🎯 3 Κρούσεις όπου η μία σφαίρα "παγώνει"
Ελαστικές μετωπικές κρούσεις σφαιρών χωρίς περιστροφή — Το Μυστικό για την Τέλεια Ακινητοποίηση!
📘 Άσκηση 1 Αντίρροπες
Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 4\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +12\text{ m/s}\). Στην πορεία της συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = \frac{8}{3}\text{ kg}\) που κινείται αντίρροπα με \(v_2 = -3\text{ m/s}\).
⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))
🔍 Προβολή Λύσης
Αναλυτική Λύση:
Οι ταχύτητες μετά την ελαστική μετωπική κρούση δίνονται από τους τύπους:
$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} v_2$$ $$v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2$$Υπολογισμός \(v_1'\):
$$v_1' = \frac{4 - \frac{8}{3}}{4 + \frac{8}{3}} \cdot (+12) + \frac{2 \cdot \frac{8}{3}}{4 + \frac{8}{3}} \cdot (-3) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot 12 + \frac{\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot (-3)$$ $$v_1' = \frac{4}{20} \cdot 12 - \frac{16}{20} \cdot 3 = \frac{48}{20} - \frac{48}{20} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$Υπολογισμός \(v_2'\):
$$v_2' = \frac{2 \cdot 4}{\frac{20}{3}} \cdot (+12) + \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot (-3) = \frac{24}{20} \cdot 12 + \frac{12}{20} = \frac{288 + 12}{20} = \frac{300}{20} = \mathbf{+15\text{ m/s}}$$📗 Άσκηση 2 Ομόρροπες
Σφαίρα \(A\) μάζας \(m_1 = 3\text{ kg}\) κινείται προς τα δεξιά με \(v_1 = +10\text{ m/s}\) και συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με σφαίρα \(B\) μάζας \(m_2 = 5\text{ kg}\) που κινείται ομόρροπα με \(v_2 = +2\text{ m/s}\).
⚡ Ιδιαιτερότητα: Μετά την κρούση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη (\(v_1' = 0\))
🔍 Προβολή Λύσης
Αναλυτική Λύση:
Έχουμε \(m_1 + m_2 = 8\text{ kg}\) και \(m_1 - m_2 = -2\text{ kg}\).
Υπολογισμός \(v_1'\):
$$v_1' = \frac{-2}{8} \cdot (+10) + \frac{2 \cdot 5}{8} \cdot (+2) = -\frac{20}{8} + \frac{20}{8} = \mathbf{0\text{ m/s}}$$Υπολογισμός \(v_2'\):
$$v_2' = \frac{2 \cdot 3}{8} \cdot (+10) + \frac{5 - 3}{8} \cdot (+2) = \frac{60}{8} + \frac{4}{8} = \frac{64}{8} = \mathbf{+8\text{ m/s}}$$📕 Άσκηση 3 Ειδική Περίπτωση
Δύο λείες σφαίρες \(A\) και \(B\) με μάζες \(m_A\) και \(m_B\), που κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες \(v_A = 6\text{ m/s}\) και \(v_B = 1{,}5\text{ m/s}\) αντίστοιχα, συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά.
Α. Να βρείτε το λόγο \(\frac{m_A}{m_B}\) ώστε η σφαίρα \(A\) μετά τη σύγκρουση να ακινητοποιηθεί, αν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών:
- α. έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπες)
- β. έχουν αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπες)
Β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα της σφαίρας \(B\) και στις δύο περιπτώσεις.
