετα στο χαρτί μας). Κάποια στιγμή αρχίζουμε να χύνουμε αργά - αργά νερό (πυκνότητας ρ) στο δεξιό διαμέρισμα.

α) Να βρείτε τη μέση υδροστατική πίεση στην επιφάνεια των τοιχωμάτων του δεξιού διαμερίσματος του δοχείου, σε συνάρτηση με το ύψος h του νερού.

β) Ποια είναι η μέγιστη ποσότητα νερού που μπορεί να αποθηκευτεί στο δεξιό διαμέρισμα, χωρίς να χυθεί νερό στο αριστερό; 

Απάντηση:

3ωρο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ

Το Διαγώνισμα

                                                                  Οι Απαντήσεις

“Υγρή” ταλάντωση

Ο ανοικτός και στις δύο βάσεις  του κατακόρυφος κυλινδρικός σωλήνας του σχήματος, σταθερής διατομής Α, συγκρατείται ημιβυθισμένος σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α).

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα.

Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα, να δείξετε ότι:

α. Υπάρχει θέση, όπου η ταχύτητα του σώματος Σ γίνεται μέγιστη και να βρείτε την απόστασή της από την αρχική του θέση.

Αναρρόφηση νερού σε μέγιστο ύψος με τη βοήθεια εμβόλου

Αναφερόμαστε στην  προηγούμενη άσκηση, με τη διαφορά ότι τώρα το κάτω ανοικτό άκρο του κατακόρυφου σωλήνα συγκρατείται ημιβυθισμένο σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας, γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α).

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα.

Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα σε σχέση με τη μάζα m του σώματος Σ, τότε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το νερό στο σωλήνα, μετρούμενο από την επιφάνεια

Άντληση νερού και ισορροπία

Το έμβολο του σχήματος εφαρμόζει αεροστεγώς στα εσωτερικά τοιχώματα ενός κατακόρυφου κυλινδρικού σωλήνα, που είναι ανοικτός και στα δύο του άκρα και μπορεί να κινείται μέσα σε αυτόν χωρίς τριβές. Στην αρχή ισορροπεί στη θέση που φαίνεται στο σχήμα (α), με τη βοήθεια ενός σχοινιού στην άλλη άκρη του οποίου έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ μάζας m. Αρχικά συγκρατούμε το σώμα για να μην κινηθεί προς τα κάτω. Ο σωλήνας είναι ημιβυθισμένος μέσα σε ένα δοχείο που περιέχει νερό όγκου 2L. Αφήνουμε σιγά – σιγά το σώμα Σ να κατέβει, με αποτέλεσμα το έμβολο να ανέβει και να εισέλθει νερό μέσα στο σωλήνα.

Σταθεροποίηση στάθμης και βεληνεκούς με δύο τρόπους. Ένα ακόμη θέμα Β στα ρευστά

Το κυλινδρικό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό, του οποίου η ελεύθερη επιφάνεια φτάνει σε ύψος  Η₀ από τη βάση του.  Ανοίγουμε μια τρύπα εμβαδού α m² σε ύψος h < H₀/2 και το νερό αρχίζει να εκτινάσσεται από αυτήν με αρχική οριζόντια ταχύτητα πέφτοντας τελικά στο έδαφος. Ταυτόχρονα, ανοίγουμε μια βρύση και αρχίζουμε να παρέχουμε νερό στο δοχείο με σταθερή παροχή Π_β = α√2gh  m³/s.
 Ι. Η  στάθμη του νερού στο δοχείο:

α. Παραμένει στο ύψος Η₀.

β. Αρχίζει να πέφτει και κάποια στιγμή σταθεροποιείται σε ύψος 2h.

γ. Αρχίζει να πέφτει και κάποια στιγμή σταθεροποιείται στο ύψος h.

