Ελεύθερη κίνηση οριζόντιου δίσκου σε λείο οριζόντιο επίπεδο

Κάποια στιγμή t₁ δύο σημεία Α και Β ενός ελεύθερα σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούμενου λεπτού ομογενούς δίσκου μάζας m = 1 kg και ακτίνας R = 0,4 m, έχουν ταχύτητες υ₁ και υ₂, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 30^ο και 60^ο, αντίστοιχα,  με το ευθύγραμμο τμήμα AB που τα συνδέει. Η ταχύτητα υ_cm του κέντρου μάζας του δίσκου έχει διεύθυνση κάθετη στο ΑΒ.

Α. Η κίνηση του δίσκου μπορεί να είναι:

α. μεταφορική,   

β. στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του, 

γ. μεταφορική και στροφική γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του.                                     Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Β. Αν ΑΒ = CA = CB = d = 0,3 m και υ₁ = 0,6 m/s, να υπολογίσετε :

2α. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας και τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου.

2β. Την ταχύτητα υ₂ του σημείου Β τη στιγμή t₁.

Γ. Την κινητική ενέργεια του δίσκου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του:

Ι_cm =   ½  mR²

Απάντηση σε pdf:  

Απάντηση σε word:

Παρατήρηση: 

Συνδυαστική Μηχανικής Στερεού – Κρούσης - Ανακύκλωσης

Το σύστημα “ράβδος – σφαιρίδιο Σ₁” του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, κάθετο στο άκρο Ο της ράβδου. Η μάζα του Σ₁ είναι ίση με τα 2/3 της μάζας Μ της ράβδου, ενώ του Σ₂ είναι τετραπλάσια της μάζας της ράβδου.

Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα από την οριζόντια θέση. Όταν φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ₂ και ακινητοποιείται, ενώ το Σ₂, δεμένο στην άκρη ενός σχοινιού μήκους L/2,, αρχίζει να εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, με κέντρο το ακλόνητο άλλο άκρο του σχοινιού.

α. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική.

β. Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο Σ₂ δεν θα μπορέσει να εκτελέσει ανακύκλωση.

γ. Να προσδιορίσετε τη θέση όπου διακόπτεται η κυκλική κίνηση.

δ. Να βρείτε τη γραμμική επιτάχυνση, τη γωνιακή επιτάχυνση και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του Σ₂, στην παραπάνω θέση.

 Δίνονται: για τη ράβδο M = 1 kg, Ι_cm = (1/12)ML² και το μήκος της  L = 2 m, καθώς και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s².

Να θεωρήσετε ότι (√119)/12 = 0,9. 

Απάντηση:

Κίνηση σφαίρας σε ημισφαίριο

Μια σφαίρα, μάζας m = 1 kg και ακτίνας r = 0,1 m συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερη (χωρίς να την σπρώξουμε).

α. Η σφαίρα κυλίεται στο κοίλο ημισφαιρικό δοχείο, ακτίνας R = 1,1 m, του σχήματος χωρίς να ολισθαίνει. Με πόση ταχύτητα διέρχεται από το χαμηλότερο σημείο Β του δοχείου;

β. Αν στη συνέχεια (μετά το σημείο Β) η εσωτερική επιφάνεια του δοχείου είναι λεία, να εξετάσετε, χωρίς υπολογισμούς:

i.  αν η σφαίρα θα φτάσει (κινούμενη στο λείο τμήμα του δοχείου) σε ύψος ίσο με εκείνο από το οποίο ξεκίνησε,

ii. αν, μετά την επιστροφή της στο σημείο Β, η σφαίρα θα επανέλθει στη θέση απ’ όπου την αφήσαμε.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι_cm = 4·10^-3 kg·m² και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s².

Απάντηση:

Όταν η τριβή δεν επαρκεί για να έχουμε μόνο κύλιση

   

 Ο τροχός του σχήματος είναι ομογενής, έχει μάζα m = 50 kg και ακτίνα R = 100 mm.