💡 Ιδιαιτερότητα: Σε κάθε περίπτωση, η σφαίρα \(A\) μένει ακίνητη μετά την κρούση (\(v_A' = 0\))
🔍 Προβολή Λύσης
Απάντηση:
Α. α. \(\frac{m_A}{m_B} = \mathbf{0{,}5}\) | Α. β. \(\frac{m_A}{m_B} = \mathbf{1{,}5}\)
Β. \(v_B' = \mathbf{+4{,}5\text{ m/s}}\) (ομόρροπες) | \(v_B' = \mathbf{+7{,}5\text{ m/s}}\) (αντίρροπες)
Αναλυτική Λύση:
Α. α. Ομόρροπες ταχύτητες
Επιλέγουμε θετική φορά τη φορά της \(v_A\) (της μεγαλύτερης ταχύτητας).
Οι αλγεβρικές τιμές των τελικών ταχυτήτων δίνονται από τις σχέσεις:
$$v_A' = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_A + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} v_B$$ $$v_B' = \frac{2 m_A}{m_A + m_B} v_A + \frac{m_B - m_A}{m_A + m_B} v_B$$Για \(v_A' = 0\):
$$0 = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \cdot 6 + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} \cdot 1{,}5$$ $$0 = 6(m_A - m_B) + 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 6 m_B + 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 3 m_B$$ $$6 m_A = 3 m_B$$ $$\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{6} = \mathbf{0{,}5}$$Υπολογισμός \(v_B'\):
$$v_B' = \frac{2 \cdot 0{,}5 m_B}{0{,}5 m_B + m_B} \cdot 6 + \frac{m_B - 0{,}5 m_B}{0{,}5 m_B + m_B} \cdot 1{,}5$$ $$v_B' = \frac{1 m_B}{1{,}5 m_B} \cdot 6 + \frac{0{,}5 m_B}{1{,}5 m_B} \cdot 1{,}5$$ $$v_B' = \frac{6}{1{,}5} + \frac{0{,}5 \cdot 1{,}5}{1{,}5} = 4 + 0{,}5 = \mathbf{+4{,}5\text{ m/s}}$$Α. β. Αντίρροπες ταχύτητες
Επιλέγουμε θετική φορά τη φορά της \(v_A = +6\text{ m/s}\). Άρα \(v_B = -1{,}5\text{ m/s}\).
Οι αλγεβρικές τιμές των τελικών ταχυτήτων δίνονται από τις σχέσεις:
$$v_A' = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_A + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} v_B$$ $$v_B' = \frac{2 m_A}{m_A + m_B} v_A + \frac{m_B - m_A}{m_A + m_B} v_B$$Για \(v_A' = 0\):
$$0 = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \cdot 6 + \frac{2 m_B}{m_A + m_B} \cdot (-1{,}5)$$ $$0 = 6(m_A - m_B) - 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 6 m_B - 3 m_B$$ $$0 = 6 m_A - 9 m_B$$ $$6 m_A = 9 m_B$$ $$\frac{m_A}{m_B} = \frac{9}{6} = \mathbf{1{,}5}$$Υπολογισμός \(v_B'\):
$$v_B' = \frac{2 \cdot 1{,}5 m_B}{1{,}5 m_B + m_B} \cdot 6 + \frac{m_B - 1{,}5 m_B}{1{,}5 m_B + m_B} \cdot (-1{,}5)$$ $$v_B' = \frac{3 m_B}{2{,}5 m_B} \cdot 6 + \frac{-0{,}5 m_B}{2{,}5 m_B} \cdot (-1{,}5)$$ $$v_B' = \frac{18}{2{,}5} + \frac{0{,}75}{2{,}5} = 7{,}2 + 0{,}3 = \mathbf{+7{,}5\text{ m/s}}$$📌 ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ! Στις παραπάνω σχέσεις οι ταχύτητες είναι όλες συγγραμμικές (πάνω στον άξονα που ενώνει τα κέντρα των σφαιρών). Είναι σχέσεις αλγεβρικών τιμών και όχι μέτρων. Γι' αυτό επιλέξαμε θετική φορά τη φορά της \(v_A\) (της μεγαλύτερης ταχύτητας).
📥 Κατεβάστε εδώ μεμονωμένα την άσκηση 3
