Δύο ράβδοι σε μαγνητικό πεδίο αλληλεπιδρούν (2o)

 Δύο παράλληλοι ακλόνητοι ευθύγραμμοι αγωγοί, μεγάλου μήκους και αμελητέας αντίστασης, χωρίζονται με απόσταση ℓ. Δύο πανομοιότυπες αγώγιμες ράβδοι τοποθετούνται στις ράγες κάθετα σε αυτές. Το όλο σύστημα βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Κάθε ράβδος έχει μάζα M και ωμική αντίσταση R. Υπάρχει παντού ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο που κατευθύνεται κάθετα προς στο επίπεδο της όλης διάταξης. Κάποια στιγμή οι δύο ράβδοι δέχονται κατάλληλη ώθηση και ξεκινούν ταυτόχρονα με αρχική ταχύτητα υ₁ και υ₂, αντίστοιχα, (υ₁ > υ₂), παράλληλη προς τους αγωγούς και με κατεύθυνση τέτοια ώστε να αρχίσουν να απομακρύνονται, χωρίς να χάνουν την επαφή τους με τους αγωγούς.

Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις για το σύστημα των δύο ράβδων (αγνοείστε την τριβή και την αυτεπαγωγή):

α. Δείξτε ότι κάποτε οι δύο ράβδοι θα αποκτήσουν κοινή σταθερή ταχύτητα.

β. Θα μειωθεί η ορμή του συστήματος με το χρόνο;

γ. Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος σε σταθερή κατάσταση;

Η λύση με κλίκ εδώ:

Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή και ισορροπία σε διαφορετικά επίπεδα

Δύο οριζόντιες αγώγιμες ράβδοι ΑΒ και ΓΔ ίδιας μάζας m και ίδιας αντίστασης R, μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές πάνω σε δύο παράλληλους, μεγάλου μήκους  και αμελητέας αντίστασης, οδηγούς αγωγούς, οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση ℓ και αποτελούνται από οριζόντιο και πλάγιο τμήμα κλίσης φ ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Το σύστημα των τεσσάρων αγωγών, όπως φαίνεται στο σχήμα, βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β με φορά προς τα κάτω.

Συγκρατούμε τη ράβδο ΑΒ και μέσω μιας κατάλληλης οριζόντιας δύναμης F, που εφαρμόζεται στο μέσον της ράβδου ΓΔ, παράλληλη προς τα οριζόντια τμήματα των οδηγών αγωγών, προσδίδουμε σταθερή ταχύτητα υ στη ράβδο ΓΔ.

α. Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα υ ώστε αν αφήσουμε τη ράβδο ΑΒ αυτή να παραμείνει ακίνητη; (τα μεγέθη m, g, ℓ,B, R και φ θεωρούνται γνωστά).

β. Πόση είναι τότε η δύναμη F με την οποία κινούμε τη ράβδο ΓΔ; 

Η λύση με κλικ εδώ

Δύο ράβδοι σε μαγνητικό πεδίο αλληλεπιδρούν (1ο)

 

Δύο παράλληλες αγώγιμες ακλόνητες ράγες μεγάλου μήκους και αμελητέας αντίστασης χωρίζονται με απόσταση ℓ.  Δύο πανομοιότυπες αγώγιμες ράβδοι τοποθετούνται στις ράγες κάθετα σε αυτές. Το όλο σύστημα βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Κάθε ράβδος έχει μάζα M και ωμική αντίσταση R. Υπάρχει παντού ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο που κατευθύνεται κάθετα προς στο επίπεδο της όλης διάταξης. Στη μία από τις δύο ράβδους δίνεται αρχική ταχύτητα υ₀ παράλληλη προς τις ράγες και με κατεύθυνση τέτοια ώστε να απομακρυνθεί αρχικά από την άλλη.

Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις για το σύστημα των δύο ράβδων (αγνοείστε την τριβή και την αυτεπαγωγή):

α. Δείξτε ότι κάποτε οι δύο αγωγοί θα αποκτήσουν κοινή σταθερή ταχύτητα.