 Στην περιφέρειά του υπάρχει εγκοπή βάθους h = 40 mm, μέσα στην οποία είναι τυλιγμένο αβαρές λεπτό νήμα μεγάλου μήκους. Τη στιγμή t = 0, στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε σταθερή δύναμη F με διεύθυνση παράλληλη προς το οριζόντιο επίπεδο, με τη βοήθεια της οποίας ο τροχός τίθεται σε κίνηση χωρίς το νήμα να γλιστράει στο αυλάκι.

Α. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μ_s είναι 0,2 να εξετάσετε αν ο τροχός θα κυλίσει χωρίς ολίσθηση.

Β. Να υπολογίσετε τη επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού και τη γωνιακή του επιτάχυνση. 

Γ. Τη στιγμή t₁ η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίση με 20 m/s. Πόση είναι τότε η στροφορμή του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του;

ΤΡΟΧΟΙ ΚΑΙ … ΣΧΟΙΝΙΑ

1. Κύλιση σε λείο οριζόντιο επίπεδο

(Κι αν σας έλεγαν ότι ένας τροχός μπορεί, σε ένα εντελώς γλιστερό δρόμο, να κυλίεται χωρίς να γλιστράει ακόμη κι όταν επιταχύνεται, ακόμη κι όταν φρενάρει;)

Ο κυλινδρικός τροχός του σχήματος, ακτίνας R = 0,2 m, διαθέτει μια κεντρική εγκοπή ακτίνας r γύρω από την οποία είναι τυλιγμένο ένα λεπτό νήμα. Αρχικά ο τροχός είναι ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τραβάμε οριζόντια το άκρο Α του νήματος με δύναμη F = 10 Ν και θέτουμε τον τροχό σε κίνηση.

Α. Να δείξετε ότι για μια ορισμένη τιμή της ακτίνας r, ανεξάρτητη από την τιμή της F και της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας, ο κύλινδρος είναι δυνατόν να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Β.  Αν η ακτίνα r έχει την τιμή που υπολογίσατε πιο πριν, τότε:

1. Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από την F σε κάθε ...

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση (με τις απαντήσεις)
• Τη λύση που προτείνεται σε κάθε ερώτηση

ΡΑΒΔΟΣ ΚΑΙ ΤΡΟΧΟΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Ο τροχός αποτελείται από ένα στεφάνι μάζας 4 kgr ακτίνας 0,25 m το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ, με τη βοήθεια μεταλλικών ακτίνων αμελητέας μάζας. Ο άξονας του τροχού προσαρτάται στην οριζόντια ράβδο ΟΚ μάζας m = 3 kgr που το άκρο της Ο είναι αρθρωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. Αν το σύστημα αφήνεται από την ηρεμία με τη ράβδο αρχικά οριζόντια, όπως φαίνεται στο σχήμα  και αν ο τροχός κυλίεται στην κυλινδρική επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει, να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρο Κ του τροχού όταν φτάνει στην κατώτερη θέση Κ΄.

Δίνονται: OK = R = 0,5 m, ΟC = 0,3 m,  I_{ράβδου(Ο)} = 0,32 kgr.m² και g = 10 m/s² και ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Οι τριβές στο άξονα περιστροφής και στην άρθρωση είναι αμελητέες.

Δείτε:

• Την άσκηση σε PDF (με την απάντηση)
• Την προτεινόμενη λύση της

Το «ταυ».

Ένα εκκρεμές (σχήμα 1) αποτελείται από δύο παρόμοιες ομογενείς λεπτές ράβδους α και β, με ίδιο μήκος L = 0,6 m και ίδια μάζα m = 2/3 kgr, συγκολλημένες κάθετα μεταξύ τους έτσι ώστε το ένα άκρο της α να συμπίπτει με το μέσον της β. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζουν ένα Τ το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το άλλο άκρο Ο της α και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τις ράβδους. Έτσι, το «Τ» συμπεριφέρεται ως εκκρεμές  που μπορεί να ταλαντώνεται  πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο που ορίζεται από αυτό.

Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του «Τ» γύρω από τον άξονα περιστροφής του.

