A.A.T: ΘΕΜΑ Β. (Τέσσερα εύκολα, αλλά πονηρά θέματα)

   

 1. Αν το κιβώτιο του σχήματος συνδεθεί με το αριστερό ελατήριο σταθεράς k₁ και διεγερθεί κατάλληλα θα εκτελέσει  α.α.τ. με συχνότητα f₁. Όμοια, αν συνδεθεί με το δεξί ελατήριο σταθεράς k₂ θα εκτελέσει α.α.τ με συχνότητα f₂.

Δείξτε ότι αν συνδεθεί και με τα δύο ελατήρια όπως στο τρίτο σχήμα, και διεγερθεί κατάλληλα, θα κάνει α.α.τ. με συχνότητα f  για την οποία:

f² = f₁² + f₂²

 (Δίνεται ότι όταν το κιβώτιο βρίσκεται στη θέση Ι τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Δίνεται, επίσης, ότι το κιβώτιο κινείται χωρίς τριβές στην οριζόντια επιφάνεια και ότι τα υποστηρίγματα δεξιά και αριστερά στα οποία στερεώνονται τα ελατήρια είναι σταθερά). 

 

 

2. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Για κάθε λЄR το ελάχιστο χρονικό διάστημα που χρειάζεται το υλικό σημείο για να μεταβεί από τη θέση x = +A/λ με υ > 0 στη θέση x = -A/λ με υ < 0, είναι:

α. Τ/4,  β. Εξαρτάται από την τιμή του λ,  γ. Τ/2

 

 

 

3. Στη διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια για χρόνο:

α. Τ/2,   β. Τ/3,  γ. Τ/4

 

4. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. περιόδου Τ. Αν S_μεγ. και S_ελαχ. είναι, αντίστοιχα, το μέγιστο και το ελάχιστο μήκος του διαστήματος που διανύει σε χρόνο Τ/3, να δείξετε ότι:

S_μεγ.\ S_ελαχ =  √3

 Τα θέματα και οι απαντήσεις εδώ

ΘΕΜΑ Β στις Α.Α.Τ. Απλό και «αναμενόμενο»

Ένα σώμα Σ μάζας m ισορροπεί δεμένο ανάμεσα σε δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k₁ και k₂, όπως στο σχήμα. Αν κόψουμε το πάνω ελατήριο, το σώμα αρχίζει να κινείται με επιτάχυνση μέτρου α_2,αρχ = 6 m/s² και εκτελεί μια α.α.τ. πλάτους Α₂.

Ι. Αν κόψουμε το κάτω ελατήριο αρχίζει να κινείται με αρχική επιτάχυνση α_1,αρχ που έχει μέτρο:

                                                   α. 2 m/s²,    β. 4 m/s²,    γ. 6 m/s²

ΙΙ. Αν είναι k₂ = 2k₁ και το πλάτος της πρώτης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο κάτω ελατήριο) είναι Α₂ = 6 cm, τότε το πλάτος Α₁ της δεύτερης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο πάνω ελατήριο) είναι:        

                                                     α. 4 cm,    β. 6 cm,    γ. 8 cm.

Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s². 

Απάντηση:

Το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή

Η συνέχεια του θεωρητικού σημειώματος σε pdf εδώ

Απλή αρμονική ταλάντωση συστήματος "ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου - μάζας" σε πεδίο βαρύτητας

   Το παρακάτω άρθρο, είναι η συνέχεια της ανάρτησης  "το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή". Είχε δημοσιευτεί πέρσι τον Αύγουστο. Το ξαναδίνω αναθεωρημένο στην κυκλοφορία σε τέσσερα μέρη και εμπλουτισμένο με δύο σχετικές ασκήσεις. 

• Το πρώτο μέρος είναι αρκετά τυπικό και περιέχει βασικές γνώσεις α.α.τ. 
• Το δεύτερο περιγράφει πώς δυο καλοί μαθητές μπορούν εύκολα να μπλέξουν "σαν τον Ηρακλή με τις κουβαρίστρες", ακριβώς επειδή είναι καλοί. Ευτυχώς που είναι δύο! 
• Στο τρίτο μέρος οι συμμαθητές "γεννούν" μια ιδέα που ξεκαθαρίζει τη σχέση μεταξύ των τριών δυναμικών ενεργειών: βαρύτητας, ελαστικότητας και ταλάντωσης. 
• Στο τέταρτο μέρος γίνεται αναλυτική παρουσίαση δύο σχετικών ασκήσεων.