β. Θα μειωθεί η ορμή του συστήματος με το χρόνο;

γ. Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος σε σταθερή κατάσταση;

Η λύση με κλικ εδώ

Πηνίο και κινούμενη ράβδος σε παράλληλες ράγες

 Μια αγώγιμη ράβδος μάζας m = 0,1 kg μπορεί να γλιστρήσει χωρίς τριβή πάνω σε δύο παράλληλες αγώγιμες ράγες που η μία απέχει από την άλλη απόσταση ℓ= 1 m. Οι αγώγιμες ράγες συνδέονται μέσω σωληνοειδούς αυτεπαγωγής L = 1 mH. Αυτό το σύστημα βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και τοποθετείται σε μια περιοχή που περιέχει ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο B = 1Τ με φορά προς τα κάτω.

Τη χρονική στιγμή t = 0 δίνουμε στη ράβδο αρχική ταχύτητα υ₀ = 1 m/s, προς τα δεξιά και την αφήνουμε ελεύθερη. Αν η συνολική ωμική αντίσταση στην όλη διάταξη είναι μηδέν, να δείξετε ότι η ράβδος θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α εκ. Να βρείτε:

α. Την τιμή του Α.

β. Τη μέγιστη ένταση του ρεύματος.

γ. Το μέγιστο ρυθμό μεταβολής του ρεύματος 

Η Λύση εδώ

Δύναμη Laplace Λυμένα θέματα Β, Γ, και Δ

 

Δύναμη Laplace:  Λυμένα Θέματα Β,Γ και Δ (από Ψ.Ε.Β.)

Ένα συνδυαστικό τέταρτο θέμα

Το ορθογώνιο πλαίσιο Π του σχήματος είναι τοποθετημένο παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης 0,2 Τ, ανάμεσα σε δύο ισχυρούς μαγνήτες. Αποτελείται από n = 60 σπείρες συνολικής ωμικής αντίστασης R = 0,5 Ω και με διαστάσεις α = 6 cm μήκος και β = 4 cm πλάτος. Οι ακροδέκτες του, συνδέονται με ηλεκτρική πηγή τάσης 10 V και διαρρέεται από ρεύμα έντασης i.

Το πλαίσιο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα από μονωτικό υλικό στον οποίο είναι στερεωμένη μια τροχαλία ακτίνας r = √3 cm. Γύρω από αυτήν είναι τυλιγμένο ένα αβαρές νήμα, που είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιας ομογενούς ράβδου Ρ μάζας m και μήκους L = 9 cm. Η ράβδος Ρ είναι αρθρωμένη στο αριστερό της άκρο Α και στη θέση Β με δύο παράλληλες, αμελητέας μάζας, ράβδους μήκους ℓ = 0,1 m, οι οποίες, στην κατάσταση ισορροπίας που περιγράφεται στο σχήμα, έχουν εκτραπεί κατά 60^ο από την κατακόρυφο.

Α. Δεδομένου ότι το σύστημα πλαίσιο – ράβδος ισορροπεί:

α. Να χαρακτηρίσετε τους πόλους των δύο μαγνητών.

β. Να βρείτε τη ροπή των δυνάμεων πάνω στο πλαίσιο.

γ. Να υπολογίσετε τη μάζα m της ράβδου Ρ.

Β. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα.

α. Να βρείτε τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα των παράλληλων ράβδων και της ράβδου Ρ. Τριβές αμελητέες.

β. Δείξτε ότι ο λόγος F₁/F₂ των μέτρων των δυνάμεων που ασκούν οι παράλληλοι ράβδοι στη ράβδο Ρ, είναι ανεξάρτητος από τη θέση της και υπολογίστε τον.

Γ. Στην έναρξη της κίνησης της ράβδου Ρ να βρείτε:

α. Τα μέτρα των δυνάμεων F₁ και F₂.

β. Τη γωνιακή επιτάχυνση των παράλληλων ράβδων.

     Δίνεται g = 10 m/s². 

Η απάντηση σε pdf  
Η απάντηση σε word

Ζεύγος δυνάμεων σε τριγωνικό πλαίσιο και μεταβολή τάσης

Ένα αγώγιμο ομογενές και ισοπαχές πλαίσιο σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α = 0,02 m αναρτάται από ακλόνητο στήριγμα με τη βοήθεια ενός αβαρούς σχοινιού, έτσι ώστε να κρέμεται σε κατακόρυφο επίπεδο μεταξύ των πόλων ενός ισχυρού πεταλοειδούς μαγνήτη, που παράγει ένα οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο 0,1 Τ με διεύθυνση παράλληλη προς το επίπεδο του πλαισίου. Τα άκρα της βάσης του τριγώνου συνδέονται με ηλεκτρική πηγή και διακόπτη. Κάποια στιγμή κλείνουμε τον διακόπτη και το πλαίσιο τροφοδοτείται με ρεύμα έντασης i = 3 A, όπως στο σχήμα.