ΙΙ. Το βεληνεκές της φλέβας:

Τρία πρωτότυπα θέματα Β στα ρευστά 1. Η κούπα του Πυθαγόρα

Η ΚΟΥΠΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

Στο σχήμα (α) έχουμε σχεδιάσει την «κούπα του Πυθαγόρα», όπου μέσω ενός ανοίγματος, το υγρό που προσθέτουμε, εκτός από τον εμφανή χώρο στο εσωτερικό του κυπέλλου, εισχωρεί και στο κατακόρυφο “κρυφό” κανάλι ΔΕ (σχήμα β), το οποίο επικοινωνεί με δεύτερο ανοικτό κατακόρυφο κανάλι ΕΖ σταθερής διατομής. Αυτό διατρέχει τον κορμό του κύπελου και καταλήγει σε ένα άνοιγμα (στο σημείο Ζ) της βάσης του. Έτσι, αν η στάθμη του υγρού είναι χαμηλότερα από το σημείο Ε, δηλαδή ως το ύψος h (σχήματα β, γ), αυτό παραμένει μέσα στο κύπελλο, αν όμως ξεπεράσει το σημείο Ε τότε το υγρό οδηγείται στο κανάλι ΕΖ και από εκεί βγαίνει έξω από το κύπελλο, από το άνοιγμα της βάσης του στο σημείο Ζ.

 

 Στο σχήμα (δ), ένα ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ ισορροπεί μέσα σε ένα τέτοιο κύπελλο με τη στάθμη του σε ύψος Η > h, δεν χύνεται όμως γιατί  έχουμε σφηνώσει ένα κομμάτι φελλού στο άνοιγμα της βάσης του κύπελου.  Στη συνέχεια αφαιρούμε το φελλό και το υγρό αρχίζει να ρέει στο κανάλι ΔΕΖ και να εξέρχεται από το Ζ.

Τι από τα παρακάτω θα συμβεί:

2. Δύο πίδακες που εκτινάσσονται οριζόντια από δύο διαφορετικά βάθη h1 και h2 συναντιούνται σε βάθος h1+h2

Δύο πίδακες που εκτινάσσονται οριζόντια από δύο διαφορετικά βάθη h₁ και h₂ συναντιούνται. Στην άσκηση αυτή θα δούμε τι αντιπροσωπεύουν οι παραστάσεις: 

	_______
h1 + h2  και  2 √	h1h2

Άσκηση:

Το ανοικτό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό. Σε δύο σημεία E και Z της ίδιας κατακορύφου του τοιχώματος του δοχείου και σε βάθη h₁ και h₂, αντίστοιχα, ανοίγουμε δύο οπές πολύ μικρής διατομής από τις οποίες εκτοξεύονται δύο πίδακες νερού.

Ι. Η απόσταση y_Σ, του σημείου συνάντησης Σ των δύο πιδάκων από την επιφάνεια του νερού, είναι ίση με:

	_______
α. 2(h1 - h2),       β.  h1 + h2        γ. 2√	h1h2

3. Με πόση δύναμη συγκρατούσε ο Torricelli τον κατακόρυφο σωλήνα;

Όταν άκουσε η Σοφία την εξήγηση στο γιατί ο Torricelli, στο ομώνυμο πείραμά του, συγκρατούσε το σωλήνα έτσι ώστε να μην ακουμπάει στον πυθμένα του δοχείου, αναρωτήθηκε αυθόρμητα: 
- Με πόση άραγε δύναμη; 
Στερεώσαμε το σωλήνα σε ένα ελατήριο... 
- Φυσικά, με δύναμη ίση με αυτήν που ασκεί το ελατήριο στο σωλήνα με τον υδράργυρο!! 
Αποφάνθηκε ο Γιάννης 🌝...

Οι δύο αντεστραμμένοι κατακόρυφοι γυάλινοι σωλήνες, κλειστοί στο πάνω άκρο τους και αμελητέου βάρους, περιέχουν ο πρώτος νερό (με το οποίο είναι γεμάτος), και ο δεύτερος υδράργυρο ως ένα ύψος (από εκεί και πάνω υπάρχει κενό). Το ανοικτό στόμιο του πρώτου είναι βυθισμένο μέσα σε νερό, ενώ του δεύτερου σε υδράργυρο.

Ι. Για καθεμιά περίπτωση χωριστά, τι από τα παρακάτω είναι σωστό:

α. Δύναμη ελατηρίου > βάρος υγρού στο σωλήνα*

Μια αντλία προωθεί Νευτώνειο ρευστό σε οριζόντιο σωλήνα

Στην έξοδο μιας αντλίας νερού συνδέεται ένας οριζόντιος σωλήνας σταθερής διατομής Α = 20 cm². Στην αρχή του σωλήνα αυτού, η αντλία εισάγει το νερό που απορροφά από μια υπόγεια δεξαμενή και το προωθεί υπό πίεση Ρ_εισ = 400 kPa.

Το άλλο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα, όπου επικρατεί πίεση ίση με 100 kPa.