Το άρθρο διαβάζεται εύκολα και από μαθητές. Απαιτεί, ίσως, λίγο παραπάνω συγκέντρωση, θα ωφεληθούν όμως και κάποια από αυτά ίσως τα βρουν μπροστά τους!

• ΜΕΡΟΣ 1^ο: Τα βασικά (μαζί με μια εφαρμογή)

• ΜΕΡΟΣ 2^ο:  Όπου δυο μαθητές, προσπαθούν να δώσουν απάντηση σε μια απλή αλλά ενδιαφέρουσα ερώτηση. 

• ΜΕΡΟΣ 3^ο: Όπου οι δυο μαθητές κάνουν μια "σημαντική ανακάλυψη" για τη Μηχανική ενέργεια ταλάντωσης συστήματος "κατακόρυφου ελατηρίου – μάζας".

• ΜΕΡΟΣ 4^ο: Όλες οι δυναμικές ενέργειες μαζί. (Δύο ασκήσεις με τη λύση τους)

Απλή Αρμονική Ταλάντωση. Δέκα ερωτήσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Θέμα Α

1. Στην α.α.τ το πηλίκο της επιτάχυνσης του σώματος προς την απομάκρυνσή του από το κέντρο της ταλάντωσης  είναι, κάθε στιγμή, μέτρο της

α.  σταθεράς επαναφοράς

β.  γωνιακής συχνότητας

γ. (γωνιακής συχνότητας)²

δ. δύναμης επαναφοράς

2. Για ένα σώμα που εκτελεί α.α.τ η κινητική ενέργεια Κ δίνεται από τη σχέση Κ = Κ_οσυν²ωt. Η μέγιστη τιμή της δυναμικής  του ενέργειας είναι:

α.  Κ_ο

β.  μηδέν

γ.  Κ_ο/2

δ. αδύνατο να εκτιμήσουμε.

3.  Η δυναμική  ενέργεια ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι συνάρτηση της απομάκρυνσή  του x από την κεντρική θέση της τροχιάς του. Αν λ είναι θετική σταθερά, η κίνησή του θα είναι α.α.τ  όταν:

α. U = λx²

β. U = -λx²/2

γ. U = k

δ. U = λx

Α.Α.Τ. Κρούση χωρίς μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης

Και όμως είναι δυνατό η ενέργεια μιας α.α.τ. μετά από μια κρούση να είναι ίδια με πριν:

Ένα σώμα Σ με μάζα m = 1 kgr εκτελεί α.α.τ. πλάτους 30 cm πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς  k = 100 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα. 

Τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του συγκρούεται πλαστικά με αντίθετα κινούμενο δεύτερο σώμα τριπλάσιας μάζας.

Α. Τι ταχύτητα πρέπει να έχει το δεύτερο σώμα ώστε η ταλάντωση του συσσωματώματος να έχει το ίδιο πλάτος με την αρχική;

Β. Να απαντήσετε στο ίδιο ερώτημα και για την περίπτωση που η κρούση είναι κεντρική ελαστική

Κατεβάστε:

• Την εκφώνηση σε PDF, και
• Μια αναλυτική απάντηση.

Α.Α.Τ. Με δυνάμεις που μεταβάλλονται ευθέως ανάλογα με τη θέση του κινητού

  Ένα σώμα Σ με μάζα m ηρεμεί αρχικά πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου, στη θέση Φ όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα.

  Κάποια στιγμή ενεργεί πάνω του μια οριζόντια δύναμη F, που ο φορέας της ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου και το μέτρο της μεταβάλλεται σε σχέση με την απόσταση d του σώματος από τη θέση Φ (δηλαδή την παραμόρφωση του ελατηρίου) σύμφωνα με την εξίσωση  F = a + bd, όπου a και b σταθερά μεγέθη μετρημένα σε Ν και  N/m, αντίστοιχα.