α) Να δείξετε ότι στην αρχική αυτή θέση το πλαίσιο δέχεται ζεύγος δυνάμεων.

β) Να υπολογίσετε τη ροπή του παραπάνω ζεύγους.

γ) Εξαιτίας της ροπής των δυνάμεων που ενεργούν πάνω του, το τρίγωνο αρχίζει να περιστρέφεται, Πόσο μεταβάλλεται η τάση του σχοινιού στη διάρκεια που το πλαίσιο περιστρέφεται από την αρχική του θέση ως τη θέση όπου γίνεται κάθετο στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου;

(Τα σύρματα σύνδεσης του πλαίσιου με την πηγή είναι αρκετά χαλαρά και αμελητέου βάρους ώστε να μην ασκούν δυνάμεις πάνω στο πλαίσιο). 

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:

Αγώγιμος τριγωνικός αγωγός σε ΟΜΠ

Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, πλευράς α, από ένα ομογενές σταθερής κυλινδρικής διατομής αγώγιμο σύρμα. Στη συνέχεια συνδέουμε τις κορυφές του Α και Β με τους πόλους ηλεκτρικής πηγής. Με τη βοήθεια ενός αμπερομέτρου διαπιστώνουμε ότι η πλευρά ΑΒ διαρρέεται από ρεύμα i, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τοποθετούμε το τρίγωνο σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδό του.

Το μέτρο της μαγνητικής δύναμης στο τρίγωνο είναι:

                              α. 2Βiα,             β. (3/2)Βiα,            γ. μηδέν

Να επιλέξτε με αιτιολόγηση το σωστό. 

Απάντηση σε pdf: 

Απάντηση σε word:

Ισορροπία συστήματος σωμάτων σε μαγνητικό πεδίο

Σε ένα μη αγώγιμο ομογενή δακτύλιο, ακτίνας r, στερεώνεται κατά μήκος μιας διαμέτρου του μια αβαρής αγώγιμη ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 2r και αντίστασης 2R. Το σύστημα των δύο σωμάτων μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στο κέντρο του Ο. Στα άκρα ενός αβαρούς, μη εκτατού, νήματος  που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του δακτυλίου αναρτώνται δύο σώματα με μάζες m και 2m, αντίστοιχα.. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κυκλικής διατομής ακτίνας r/2, κάθετο στο επίπεδο του δακτυλίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δημιουργούμε ένα κύκλωμα με τρία καλώδια που τα συνδέουμε στα άκρα Α και Β και στο κέντρο Ο της ράβδου. Στο κεντρικό καλώδιο παρεμβάλουμε ηλεκτρική πηγή αμελητέας αντίστασης και αφήνουμε το σύστημα δακτυλίου - ράβδου - σωμάτων ελεύθερο να κινηθεί. Παρατηρούμε ότι το σύστημα παραμένει ακίνητο (τα καλώδια σύνδεσης της ράβδου με την πηγή είναι λεπτά και χαλαρά και δεν ασκούν δυνάμεις στο σύστημα). Η τάση V στους πόλους  της πηγής είναι: 

α.	3mgR
	Br

β.	mgR
	2Br

γ.	4mgR
	Br

Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε την επιλογή σας. 
Απάντηση σε pdf:  
Απάντηση σε word:

Πλαίσιο, μαγνητικό πεδίο, ρεύμα, σχοινιά και τάσεις

Ένας ομοιόμορφος (ομογενής και ισοπαχής) ορθογώνιος βρόχος με μήκη πλευρών d,ℓ (d < ℓ) και με μάζα m κρέμεται οριζόντια με τη βοήθεια δύο κατακόρυφων σχοινιών. Ο βρόχος διαρρέεται από ρεύμα i και βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο Β το οποίο είναι παράλληλο με τη μακρύτερη πλευρά του.