Το νερό συμπεριφέρεται ως Νευτώνειο υγρό, οπότε η αντλία καταναλώνει ισχύ ώστε αυτό να κινείται κατά μήκος του σωλήνα με σταθερή μέση ταχύτητα.

Πυροσβεστικό όχημα – σωλήνας πυρόσβεσης

Οι πυροσβεστικοί εύκαμπτοι σωλήνες, που χρησιμοποιούνται σε πυρκαγιές μεγάλων κατασκευών, έχουν εγκάρσια διατομή A₁ = 32 cm². Ας υποθέσουμε ότι σε ένα τέτοιο σωλήνα το νερό ξεκινά με πίεση P₁ και με παροχή Π = 48 L/s. Ο εύκαμπτος αυτός σωλήνας φτάνει σε ύψος h = 10 m, πάνω σε μια τηλεσκοπική σκάλα ενός οχήματος πυρόσβεσης, και τελειώνει σε ένα ακροφύσιο που έχει εσωτερική διατομή A₂ = 8 cm².

α. Υποθέτοντας αμελητέες τις τριβές κατά την κίνηση του νερού στο σωλήνα, να υπολογίσετε την πίεση Ρ₁ του νερού στην αρχή του  σωλήνα.

Πυροσβεστήρας νερού

(Ένα εύκολο θέμα Β για τη γνωριμία με αυτού του είδους πυροσβεστήρα)

Σε έναν πυροσβεστήρα νερού, ο εγκλωβισμένος, υπό υψηλή πίεση αέρας, εξαναγκάζει το νερό να εκτοξεύεται από το ακροφύσιό του με μεγάλη ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θέτουμε σε λειτουργία έναν τέτοιο πυροσβεστήρα και διαπιστώνουμε ότι το νερό εκτοξεύεται με ταχύτητα v = 30 m/s όταν η στάθμη του νερού στο δοχείο είναι 0,5 m κάτω από το ακροφύσιο.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η πίεση του αέρα μέσα στον πυροσβεστήρα είναι κατά

Σύγκριση των ισχύων δύο αντλιών, ένα Β΄ ΘΕΜΑ

Στο σχήμα διακρίνουμε μια αντλία νερού, στην οποία η διατομή του σωλήνα απορρόφησης νερού είναι Α₁=25 cm², ενώ η διατομή του σωλήνα στον οποίο οδηγείται το νερό είναι Α₂ = 10 cm².

Τα δύο μανόμετρα δείχνουν διαφορά πίεσης Ρ₂ – Ρ_1­ = 280 kPa, όταν η αντλία αντλεί το νερό με ρυθμό Π = 36m³/h. 

Να επιλέξετε, σε καθεμιά από τις τρεις προτάσεις που ακολουθούν, το σωστό και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ι. Αν υ₁, υ₂ είναι οι ταχύτητες ροής του νερού  στους σωλήνες απορρόφησης και εκροής, αντίστοιχα, τότε για την ισχύ Ρ_αντλ της αντλίας ισχύει:

α) Ρ_αντλ = (Ρ₂– Ρ₁)Π + ½ρΠ(υ₂²– υ₁²),   β) Ρ_αντλ = (Ρ₂– Ρ₁)Π,    γ)  Ρ_αντλ = ½ρΠ(υ₂²– υ₁²)

Όπου μια αντλία συνδέεται με σωλήνες διαφορετικής διατομής, (ή με πόσους τρόπους, τελικά, μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ μιας αντλίας;)

(Βελτιωμένη παρουσίαση)

Με τη βοήθεια μιας αντλίας επιφανείας πρόκειται να αντλήσουμε νερό με έναν αναρροφητικό σωλήνα, σταθερής εγκάρσιας διατομής Α₁ = 4 cm², από μια μεγάλη δεξαμενή της οποίας η ελεύθερη στάθμη βρίσκεται χαμηλότερα από την αντλία, σε βάθος Η=3,2 m. Κατά τη λειτουργία της αντλίας, ένα μανόμετρο δείχνει ότι η πίεση σε ένα σημείο Λ, στο εσωτερικό του σωλήνα και κοντά στην είσοδο της αντλίας, είναι ίση με 50 kpa. Το νερό μετά την αντλία εισέρχεται σε έναν οριζόντιο σωλήνα μικρότερης διατομής Α₂ = 2 cm², και από εκεί εξέρχεται στον αέρα.

Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

α) Πόσα κυβικά μέτρα νερού θα αφαιρέσει η αντλία από τη δεξαμενή σε μια ώρα;