Β. Στο σχήμα 2, το «Τ» ισορροπεί μαζί με ένα στερεό, το οποίο αποτελείται από δύο ομόκεντρες, κολλημένες μεταξύ τους, ομογενείς τροχαλίες. Η κοινή ισορροπία επιτυγχάνεται με τη βοήθεια δύο κατακόρυφων λεπτών σχοινιών που είναι τυλιγμένα στα αυλάκια των τροχαλιών του στερεού. H ακτίνα R της μεγάλης τροχαλίας είναι 0,2 m, ενώ της μικρής είναι r = 0,1 m.

Να υπολογίσετε τη μάζα m₁ του στερεού.

Γ. Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί με το οποίο συνδέονται τα δύο σώματα και έτσι το «Τ» αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το Ο, ενώ το στερεό αρχίζει να κατεβαίνει προς τα κάτω και το σχοινί που είναι τυλιγμένο στη μικρή τροχαλία να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει.

Να βρείτε τη μέγιστη κινητική ενέργεια του «Τ».                                                        

Δ.  Αν ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του στερεού είναι 5 kgr.m², να υπολογίσετε: 

Δείτε:

• Ολόκληρο το Θέμα με τις απαντήσεις
• Τη λύση 

ΔΙΠΛΗ ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

Η τροχαλία του σχήματος μάζας Μ = 0,2 kgr αποτελείται από δύο ομόκεντρους δίσκους με ακτίνες R = 0,2 m και r =  0,1 m που είναι κολλημένοι μεταξύ τους. Οι δίσκοι φέρουν στην περιφέρειά τους ένα αυλάκι μέσα στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα. Το ένα άκρο του νήματος του μικρού δίσκου είναι δεμένο σε οροφή, ενώ στο ελεύθερο άκρο του νήματος του μεγάλου δίσκου είναι δεμένο ένα σώμα μάζας  m = M/2, που είναι στερεωμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι καρφωμένο στο δάπεδο. Το σύστημα ισορροπεί. 

Α.  Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί του μεγάλου δίσκου (το οποίο το θεωρούμε πολύ μεγάλου μήκους). Να υπολογίσετε:

1. Την ενέργεια της ...

Ολόκληρη η άσκηση εδώ και η απάντηση εδώ.

ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ - ΤΡΕΙΣ ΡΑΒΔΟΙ - ΣΦΑΡΙΔΙΟ

Δακτύλιος - τρείς ράβδοι -  σφαιρίδιο

  Ο τροχός του σχήματος αποτελείται από ένα κατακόρυφο δακτύλιο αμελητέου πάχους, από ένα σφαιρίδιο το οποίο είναι προσκολλημένο σε ένα σημείο Σ του δακτυλίου και από  τρεις ράβδους με μήκος ℓ ίσο με την ακτίνα του δακτυλίου. Οι ράβδοι είναι συγκολλημένες κι αυτές στο δακτύλιο ώστε να αποτελούν τρείς ακτίνες του, που  ανά δύο να σχηματίζουν γωνία ίση με 120^ο .  Ο τροχός μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος πάνω του και διέρχεται από το κέντρο του Κ.

Ο δακτύλιος, καθεμιά ράβδος και το σφαιρίδιο έχουν την ίδια μάζα m. Αρχικά,  συγκρατούμε τον τροχό με την ακτίνα ΚΣ σε οριζόντια θέση. Ύστερα τον αφήνουμε ελεύθερο να περιστραφεί γύρω από τον οριζόντιο άξονα.

α) Πόση είναι η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του τροχού;

β) Πόσος είναι ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής σφαιριδίου;

γ)  Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή που η ακτίνα ΚΣ γίνεται κατακόρυφη;

 Οι απαντήσεις σας να δοθούν σε συνάρτηση με την επιτάχυνση βαρύτητας g, το μήκος ℓ των ράβδων και τη μάζα m.

Δίνεται η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της:

Ι_c.m =  m ℓ²/ 12.

H άσκηση σε pdf είναι εδώ και η αναλυτική λύση της εδώ.