H τάση του σχοινιού που είναι δεμένο στο σημείο Α είναι:

                             α) mg – Bid,    β) mg/2 – Bid,     γ) mg/2 +Bid

Να επιλέξετε με αιτιολόγηση την ορθή σχέση. 

Απάντηση σε pdf:  
Απάντηση σε word:

Ηλεκτρομαγνητική δύναμη μεταξύ παράλληλων κυκλικών βρόχων

[Όταν δύο κυκλικοί βρόχοι διαρρέονται από ρεύμα, είναι παράλληλοι και η απόσταση μεταξύ τους είναι πολύ μικρότερη της ακτίνας τους, μπορούμε να τους θεωρήσουμε, με προσέγγιση, ως δύο μακρά παράλληλα σύρματα. (Όπως, ακριβώς,  ένα μικροσκοπικό έντομο που κινείται πάνω στον ένα βρόχο βλέπει τον απέναντι βρόχο)].

Δύο κυκλικοί βρόχοι είναι παράλληλοι, ομοαξονικοί και σχεδόν σε επαφή. Η ακτίνα κάθε βρόχου είναι 10,0 cm. Ο κάτω βρόχος βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο και διαρρέεται από ένα αριστερόστροφο ρεύμα έντασης i = 140 A. Ο πάνω βρόχος διαρρέεται από δεξιόστροφο ρεύμα έντασης i = 140 A και συγκρατείται σε απόσταση 1,00 mm από τον κάτω.   

α) Υπολογίστε τη μαγνητική δύναμη (δύναμη Laplace) που ασκείται από τον κάτω βρόχο στον πάνω.

β) Ο ανώτερος βρόχος έχει μάζα 0,02 kg. Υπολογίστε την επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί αν τον αφήσουμε ελεύθερο, υποθέτοντας ότι οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτόν είναι μόνο η δύναμη Laplace  και η βαρυτική δύναμη.

γ) Χωρίς να αλλάξουμε την απόσταση των βρόχων και την ένταση του ρεύματος στον κάτω βρόχο, να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος του πάνω βρόχου, ώστε αν τον αφήσουμε ελεύθερο να παραμείνει ακίνητος.

Δίνεται g = 10 m/s².

Οδηγία: Δεδομένου ότι η απόσταση μεταξύ των δύο βρόχων είναι μικρή σε σχέση με την ακτίνα τους, θεωρείστε τους, με προσέγγιση, ως δύο μακρά παράλληλα ευθύγραμμα σύρματα.

Απάντηση:

Πώς “ζυγίζουμε” μια μαγνητική δύναμη!

 [Με ένα ζυγό μπορούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη ενός μαγνητικού πεδίου ή την έντασή του].

Όπως φαίνεται στο σχήμα, ένα ορθογώνιο αγώγιμο πλαίσιο είναι στερεωμένο στον δεξί δίσκο ενός ζυγού και ένα τμήμα του, το οποίο περιλαμβάνει την κάτω πλευρά του, βρίσκεται προσανατολισμένο κάθετα μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο. Το πλαίσιο αποτελείται από 100 σπείρες και η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι Β = 0,2 Τ. Αν ο διακόπτης δ είναι ανοικτός, πρέπει να προσθέσουμε μια μάζα Μ στον αριστερό δίσκο για να ισορροπήσει το βάρος του πλαίσιου. Όταν όμως κλείσουμε το διακόπτη δ, θα εμφανιστεί στις σπείρες του πλαισίου ρεύμα έντασης i = 10 A και από το μαγνητικό πεδίο θα ασκηθεί δύναμη στο πλαίσιο.

Για να διατηρήσουμε την ισορροπία πρέπει να προσθέσουμε μια επιπλέον μάζα m. Να υπολογίσετε τη μάζα m.

Δίνεται g = 10 m/s² και το πλάτος του πλαισίου ℓ = 2 cm. 

Απάντηση:

Μια εύκολη ισορροπία σε μαγνητικό πεδίο

[Η γωνία απόκλισης προδίδει την ένταση του μαγνητικού πεδίου].