Α. Να δείξετε ότι αν b < k το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

Β. Το πλάτος Α και η σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης αυτής είναι, αντίστοιχα:

  α. Α = α/(k-b),  D = k-b

  β. Α = α/2(k-b),  D = k-b

  γ. Α = α/(k-b),  D = 2(k-b)

i)  Να επιλέξετε το ορθό ζεύγος τιμών.

ii) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

• Κατεβάστε την εκφώνηση σε PDF
• Δείτε την προτεινόμενη λύση (αναθεωρημένη)

Πέντε πρωτότυπες ερωτήσεις για Θέμα Β στις Α.ΑΤ.

 

• 1. Προσοχή, μην ξεχνάτε την αρχική φάση!

• 2. Δύο κινητά, διαφορετικές κινήσεις, ίσες διαδρομές, ίσοι χρόνοι, (1η)

• 3. Δύο κινητά, διαφορετικές κινήσεις, ίσες διαδρομές, ίσοι χρόνοι, (2η)

• 4. Μέγιστο και ελάχιστο μήκος διαδρομής σε χρόνο Τ/3 στις α.α.τ.

• 5. Μέγιστη απόσταση από σημείο όπου είναι γνωστή η ταχύτητα ταλάντωσης

Το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή

Η συνέχεια του θεωρητικού σημειώματος σε pdf εδώ

Θέμα Β στις μηχανικές Α.Α.Τ - 10 ερωτήσεις

1. Ένα σώμα μάζας m = 1 Kgr εκτελεί α.α.τ της οποίας η απομάκρυνση με το χρόνο περιγράφεται από τη σχέση: x =√ 2 ημ20t (S.I).  Η συνάρτηση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης με την απομάκρυνση x αποδίδεται από τη σχέση:
α. Κ = 200x² (S.I)
β. Κ = 400 - 400x² (S.I)
γ. Κ = 400 – 200x² (S.I)
i) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
ii) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
iii)Να σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες τη συνάρτηση που επιλέξατε.

Για να δείτε την απάντηση καθώς και τις άλλες ερωτήσεις με τις απαντήσεις τους κάνετε κλικ εδώ.

Ενέργειες και επιτάχυνση στην α.α.τ

2η ερώτηση στην κατηγορία: Θέμα Β

Ένα σώμα μάζας m εκτελεί α.α.τ με κυκλική συχνότητα ω.
α) Να δείξετε ότι η σχέση: U  =  ^mα2⁄ _2ω²   αποτελεί τη συνάρτηση μεταξύ

της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης (U) και της επιτάχυνσης (α) του σώματος.

β) Αν m = 2 kgr και η συνάρτηση της απομάκρυνσης με το χρόνο είναι: x = 2√ 2 ημ2t, να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική και την κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με την επιτάχυνση.

γ) Να παραστήσετε γραφικά τις παραπάνω συναρτήσεις σε κοινό σύστημα ορθογωνίων αξόνων, πάνω στους οποίους να τοποθετήσετε τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές των μεγεθών, καθώς και τις τιμές τους όταν U = K.

Δείτε την ερώτηση με την απάντησή της κάνοντας κλικ εδώ.

Α.Α.Τ συστήματος ελατηρίου-σώματος

  *Η απόδειξη ότι, με κατάλληλη διέγερση ένα σώμα στερεωμένο στο ένα άκρο ενός ελατηρίου κάνει α.α.τ, θεωρείται αρκετά απλή και γι΄αυτό οι μαθητές δεν κάνουν τον κόπο να την εφαρμόσουν μια-δυο φορές ώστε να την εμπεδώσουν. Έτσι αν την χρειαστούν κάνουν τραγικά λάθη. Προσοχή, λοιπόν! Παρακάτω δίνεται ένας γενικός τρόπος απάντησης που ισχύει για πολλές περιπτώσεις. Προσέξτε πόσο βοηθούν οι συμβολισμοί Φ (η θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος), Ι ( η θέση ισορροπίας), Τ (μια τυχαία θέση), (ΦΙ), (ΦΤ) και (ΙΤ).

΄Ασκηση (μπορεί να δοθεί ως ερώτηση στο θέμα Β)

Σε κάθε περίπτωση το ελατήριο είναι ιδανικό και τριβές δεν υπάρχουν.
α) Δείξτε ότι με κατάλληλη διέγερση το σύστημα ελατήριο – σώμα θα κάνει α.α.τ με σταθερά επαναφοράς D = k.
β) Δείξτε ότι το ίδιο μπορεί να συμβεί κι εκτός πεδίου βαρύτητας.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