Ένα οριζόντιο ευθύγραμμο, ομογενές, σταθερής διατομής, σύρμα κρέμεται από δύο αβαρή σχοινιά στερεωμένα σε ένα στήριγμα κοντά στο βόρειο πόλο ενός μαγνήτη, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το σύρμα που έχει μήκος L = 0,1 m και μάζα m= 0,028 kg βρίσκεται μέσα σε ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο 0,07 Τ με φορά από πάνω προς τα κάτω. Όταν διαβιβάζουμε στο σύρμα ρεύμα έντασης Ι = 40 Α μετατοπίζεται από την αρχική θέση του και ισορροπεί σε μια θέση όπου τα νήματα σχηματίζουν γωνία θ με την κατακόρυφη διεύθυνση.  Να βρείτε

α) Τη γωνία θ και

β) την τάση κάθε νήματος.

Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s²

Απάντηση:

Ισορροπία κυλίνδρου σε πλάγιο επίπεδο

Ένας μη αγώγιμος, ομογενής, κύλινδρος έχει μάζα m = 200 g και μήκος ℓ = 10 cm.  Ένα επίπεδο συρμάτινο, αμελητέου πάχους και μάζας, ορθογώνιο πηνίο δέκα σπειρών είναι τυλιγμένο σφιχτά γύρω του με τις μικρές πλευρές του κατά μήκος των διαμέτρων των δύο βάσεών του και τις μεγάλες παράλληλες προς τον άξονά του. Ο κύλινδρος τοποθετείται σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ= 30^ο έτσι ώστε το πηνίο να είναι παράλληλο προς το κεκλιμένο επίπεδο. Ένα ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο επαγωγής Β = 0,5 Τ και με φορά προς τα πάνω υπάρχει στην περιοχή του κυλίνδρου.

Παράλληλα πλαίσια. 2ο.

[Το ένα διαρρέεται από μεταβλητό ρεύμα. Αν αυξάνεται, έλκονται ή απωθούνται;]

Τα επίπεδα των δύο κυκλικών χάλκινων βρόχων του σχήματος είναι παράλληλα. Τα κέντρα τους βρίσκονται πάνω στον άξονα x΄x. Παρατηρώντας τους από αριστερά, ο βρόχος 1 διαρρέεται από αριστερόστροφο ρεύμα.

α) Εάν η ένταση του ρεύματος στον βρόχο 1 αυξάνεται, ποια είναι η κατεύθυνση του ρεύματος που προκαλείται στον βρόχο 2;

β) Οι βρόχοι έλκουν ή απωθούν ο ένας τον άλλον;

Εξηγήστε την απάντησή σας.

Ισορροπία πλαίσιου σε μαγνητικό πεδίο

[Ένα πλαίσιο, που διαρρέεται από ρεύμα και δεν είναι κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, δέχεται ροπή]

Ένα ορθογώνιο επίπεδο πλαίσιο, με διαστάσεις d = 10 cm και ℓ = 20 cm, βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο άξονας περιστροφής του πηνίου είναι ευθυγραμμισμένος στη διεύθυνση βορρά - νότου. Διαρρέεται από ρεύμα i = 1 A και βρίσκεται σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο με φορά από δυτικά προς ανατολικά. Μάζα m = 50 g κρέμεται από τη μία πλευρά του πλαίσιου. Προσδιορίστε την ένταση που πρέπει να έχει το μαγνητικό πεδίο για να κρατήσει το πλαίσιο  στον οριζόντιο προσανατολισμό. Δίνεται g = 10 m/s².

Απάντηση:

Αγώγιμος κυκλικός βρόχος πέφτει σε μαγνητικό πεδίο

Ένας αγώγιμος κυκλικός βρόχος, κατασκευασμένος από σύρμα αντίστασης R και μάζας m, πέφτει από μεγάλο ύψος μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο του οποίου οι δυναμικές γραμμές  παρουσιάζουν τη συμμετρία που βλέπετε στο σχήμα. Σε αυτό το μαγνητικό πεδίο, η κατακόρυφη συνιστώσα έχει σταθερή φορά προς τα πάνω και μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση B_z = B₀(1 + λz), όπου λ είναι κάποια σταθερά. Ο βρόχος, με εμβαδόν επιφάνειας S, σε όλη τη διάρκεια της πτώσης του παραμένει οριζόντιος, παράλληλος  προς το επίπεδο xy. 
Να δείξετε ότι ο βρόχος θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα και να την υπολογίσετε.
Αγνοείστε την αντίσταση του αέρα και το μαγνητικό πεδίου του επαγόμενου ρεύματος. 
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.  

Μια δύναμη Laplace ιδιαίτερη

 Ένας ισχυρός ραβδόμορφος μαγνήτης τοποθετείται κάτω από έναν οριζόντιο αγώγιμο δακτύλιο ακτίνας r, που διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο άξονας του μαγνήτη συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του δακτυλίου. Αν η ένταση του μαγνητικού πεδίου του μαγνήτη, στην περιοχή της περιφέρειας του δακτυλίου, έχει μέτρο Β και η κατεύθυνσή της σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, (α) ποιο είναι το μέτρο και (β) ποια είναι η κατεύθυνση της προκύπτουσας μαγνητικής δύναμης στον δακτύλιο;  

Πηγή: Serway/Jewett

Ένα τέταρτο θέμα με ράβδο που κινείται κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο

Δύο παράλληλοι αγωγοί Αχ και Γψ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ℓ = 1 m. Τα άκρα Α και Γ των δύο αγωγών, οι οποίοι έχουν αμελητέα ωμική αντίσταση, συνδέονται με σύρμα ωμικής αντίστασης R₁ = 1 Ω. Κατά μήκος των δύο αγωγών και καθέτως προς τη διεύθυνσή  τους μπορεί να ολισθαίνει μια πρισματική μεταλλική ράβδος μήκους ℓ = 1 m, με μάζα m = 0,1 kg και ωμική αντίσταση R₂ = 1 Ω, έχοντας συνεχώς τα άκρα της σε επαφή με αυτούς. Κατά την κίνησή της εμφανίζεται δύναμη τριβής Τ= 2 Ν. Η διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 1 Τ. H ράβδος ηρεμεί και τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται πάνω της σταθερή εξωτερική δύναμη F = 3 Ν, παράλληλη προς τους αγωγούς. Η ταχύτητα της ράβδου αυξάνεται και αφού διανύσει διάστημα s = 1,6 m αποκτά μια μέγιστη σταθερή (οριακή) τιμή. Να υπολογιστούν:

α. Το μέτρο της οριακής ταχύτητας της ράβδου.

β. Το ποσό θερμότητας που αναπτύχθηκε σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος από τη στιγμή t = 0 μέχρις ότου η ράβδος αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

γ. Το φορτίο που διακινήθηκε μέσα από μια διατομή της ράβδου μέχρι να σταθεροποιηθεί η ταχύτητά της.

δ. Ο χρόνος κίνησης της ράβδου μέχρι να αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

ε. Η τάση στα άκρα της ράβδου όταν η ταχύτητά της σταθεροποιηθεί.

 στ. Ο ρυθμός με τον οποίο ελευθερώνεται θερμότητα στο όλο σύστημα όταν η ράβδος  κινείται με ταχύτητα υ =υ_ορ/2. 

8. Αναζητώντας τη στιγμή όπου η δύναμη Laplace σε αγωγό, που κινείται ισοταχώς, παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή

Σε ένα ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο πλάτους ℓ και πολύ μεγάλου μήκους, η μία πλευρά του, μήκους ℓ, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές με τα άκρα της σε διαρκή επαφή με τις γειτονικές της πλευρές. Το πλαίσιο είναι τοποθετημένο κάθετα σε ένα ομογενές Μ.Π. έντασης Β. Κάθε μέτρο από το σύρμα του πλαίσιου παρουσιάζει ωμική αντίσταση r. Τοποθετούμε την κινητή πλευρά του πλαίσιου σε αμελητέα απόσταση από την απέναντι της και τη στιγμή t = 0, με κατάλληλο μηχανισμό, τη θέτουμε σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ κατά μήκος των δύο άλλων.

α. Να δείξετε ότι το πλαίσιο θα αρχίσει να διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα και, με γνωστά τα μεγέθη που αναφέρονται στην εκφώνηση, να βρείτε τη σχέση με το χρόνο t της δύναμης Laplace πάνω στην κινούμενη πλευρά.

β. Ποια χρονική στιγμή το μέτρο της δύναμης Laplace θα γίνει ίσο με το μισό του μέτρου της αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t = 0;